Hoạt động khởi động

Khởi động trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Phép cộng, phép trừ, phép nhân hai số nguyên có kết quả là một số nguyên. Vậy kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b (b ≠ 0) có phải là một số nguyên không?

Lời giải:

Kết quả của một số nguyên a chia cho số nguyên b (b $\ne$ 0) có thể không là số nguyên.

Ví dụ: 1 : 2 = 0,5.

1. Số hữu tỉ

Khám phá 1 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Cho các số –7; 0,5; 0; $1\frac{2}{3}$. Với mỗi số, hãy viết một phân số bằng số đã cho.

Lời giải:

Ta có $-7=\frac{-7}{1}$ ; $0,5=\frac{5}{10}$ ; 0 = $\frac{0}{1}$; $1\frac{2}{3}=\frac{1.3+2}{3}=\frac{5}{3}$

Thực hành 1 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Vì sao các số -0,33; 0; $3\frac{1}{2}$; 0,25 là các số hữu tỉ?

Lời giải:

Các số –0,33; 0; $3\frac{1}{2}$; 0,25 là các số hữu tỉ vì chúng đều viết được dưới dạng phân số:$-0,33=\frac{-33}{100};$  $0=\frac{0}{1};$  $3\frac{1}{2}=\frac{7}{2};$  $0,25=\frac{25}{100}.$

Vận dụng 1 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1: Viết số đo các đại lượng sau dưới dạng $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

a) 2,5 kg đường.

b) 3,8 m dưới mực nước biển.

Lời giải:

a) Ta có $2,5=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$ .

Vậy 2,5 kg đường bằng $\frac{5}{2}$ kg đường.

b) Mực nước biển là mốc 0 nên 3,8 m dưới mực nước biển là –3,8 m so với mực nước biển.

Ta có $-3,8=\frac{-38}{10}$ = $\frac{-19}{5}$.

Vậy 3,8 m dưới mực nước biển là $\frac{-19}{5}$ m.

2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ

Khám phá 2 trang 6 Toán lớp 7 Tập 1:

a) So sánh hai phân số $\frac{2}{9}$ và $-\frac{5}{9}$

b) Trong mỗi trường hợp sau, nhiệt độ nào cao hơn?

i) 0 °C và –0,5 °C;           ii) –12 °C và –7 °C.

Lời giải:

a) Hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Do –5 < 2 nên $\frac{-5}{9}<\frac{2}{9}.$

b)

i) Do –0,5 < 0 nên –0,5 °C < 0 °C.

ii) Do –12 < –7 nên –12 °C < –7 °C.

Thực hành 2 trang 7 Toán lớp 7 Tập 1: Cho các số hữu tỉ: $\frac{-7}{12}$; $\frac{4}{5}$; 5,12; –3; $\frac{0}{-3}$; –3,75.

a) So sánh $\frac{-7}{12}$ với –3,75; $\frac{0}{-3}$ với $\frac{4}{5}$

b) Trong các số hữu tỉ đã cho, số nào là số hữu tỉ dương, số nào là số hữu tỉ âm, số nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?

Lời giải:

a) Ta có $-3,75=\frac{-375}{100}=\frac{-15}{4}=\frac{-45}{12}.$   

Do –45 < –7 nên $\frac{-45}{12}<\frac{-7}{12}.$

Vậy $-3,75<\frac{-7}{12}.$

Ta có $\frac{0}{-3}=0=\frac{0}{5}.$

Do 0 < 4 nên $\frac{0}{5}<\frac{4}{5}$ hay 0 < $\frac{4}{5}.$

 Vậy $\frac{0}{-3}<\frac{4}{5}$

b) Ta có  $\frac{-7}{12}<0$;   –3,75 < 0;   –3 < 0

3. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Khám phá 3 trang 7 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Biễu diễn các số nguyên –1; 1; –2 trên trục số.

b) Quan sát Hình 2. Hãy dự đoán điểm A biểu diễn số hữu tỉ nào.

Lời giải:

a) Biểu diễn các số nguyên –1; 1; –2 trên trục số:

b) Trong Hình 2, đoạn thẳng đơn vị được chia thành 3 đoạn bằng nhau, chọn 1 đoạn làm đơn vị mới, đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.

Điểm A nằm bên phải điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 1 lần đơn vị mới nên điểm A biểu diễn số hữu tỉ $\frac{1}{3}.$

Thực hành 3 trang 8 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Các điểm M, N, P trong Hình 6 biểu diễn các số hữu tỉ nào?

b) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: –0,75; $\frac{1}{-4}$ ; $1\frac{1}{4}.$

Lời giải:

a) Trong Hình 6, đoạn thẳng đơn vị được chia thành 3 đoạn bằng nhau, chọn 1 đoạn làm đơn vị mới, đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.

Điểm M nằm bên phải điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 5 lần đơn vị mới nên điểm M biểu diễn số hữu tỉ $5.\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.$

Điểm N nằm bên trái điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 1 lần đơn vị mới nên điểm N biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-1}{3}.$

Điểm P nằm bên trái điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 4 lần đơn vị mới nên điểm P biểu diễn số hữu tỉ $4.\frac{-1}{3}=\frac{-4}{3}.$

b) Ta có: $-0,75=\frac{-75}{100}=\frac{-3}{4};$  $\frac{1}{-4}=\frac{-1}{4}$;  $1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$

Do –3 < 0 nên điểm A nằm bên trái 0 và cách 0 một khoảng bằng 3 đơn vị mới.

Do –1 < 0 nên điểm B nằm bên trái 0 và cách 0 một khoảng bằng 1 đơn vị mới.

Do 5 > 0 nên điểm C nằm bên phải 0 và cách 0 một khoảng bằng 5 đơn vị mới.

Ta có hình như sau:

4. Số đối của một số hữu tỉ

Khám phá 4 trang 8 Toán lớp 7 Tập 1: Em có nhận xét gì về vị trí điểm $\frac{-4}{3}$ và $\frac{4}{3}$ trên trục số (Hình 7) so với điểm 0?

Lời giải:

Trong Hình 7, đoạn thẳng đơn vị được chia thành 3 đoạn bằng nhau, chọn 1 đoạn làm đơn vị mới, đơn vị mới bằng $\frac{1}{3}$ đơn vị cũ.

Khi đó điểm biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-4}{3}$ nằm bên trái điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 4 lần đơn vị mới.

Điểm biểu diễn số hữu tỉ $\frac{4}{3}$ nằm bên phải điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 4 lần đơn vị mới.

Vậy điểm biểu diễn số hữu tỉ $\frac{4}{3}$ và $\frac{-4}{3}$ nằm về hai phía của điểm 0 và cách đều điểm 0.

Thực hành 4 trang 9 Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số đối của của mỗi số sau:

7; $\frac{-5}{9}$; –0,75; 0; $1\frac{2}{3}$.

Lời giải:

Số đối của 7 là: –7.

Số đối của $\frac{-5}{9}$ là: $-\left(\frac{-5}{9}\right)=\frac{5}{9}.$

Số đối của –0,75 là: – (–0,75) = 0,75.

Số đối của 0 là: –0 = 0.

Số đối của $1\frac{2}{3}$ là: $-1\frac{2}{3}.$

Theo em, phát biểu của bạn Hồng có đúng không?  Tại sao?

Lời giải:

Ta có $-4,1=\frac{-41}{10}$ ; $-3,5=\frac{-35}{10}$ .

Do –41 < –35 nên $\frac{-41}{10}$ < $\frac{-35}{10}$.

Vậy –4,1 < –3,5.

Vậy phát biểu của Hồng không đúng.

Bài tập

Bài 1 trang 9 Toán lớp 7 Tập 1: Thay  bằng kí kiệu ∈, ∉ thích hợp.

–7 ?  ℕ;                 –17 ?  ℤ;                –38 ?  ℚ;

$\frac{4}{5}$ ?  ℤ;                  $\frac{4}{5}$ ?  ℚ;                  0,25 ?  ℤ;               3,25 ?  ℚ.

Lời giải:

–7 là một số nguyên âm nên –7 không thuộc $\mathbb{N}$, do đó: $-7\boxed{\notin }\mathbb{N}$;

–17 là một số nguyên âm nên –17 thuộc $\mathbb{Z}$, do đó $-17\boxed{\in }\mathbb{Z}$;

$-38=\frac{-38}{1}$, mà $-38;1\in \mathbb{Z}$ và 1 ≠ 0 nên ; $-38\boxed{\in }\mathbb{Q}$

 $4;5\in \mathbb{Z}$, 5 ≠ 0 và 4 không chia hết cho 5 nên $\frac{4}{5}$ là một số hữu tỉ và không là một số nguyên, do đó ta viết $\frac{4}{5}\boxed{\notin }\mathbb{Z}$ và $\frac{4}{5}\boxed{\in }\mathbb{Q}$;

0,25 không là một số nguyên nên $0,25\boxed{\notin }\mathbb{Z}$;

$3,25=\frac{325}{100},$ mà $325;100\in \mathbb{Z}$ và $25\ne 0$, do đó $3,25\boxed{\in }\mathbb{Q}$.

Bài 2 trang 9 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ $\frac{-5}{9}$ ?

b) Biểu diễn các số hữu tỉ $\frac{-2}{5};1\frac{1}{5};\frac{3}{5};-0,8$ trên trục số.

Lời giải:

a) Trong Hình 8, đoạn thẳng đơn vị được chia thành 4 đoạn bằng nhau, chọn 1 đoạn làm đơn vị mới, đơn vị mới bằng $\frac{1}{4}$ đơn vị cũ.

Điểm A là điểm nằm trước điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 7 lần đơn vị mới nên điểm A biểu diễn số hữu tỉ $7.\frac{-1}{4}=\frac{-7}{4}.$

Điểm B là điểm nằm sau điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 3 lần đơn vị mới nên điểm B biểu diễn số hữu tỉ $3.\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$

Điểm C là điểm nằm sau điểm 0 và cách 0 một khoảng bằng 5 lần đơn vị mới nên điểm C biểu diễn số hữu tỉ $5.\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$

Bài 4 trang 10 Toán lớp 7 Tập 1:

a) Trong các số hữu tỉ sau, số nào là số hữu tỉ dương, số nào là số hữu tỉ âm, số nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?

$\frac{5}{12};-\frac{4}{5};2\frac{2}{3};-2;\frac{0}{234};-0,32$

b) Hãy sắp xếp các số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{5}{12}>0;$  $2\frac{2}{3}>0;$  $\frac{-4}{5}<0;$  $-2<0;$  $-0,32<0$;  $\frac{0}{234}=0$.

Vậy số hữu tỉ dương là $\frac{5}{12}$ và $2\frac{2}{3}$;  số hữu tỉ âm là $-\frac{4}{5}$; –0,32 và –2; số không phải là hữu tỉ dương cũng không phải là hữu tỉ âm là $\frac{0}{234}.$

b) Ta có: $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=\frac{8.4}{3.4}=\frac{32}{12};$  $\frac{-4}{5}=-0,8.$

Do 2 > 0,8 > 0,32 nên –2 < –0,8 < –0,32 do đó –2 < –0,8 < –0,32 < 0 (1).

Do 5 < 32 nên $\frac{5}{12}<\frac{32}{12}$ do đó $0<\frac{5}{12}<\frac{32}{12}$ hay $0<\frac{5}{12}<2\frac{2}{3}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có $-2<-0,8<-0,32<0<\frac{5}{12}<2\frac{2}{3}.$

Vậy các số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là: –2; $\frac{-4}{5};$ –0,32; $\frac{0}{234}$; $\frac{5}{12};$ $2\frac{2}{3}.$

Bài 5 trang 10 Toán lớp 7 Tập 1: So sánh các cặp số hữu tỉ sau:

a) $\frac{2}{-5}$ và $\frac{-3}{8}$

b) $-0,85$ và $\frac{-17}{20}$

c) $\frac{-137}{200}$ và $\frac{37}{-25}$

d) $-1\frac{3}{10}$ và $-\left(\frac{-13}{-10}\right)$

Lời giải:

a) Ta có $\frac{2}{-5}=\frac{-2}{5}=\frac{-16}{40}$;  $\frac{-3}{8}=\frac{-15}{40}$

Do -16 < -15 nên $\frac{-16}{40}<\frac{-15}{40}$ hay $\frac{2}{-5}<\frac{-3}{8}$ .

Vậy $\frac{2}{-5}<\frac{-3}{8}$

b) Ta có $-0,85=\frac{-85}{100}=\frac{-17}{20}$ do đó $-0,85=\frac{-17}{20}$

Vậy $-0,85=\frac{-17}{20}.$

c) Ta có $\frac{37}{-25}=\frac{37.\left(-8\right)}{\left(-25\right).\left(-8\right)}=\frac{-296}{200}$.

Do -296 < -137 nên $\frac{-296}{200}<\frac{-137}{200}$

Vậy $\frac{37}{-25}<\frac{-137}{200}$

d) Ta có $-1\frac{3}{10}=-\frac{1.10+3}{10}=-\frac{13}{10}=\frac{-13}{10}$;$-\left(\frac{-13}{-10}\right)=-\frac{13}{10}=\frac{-13}{10}$