Xét ∆OPQ có OP < OQ + PQ (bất đẳng thức trong tam giác)

Xét ∆QNM có QN < MQ + MN (bất đẳng thức trong tam giác)

Suy ra OP + QN < OQ + PQ + MQ + MN

Hay OP + ON + OQ < OQ + MP + MN

Nên OP + ON < MP + MN

Vậy ta chọn đáp án C.

Vì DE – EG = 7 cm (giả thiết) nên DE = EG + 7 (cm)

Ta có DE + EG = 15 cm (giả thiết)

Hay EG + 7 + EG = 15

Suy ra 2. EG = 15 – 7 = 8

Do đó EG = 4 (cm)

Khi đó DE = 4 + 7 = 11 (cm)

Xét tam giác DEG có DE > EG (11 cm > 4 cm)

Mà cạnh DE đối diện với góc G, cạnh EG đối diện với góc D.

Nên $\hat{G}>\hat{D}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Vậy ta chọn đáp án B.

Vì tam giác DEG có DG > EG > DE (8 cm > 7 cm > 5 cm) nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $\hat{E}>\hat{D}>\hat{G}$

Vậy góc G là góc nhỏ nhất trong tam giác DEG.

Vì tam giác MNP có MN > MP > NP nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có $\hat{P}>\hat{N}>\hat{M}$

Vậy ta chọn đáp án C.

Xét DMIN vuông tại I có $\widehat{HMN}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh M

Nên $\widehat{HMN}=\widehat{MIN}+\widehat{MNI}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Mà $\widehat{MIN}=90°$ do đó $\widehat{HMN}=90°+\widehat{MNI}>90°$

Khi đó góc HMN là góc tù.

Mà trong ∆HMN, cạnh HN đối diện với góc tù HMN.

Nên HN là cạnh lớn nhất (cạnh đối diện với góc lớn hơn)

Suy ra MN < HN (1)

Tương tự ta cũng có $\widehat{HNK}$ là góc ngoài tại đỉnh N của tam giác vuông HIN nên $\widehat{HNK}$ là góc tù.

Do đó, trong tam giác HNK, cạnh HK đối diện với góc tù $\widehat{HNK}$ là cạnh lớn nhất

Suy ra HN < HK (2)

Từ (1) và (2) ta có: MN < HN< HK.

Vậy ta chọn phương án C.

+) Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) nên đẳng định (1) đúng.

+) Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) nên khẳng định (2) đúng.

+) Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn, nên đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác) nên khẳng định (3) đúng.

+) Trong tam giác tù góc lớn nhất là góc tù, trong tam giác vuông góc lớn nhất là góc vuông, trong tam giác nhọn có một góc nhọn lớn nhất nên trong một tam giác bất kì, đối diện với cạnh lớn nhất chưa chắc đã là góc tù mà có thể là góc nhọn hoặc góc vuôngnên khẳng định (4) sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, mà cạnh 8 cm là cạnh lớn nhất nên góc đối diện với cạnh có độ dài 8 cm là góc lớn nhất.

Xét tam giác ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ ( định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

Mà $\hat{B}=45°,\hat{C}=35°$

Do đó $\hat{A}=180°-45°-35°=100°$ hay $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$

Vì tam giác ABC có $\hat{A}>\hat{B}>\hat{C}$ nên theo quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta có BC > AC > AB

Vậy ta chọn đáp án A.

Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:

AC – AB < BC < AC + AB

Hay 4 – 1 < BC < 4 + 1

Suy ra 3 < BC < 5.

Trong các phương án thì chỉ có phương án C (BC = 4 cm) thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy độ dài cạnh BC có thể là 4 cm.

Xét tam giác ABC có AC > AB (5 cm > 3 cm)

Mà góc B đối diện với cạnh AC, góc C đối diện với cạnh AB.

Nên $\hat{B}>\hat{C}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy ta chọn đáp án C.

Xét một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c (a, b, c > 0)

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có a < b + c.

Nên a + a < b + c + a

Suy ra 2.a < b + c + a

Hay a < $\frac{a+b+c}{2}$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$b<\frac{a+b+c}{2}$ và $c<\frac{a+b+c}{2}$

Vậy ta chọn phương án A.

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là x (x > 0).

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

9 – 3 < x < 9 + 3

Do đó 6 < x < 12.

Mà x là số nguyên nên ta có x ∈ {7; 8; 9; 10; 11}.

Vậy có 5 giá trị x nên có 5 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy ta chọn phương án B.

Đặt ba điểm tại ba vị trí như hình vẽ trên.

Theo bất đẳng thức ta có:

AB + AC > BC

Nên AB + AC > 3,7 cm.

Do đó tổng quãng đường từ nhà Mai đến nhà Lan rồi từ nhà Lan tới trường học phải lớn hơn 3,7 km.

Vậy nên bạn Mai đã nói sai.