Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (quy tắc ba điểm). Do đó D đúng.

Vì G là trọng tâm tam giác nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Do đó B đúng.

Ta có I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Do đó A sai và C đúng.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua H.

Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

⇒ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$

Ta lại có hình bình hành ABDC có $\widehat{BAC}={90}^0$ nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=BC=10cm$.

Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là 10 cm.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$:

$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$;

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD  và AB // CD khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$. Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}$:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB  và AD // CB khi đó $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}\ne \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$. Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BD}$:

Vì hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$. Do đó D sai.

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cos$\widehat{BAD}$

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² ≈ 9,39

⇔ BD ≈ 3,06 dm

⇒ $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=3,06dm.$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ là 3,06 dm.

+) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GO}\ne \overrightarrow{0}$. Do đó D sai.

Xét tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$

$=\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\left(\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}\right)$

$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}$

$=\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}\right)$

$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PP}$
$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{MN}$.

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CA}$

Khi đó hai vectơ  $\overrightarrow{DM}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng hướng hay DM // CA, M nằm ở nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ DC và DM = CA. Suy ra ACDM là hình bình hành.

Vậy điểm M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành.

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}$.

+) Do $\overrightarrow{N\text{D}}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CO}$.

+) Do $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$AO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC; CN = $\frac{2}{3}$CO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$AC.

MO = $\frac{1}{3}$AO = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.

Ta có hình vẽ sau:

Trong đó ABCD là hình bình hành, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{F_2}$

Khi đó $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\widehat{ABC}+\widehat{BAD}=180°\Rightarrow \widehat{ABC}=180°-\widehat{BAD}=180°-45°=135°$
Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

⇔ AC² = 7² + 3² – 2.7.3.cos135°

⇔ AC² = $58+21\sqrt{2}$

⇔ AC ≈ 9,36

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\approx 9,36N$.

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OC}$.

Do AOBC là hình bình hành nên $\widehat{AOB}+\widehat{OBC}=180°$ và OA = BC = 550.

Do đó $\widehat{OBC}=180°-\widehat{AOB}=180°-52°=128°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² - 2.OB.BC.cos $\widehat{OBC}$

⇒OC² = 800² + 550² - 2.800.550.cos 128^o

⇒OC² ≈ 1 484 282, 1

⇒ OC ≈ 1 218,3 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0)

Suy ra $\left|\overrightarrow{F}\right|$ ≈ 1 218,3 N.

Vậy độ lớn lực $\overrightarrow{F}$ nằm trong khoảng (1 200; 1 300).

Ta có: $\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}\right)+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B\text{D}}+\overrightarrow{CB}$

$=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{B\text{D}}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\text{D}}$

$=\overrightarrow{AD}$

Do đó $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{A\text{D}}\right|$ = 1.

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = 1² + 1²

⇒ AC² = 2

⇒  AC = $\sqrt{2}$ (do AC là độ dài đoạn thẳng)

Suy ra $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Do $\overrightarrow{K\text{A}}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BK}$.

Do $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{H\text{D}}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho $\overrightarrow{DH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DK}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

⇒ AC² = a² + a²

⇒ AC² = 2a²

⇒ AC = $\sqrt{2}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do K là trung điểm của AC nên AK = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{K\text{A}}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = $\sqrt{2}$a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = $\frac{1}{3}$DK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = $\frac{1}{3}$BK = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$BD =$\frac{1}{6}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$.

Do đó HK + KG = $\frac{\sqrt{2}a}{6}$+ $\frac{\sqrt{2}a}{6}$ hay HG = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{GH}\right|=\frac{\sqrt{2}a}{3}$.