Giải bài tập Toán 7 Bài 2: Tia phân giác 

Hoạt động khởi động

Khởi động trang 73 Toán lớp 7 Tập 1: Khi làm con diều như hình bên thì tia DB nằm ở vị trí nào của $\widehat{ADC}$?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$.

1. Tia phân giác của một góc

Khám phá 1 trang 73 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ $\widehat{xOy}$ lên một tờ giấy như Hình 1a. Gấp giấy sao cho cạnh Oy trùng với cạnh Ox. Nếu gấp cho ta vị trí của tia Oz. Theo em tia Oz đã chia $\widehat{xOy}$ thành hai góc như thế nào?

Lời giải:

Tia Oz đã chia $\widehat{xOy}$ thành hai góc bằng nhau.

Thực hành 1 trang 73 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm tia phân giác của các góc: $\widehat{AOC}$ và $\widehat{COB}$ trong Hình 3.

Lời giải:

– Tia OM xuất phát từ đỉnh O của $\widehat{AOC}$, đi qua điểm M nằm trong $\widehat{AOC}$ và $\widehat{AOM}=\widehat{COM}$ (cùng bằng 30°).

Do đó, OM là tia phân giác của $\widehat{AOC}$.

– Tia ON xuất phát từ đỉnh O của $\widehat{COB}$, đi qua điểm N nằm trong $\widehat{COB}$ và $\widehat{BON}=\widehat{CON}$(cùng bằng 60°).

Do đó, ON là tia phân giác của $\widehat{COB}$.

Vậy OM là tia phân giác của $\widehat{AOC}$; ON là tia phân giác của $\widehat{COB}$.

Vận dụng 1 trang 74 Toán lớp 7 Tập 1: Em hãy cho biết khi cân thăng bằng thì kim ở vị trí nào của $\widehat{AOB}$ (Hình 4).

Lời giải:

Khi cân thăng bằng thì kim trùng với tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

2. Cách vẽ tia phân giác

Khám phá 2 trang 74 Toán lớp 7 Tập 1: Trong Hình 5, nếu Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ thì số đo của $\widehat{xOy}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$ = 32^o.

Do đó $\widehat{xOy}=\widehat{xOz}+\widehat{zOy}$ = 32^o + 32^o = 64^o.

Vậy $\widehat{xOy}$= 64^o.

Thực hành 2 trang 74 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ một góc có số đo bằng 60^o rồi vẽ tia phân giác của góc đó.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ $\widehat{xOy}$ = 60^o.

Bước 2. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Khi đó $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$ và $\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=60°$ nên $\widehat{xOz}=\frac{60°}{2}=$30^o.

Dùng thước đo góc vẽ tia Oz đi qua một điểm trong của $\widehat{xOy}$ sao cho $\widehat{xOz}$ = 30^o.

Bước 3. Khi đó ta được tia phân giác Oz của $\widehat{xOy}$.

Vận dụng 2 trang 74 Toán lớp 7 Tập 1: Hãy vẽ một góc bẹt $\widehat{AOB}$ rồi vẽ tia phân giác của góc đó.

Lời giải:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ góc bẹt $\widehat{AOB}$.

Bước 2. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

Khi đó $\widehat{AOz}=\widehat{zOB}$ và $\widehat{AOz}+\widehat{zOB}=180°$ nên $\widehat{AOz}=\frac{180°}{2}=$90^o.

Dùng thước đo góc vẽ tia Oz đi qua một điểm trong của $\widehat{AOz}$ sao cho $\widehat{AOz}$ = 90^o.

Bước 3. Ta được tia phân giác Oz của $\widehat{AOB}$.

Bài tập

Bài 1 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: 

a) Trong Hình 8, tìm tia phân giác của các góc $\widehat{ABC},\widehat{ADC}$.

b) Cho biết $\widehat{ABC}={100}^o$, $\widehat{ADC}={60}^o$. Tính số đo của các góc $\widehat{ABO},\widehat{ADO}$.

Lời giải:

a) Tia phân giác của $\widehat{ABC}$ là tia BD, vì tia BD xuất phát từ đỉnh B của $\widehat{ABC}$, đi qua điểm D nằm trong $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}.$

Tia phân giác của $\widehat{A\text{D}C}$ là tia DB, vì tia DB xuất phát từ đỉnh D của $\widehat{A\text{D}C}$, đi qua điểm B nằm trong $\widehat{A\text{D}C}$ và $\widehat{ADO}=\widehat{CDO}$.

b) Do BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{AB\text{D}}=\widehat{CBD}$.

Mà $\widehat{AB\text{D}}+\widehat{CB\text{D}}=\widehat{ABC}$ nên $2\widehat{ABD}=\widehat{ABC}$.

Do đó $\widehat{AB\text{D}}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{100°}{2}=50°$ hay $\widehat{ABO}=50°.$

Do DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{A\text{DB}}=\widehat{CDB}$.

Mà $\widehat{A\text{DB}}+\widehat{C\text{DB}}=\widehat{ADC}$ nên $2\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$.

Do đó $\widehat{A\text{DB}}=\frac{\widehat{ADC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$ hay $\widehat{ADO}=30°.$

Vậy $\widehat{ABO}=50°,\widehat{A\text{DO}}=30°.$

Bài 2 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: 

a) Vẽ $\widehat{xOy}$ có số đo 110^o.

b) Vẽ tia phân giác của $\widehat{xOy}$ trong câu a.

Lời giải:

a) Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tia Ox.

Bước 2. Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm O, tia Ox trùng với đường nằm ngang của thước.

Dùng thước đo góc vẽ tia Oy sao cho $\widehat{xOy}$ = 110^o.

Bước 3. Khi đó ta có hình vẽ như sau:

b) Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Khi đó $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$ và $\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=110°$ nên $\widehat{xOz}=\frac{110°}{2}=$55^o.

Dùng thước đo góc vẽ tia Oz đi qua một điểm trong của $\widehat{xOy}$ sao cho $\widehat{xOz}$ = 55^o.

Bước 3. Khi đó ta thu được tia phân giác Oz của $\widehat{xOy}$.

Bài 3 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại A và tạo thành $\widehat{PAM}={33}^o$ (Hình 9).

a) Tính số đo các góc còn lại.

b) Vẽ At là tia phân giác của $\widehat{PAN}$. Hãy tính số đo của $\widehat{tAQ}$. Vẽ tia At’ là tia đối của tia At. Giải thích tại sao At’ là tia phân giác của $\widehat{MAQ}$.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{PAM}$ và $\widehat{NAQ}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{PAM}=\widehat{NAQ}=33°$.

$\widehat{PAM}$ và $\widehat{PAN}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{PAM}+\widehat{PAN}=180°$.

Do đó $\widehat{PAN}=180°-\widehat{PAM}$= 180^o - 33^o = 147^o.

$\widehat{PAN}$ và $\widehat{MAQ}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{PAN}=\widehat{MAQ}=147°$.

b)

Do At là tia phân giác của $\widehat{PAN}$ nên $\widehat{PAt}=\widehat{tAN}=\frac{1}{2}\widehat{PAN}=\frac{1}{2}$.147^o = 73,5^o.

Do AN nằm giữa At và AQ nên $\widehat{tAN}+\widehat{NAQ}=\widehat{tAQ}$.

Do đó $\widehat{tAQ}$ = 73,5^o + 33^o = 106,5^o.

Do At’ là tia đối của At nên $\widehat{tAN}$ và $\widehat{t^{\text{'}}AM}$ là hai góc đối đỉnh, $\widehat{PAt}$ và $\widehat{QA{t}^{\text{'}}}$ là hai góc đối đỉnh.

Do $\widehat{tAN}$ và $\widehat{t^{\text{'}}AM}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{tAN}=\widehat{t^{\text{'}}AM}$.

Do $\widehat{PAt}$ và $\widehat{QA{t}^{\text{'}}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{PAt}=\widehat{QA{t}^{\text{'}}}$.

Mà $\widehat{PAt}=\widehat{tAN}$ nên $\widehat{QA{t}^{\text{'}}}=\widehat{t^{\text{'}}AM}$.

Lại có tia At' nằm giữa hai tia AM và AQ.

Do đó At’ là tia phân giác của $\widehat{MAQ}$.

Bài 4 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: Cho đường thẳng xy đi qua điểm O. Vẽ tia Oz sao cho $\widehat{xOz}={135}^o$. Vẽ tia Ot sao cho $\widehat{yOt}={90}^o$ và $\widehat{zOt}={135}^o.$ Gọi Ov là tia phân giác của $\widehat{xOt}$. Các góc $\widehat{xOv}$ và $\widehat{yOz}$ có phải là hai góc đối đỉnh không? Vì sao?

Lời giải:

Thực hiện vẽ hình theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng xy đi qua O.

Bước 2. Vẽ tia Oz sao cho $\widehat{xOz}$ = 135^o.

Bước 3. Để vẽ $\widehat{yOt}={90}^o$ ta có hai trường hợp.

Trường hợp 1:

Tuy nhiên ở trường hợp này $\widehat{zOt}$ < 90^o nên không thỏa mãn.

Do đó thực hiện vẽ hình theo trường hợp 2.

Trường hợp 2:

Vẽ Ov là tia phân giác của $\widehat{xOt}$.

Ta thu được hình như sau:

Do Oy nằm giữa Oz và Ot nên $\widehat{y\text{O}z}+\widehat{y\text{O}t}=\widehat{zOt}$.

Do đó $\widehat{y\text{O}z}=\widehat{zOt}-\widehat{yOt}$ = 135^o - 90^o = 45^o.

Do $\widehat{y\text{O}t}$ và $\widehat{xOt}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{y\text{O}t}+\widehat{xOt}=180°$.

Do đó $\widehat{xOt}$ = 180^o - 90^o = 90^o.

Do Ov là tia phân giác của $\widehat{xOt}$ nên $\widehat{xOv}=\frac{1}{2}\widehat{xOt}=\frac{1}{2}$.90^o = 45^o.

Khi đó $\widehat{zOv}=\widehat{xOz}+\widehat{xOv}$ = 135^o + 45^o = 180^o.

Do đó Oz và Ov là hai tia đối.

Lại có Ox và Oy là hai tia đối nhau nên $\widehat{y\text{O}z}$ và $\widehat{xOv}$ là hai góc đối đỉnh.

Vậy $\widehat{y\text{O}z}$ và $\widehat{xOv}$ là hai góc đối đỉnh.

Bài 5 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ hai góc kề bù $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOx\text{'}}$, biết $\widehat{xOy}={142}^o$. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Tính $\widehat{x\text{'}Oz}$.

Lời giải:

$\widehat{xOy}$ và $\widehat{yO{x}^{\text{'}}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xOy}+\widehat{yO{x}^{\text{'}}}=180°.$

Do đó $\widehat{yO{x}^{\text{'}}}=180°-\widehat{xOy}$= 180^o - 142^o = 38^o.

Do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{zOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}=\frac{1}{2}$.142^o = 71^o.

Do Oy nằm giữa Oz và Ox’ nên $\widehat{x^{\text{'}}Oz}=\widehat{zOy}+\widehat{yO{x}^{\text{'}}}$ = 71^o + 38^o = 109^o.

Vậy $\widehat{x^{\text{'}}Oz}$ = 109^o.

Bài 6 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ hai góc kề bù $\widehat{xOy},\widehat{yOx\text{'}}$, biết $\widehat{xOy}={120}^o$. Gọi Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$, Oz’ là tia phân giác của $\widehat{yOx\text{'}}$. Tính $\widehat{zOy},\widehat{yOz\text{'}},\widehat{zOz\text{'}}$.

Lời giải:

$\widehat{xOy}$ và $\widehat{yO{x}^{\text{'}}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xOy}+\widehat{yO{x}^{\text{'}}}=180°.$

Do đó $\widehat{yO{x}^{\text{'}}}=180°-\widehat{xOy}$= 180^o - 120^o = 60^o.

Do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{zOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}=\frac{1}{2}$. 120^o = 60^o.

Do Oz’ là tia phân giác của $\widehat{yO{x}^{\text{'}}}$ nên $\widehat{y\text{O}{z}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}\widehat{y\text{O}{x}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$.60^o = 30^o.

Khi đó $\widehat{zO{z}^{\text{'}}}=\widehat{zOy}+\widehat{y\text{O}{z}^{\text{'}}}$ = 60^o + 30^o = 90^o.

Vậy $\widehat{zOy}$ = 60^o, $\widehat{y\text{O}{z}^{\text{'}}}$ = 30^o, $\widehat{zO{z}^{\text{'}}}$ = 90^o.

Bài 7 trang 75 Toán lớp 7 Tập 1: Vẽ góc bẹt $\widehat{xOy}$. Vẽ tia phân giác Oz của góc đó. Vẽ tia phân giác Ot của $\widehat{xOz}$. Vẽ tia phân giác Ov của $\widehat{zOy}$. Tính $\widehat{tOv}$.

Lời giải:

Do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOz}=\widehat{y\text{O}z}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}=\frac{1}{2}$.180^o = 90^o.

Do Ot là tia phân giác của $\widehat{xOz}$ nên $\widehat{tOz}=\frac{1}{2}\widehat{xOz}=\frac{1}{2}$.90^o = 45^o.

Do Ov là tia phân giác của $\widehat{zOy}$ nên $\widehat{zOv}=\frac{1}{2}\widehat{zOy}=\frac{1}{2}$.90^o = 45^o.

Khi đó $\widehat{tOv}=\widehat{tOz}+\widehat{zOv}$ = 45^o + 45^o = 90^o.

Vậy $\widehat{tOv}$ = 90^o.