∆ABC có I là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C.

Do đó AI là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.

Mà D ∈ AI (giả thiết).

Nên AD là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.

Do đó đáp án A đúng.

∆BIH vuông tại H: $\widehat{BIH}+\widehat{IBH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{BIH}=90°-\widehat{B_2}$

Mà $\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (do BI là đường phân giác của ∆ABC)

Do đó $\widehat{BIH}=90°-\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (1).

∆AIC có: $\widehat{CID}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I

Suy ra $\widehat{CID}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}$

$=\frac{\widehat{BAC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}$ (do AI, CI là đường phân giác của ∆ABC).

$=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180°-\widehat{ABC}}{2}=90°-\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{BIH}=\widehat{CID}$.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì ba đường phân giác của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.

Do đó AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC.

Xét ∆AOK và ∆AOI, có:

AO là cạnh chung.

$\widehat{KAO}=\widehat{IAO}$ (AO là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của ∆ABC).

$\widehat{AKO}=\widehat{AIO}=90°$.

Do đó ∆AOK = ∆AOI (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AK = AI (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được BK = BH và CI = CH.

Do đó BK + CI = BH + CH

Suy ra BK + CI = BC (vì H ∈ BC).

Vì vậy BK + CI = 6 (cm).

Khi đó ta có (AB – AK) + (AC – AI) = 6

Suy ra AB + AC – AK – AI = 6

Do đó 3 + 5 – 2AK = 6 (vì AI = AK)

Vì vậy 8 – 2AK = 6

Suy ra 2AK = 8 – 6 = 2.

Do đó AK = 2 : 2 = 1 (cm)

Ta có BK = AB – AK = 3 – 1 = 2 (cm)

Suy ra BH = BK = 2 cm.

Vậy ta chọn đáp án B.

∆ABC có: $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180°-60°-80°=40°$.

Ta có I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆ABC (giả thiết).

Ta suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.

Do đó $\widehat{ICA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.40°=20°$.

Vậy ta chọn đáp án B.

∆MNP có NE, PF là hai đường phân giác.

Suy ra $\widehat{N_1}=\frac{1}{2}\widehat{MNP}=\frac{1}{2}.50°=25°$ và $\widehat{P_1}=\frac{1}{2}\widehat{MPN}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

∆NHP có: $\widehat{NHP}+\widehat{N_1}+\widehat{P_1}=180°$(định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\widehat{NHP}=180°-\widehat{N_1}-\widehat{P_1}=180°-25°-30°=125°$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét đáp án A:

Xét ∆OAK và ∆BAK, có:

AK là cạnh chung.

$\widehat{OKA}=\widehat{BKA}$ (do KA là đường phân giác của $\widehat{OKB}$).

$\widehat{OAK}=\widehat{BAK}=90°$.

Do đó ∆OAK = ∆BAK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

∆OBK có hai đường phân giác OH, KH cắt nhau tại H.

Suy ra H cách đều OK và OB (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Do đó HA = HI (do HA ⊥ OB, HI ⊥ OK).

Suy ra đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Ta có ∆OAK = ∆BAK (chứng minh trên).

Suy ra OA = AB.

Khi đó A là trung điểm của OB.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Xét ∆DEK và ∆DFK, có:

DE = DF (do ∆DEF cân tại D).

$\widehat{DEK}=\widehat{DFK}$ (do ∆DEF cân tại D).

$\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90°$.

Do đó ∆DEK = ∆DFK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $\widehat{EDK}=\widehat{FDK}$ (cặp góc tương ứng).

Khi đó DK là đường phân giác thứ ba của ∆DEF.

Mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm

Suy ra DK đi qua giao điểm của hai đường phân giác EM và FN.

Vậy ta chọn đáp án C.

Xét ∆ABH và ∆ACH, có:

AH là cạnh chung.

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$=$90°$.

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (do AH là đường phân giác của ∆ABC).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh góc vuoogn – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Khi đó ∆ABC cân tại A.

Vì không có thêm dữ kiện nào để khẳng định tam giác ABC đều hay vuông hoặc nhọn nên ta chưa khẳng định được các đáp án B, C, D.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆ABC.

Nên I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.

Suy ra AI là đường phân giác của ∆ABC.

Xét ∆AHB và ∆AHC, có:

AH là cạnh chung.

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$.

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra HB = HC và $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Vì HB = HC nên đáp án B đúng.

Vì $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ nên AH là đường phân giác của ∆ABC.

Suy ra AH trùng AI.

Do đó đáp án D đúng.

Ta có AH trùng AI.

Mà AH ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra AI ⊥ BC.

Do đó đáp án A đúng.

Vì AI trùng AH nên ba điểm A, I, H thẳng hàng

Suy ra AI trùng IH.

Do đó C sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có FE // BC (giả thiết).

Suy ra $\widehat{EFC}=\widehat{FCD}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆CDF và ∆FEC, có:

FC là cạnh chung.

$\widehat{EFC}=\widehat{FCD}$ (chứng minh trên).

FE = CD (giả thiết).

Do đó ∆CDF = ∆FEC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{CFD}=\widehat{ECF}$ (cặp góc tương ứng).

Ta có $\widehat{EFC}=\widehat{FCD}$ và $\widehat{CFD}=\widehat{ECF}$ (chứng minh trên).

Mà $\widehat{FCD}=\widehat{EFC}$ (CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$).

Suy ra $\widehat{CFD}=\widehat{EFC}$.

Nên CF là tia phân giác của $\widehat{EFD}$

Do đó CF là đường phân giác của ∆DEF.

Mặt khác CF là tia phân giác của $\widehat{EFD}$

Nên CF không thể là tia phân giác của $\widehat{EFB}$

Do đó đáp án A đúng, B sai.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆MNP.

Nên IH = IK.

Do đó đáp án A, C sai.

Vì I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của ∆MNP.

Nên I là giao điểm của ba đường phân giác của ∆MNP.

Do đó MI là đường phân giác của ∆MNP.

Gọi E là giao điểm của MI và NP.

Xét ∆MNE và ∆MPE, có:

ME là cạnh chung.

MN = MP (do ∆MNP cân tại M).

$\widehat{NME}=\widehat{PME}$ (ME là đường phân giác của ∆MNP).

Do đó ∆MNE = ∆MPE (c.g.c)

Suy ra NE = PE (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra E là trung điểm của NP.

Khi đó ta có ME là đường trung tuyến của ∆MNP hay MI là đường trung tuyến của ∆MNP.

∆MNP có G là trọng tâm.

Suy ra G ∈ MI.

Khi đó ba điểm M, G, I thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng, đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}$.

Vì AD là đường phân giác của ∆ABC.

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}}{2}$.

∆ABH vuông tại H: $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90°$.

Suy ra $\widehat{BAH}=90°-\widehat{ABC}$.

Ta có $\widehat{HAD}=\widehat{BAD}-\widehat{BAH}$

$=\frac{180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}}{2}-\left(90°-\widehat{ABC}\right)$

$=\frac{180°}{2}-\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2}-90°+\widehat{ABC}$

$=90°+\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2}-90°$

$=\frac{\widehat{ABC}-\widehat{ACB}}{2}=\frac{\hat{B}-\hat{C}}{2}$.

Vì vậy $\widehat{HAD}=\frac{\hat{B}-\hat{C}}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có CI, BI là hai đường phân giác của ∆ABC nên:

+) $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$

+) $\widehat{ACB}=2\widehat{ACI}$

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{IBC}+2\widehat{ICA}$.

$2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICA}\right)=2\left(37°+23°\right)=120°$.

∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=180°-120°=60°$.

∆ABC có hai đường phân giác CI, BI cắt nhau tại I.

Suy ra AI là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.

Do đó $\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

Khi đó x = 30°.

Vậy ta chọn đáp án A.

Ta có ∆ABC vuông tại A nên $\widehat{BAK}+\widehat{KAC}=90°$ (do $\widehat{BAC}=90°$)

∆AHK vuông tại H nên $\widehat{BKA}+\widehat{KAH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAH}$ (do AK là phân giác $\widehat{HAC}$).

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{BKA}$.

Do đó ∆BAK cân tại B.

Vì vậy đáp án A, C sai.

Xét ∆BAH có O là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh A và đỉnh H.

Suy ra BO là đường phân giác thứ ba (xuất phát từ đỉnh B) của ∆BAH.

Do đó BO là tia phân giác của $\widehat{ABK}$ (1).

Xét ∆ABM và ∆KBM, có:

BM là cạnh chung.

BA = BK (do ∆BAK cân tại B)

AM = MK (do M là trung điểm AK)

Do đó ∆ABM = ∆KBM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{KBM}$ (cặp góc tương ứng)

Khi đó ta có BM là đường phân giác của ∆BAK.

Do đó BM cũng là tia phân giác của $\widehat{ABK}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra BO trùng với BM.

Do đó ba điểm B, O, M thẳng hàng.

Vì vậy đáp án B đúng, đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

∆ABC có hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B, C cắt nhau tại O.

Suy ra AO là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.

Do đó $\widehat{BAO}=\widehat{OAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{120°}{2}=60°$.

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{BAE}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{BAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$.

Tương tự ta có $\widehat{CAD}=60°$.

Xét ∆BAE và ∆BAO, có:

BA là cạnh chung.

$\widehat{BAO}=\widehat{BAE}\left(=60°\right)$.

$\widehat{OBA}=\widehat{EBA}$ (do BA là phân giác của $\widehat{OBE}$).

Do đó ∆BAE = ∆BAO (g.c.g).

Suy ra BE = BO (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được CD = CO.

Xét ∆BDE và ∆BDO, có:

BD là cạnh chung.

BO = BE (chứng minh trên).

$\widehat{OBD}=\widehat{EBD}$ (do BD là phân giác của $\widehat{OBE}$).

Do đó ∆BDE = ∆BDO (c.g.c).

Suy ra DE = DO (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được DE = OE.

Suy ra DE = OE = DO.

Vì vậy ∆ODE đều.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta xét phát biểu (I):

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (1).

Vì BQ, CP là các đường phân giác của ∆ABC nên $\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ và $\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$.

Suy ra ∆OBC cân tại O.

Do đó phát biểu (I) đúng.

Ta xét phát biểu (II):

∆ABC có hai đường phân giác BQ, CP cắt nhau tại O.

Suy ra O là giao điểm của ba đường phân giác của ∆ABC.

Khi đó O cách đều ba cạnh AB, AC và BC (tính chất ba đường phân giác).

Do đó phát biểu (II) đúng.

Ta xét phát biểu (III):

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

Suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (1).

Lại có OB = OC (do ∆OBC cân tại O)

Suy ra điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (2).

Từ (1), (2), ta được AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó phát biểu (III) đúng.

Ta xét phát biểu (IV):

Xét ∆PBC và ∆QCB, có:

BC là cạnh chung.

$\widehat{C_2}=\widehat{B_2}$ (chứng minh trên).

$\widehat{PBC}=\widehat{QCB}$ (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆PBC = ∆QCB (g.c.g).

Suy ra CP = BQ (cặp cạnh tương ứng).

Do đó phát biểu (IV) đúng.

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và BP = CQ (do ∆PBC = ∆QCB).

Suy ra AB – BP = AC – CQ.

Do đó AP = AQ.

Khi đó ∆APQ cân tại A.

Do đó phát biểu (V) sai.

Vậy ta có 4 phát biểu đúng là: (I), (II), (III), (IV).

Do đó ta chọn đáp án C.