Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) nên AD = CD (tính chất hình vuông)

Do đó AE + ED = CF + FD

Mà AE = FD (giả thiết) nên ED = CF.

Xét ∆FED và ∆GFC có:

FD = CG (giả thiết),

$\hat{D}=\hat{C}$($=90°$, tính chất hình vuông),

ED = CF (chứng minh trên)

Do đó ∆FED = ∆GFC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{FED}=\widehat{CFG}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{FED}+\widehat{DFE}=90°$ (trong tam giác FDE vuông tại D, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó $\widehat{GFC}+\widehat{DFE}=90°$

Mặt khác $\widehat{GFC}+\widehat{DFE}+\widehat{GFE}=180°$

Suy ra $\widehat{GFE}=180°-\left(\widehat{GFC}+\widehat{DFE}\right)=180°-90°=90°$

Vậy $\widehat{GFE}=90°$

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

BA = MN (giả thiết),

$\hat{B}=\hat{N}$ (giả thiết),

CB = NP (giả thiết)

Do đó ∆ABC = ∆MNP (c.g.c)

Vậy ta chọn phương án A.

Xét ∆HIK và ∆GED có:

IH = DE (giả thiết),

$\hat{H}=\hat{E}$ (giả thiết),

HK = EG (giả thiết)

Do đó ∆HIK = ∆EDG (c.g.c)

Vậy ta chọn phương án A.

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

AB = NM (giả thiết),

$\hat{A}=\hat{M}=45°$ (giả thiết),

AC = PM (giả thiết),

Do đó ∆ABC = ∆MNP (c.g.c)

Suy ra $\hat{N}=\hat{B}=70°$ (hai góc tương ứng)

Xét ∆MNP có $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\hat{P}=180°-\hat{M}-\hat{N}$

Do đó $\hat{P}=180°-45°-70°=65°$

Vậy $\hat{P}=65°$.

Vì A nằm trên đường thẳng vuông góc với CB tại H nên ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Vì I nằm trên đường thẳng vuông góc với CB tại H nên ta có: $\widehat{IHB}=\widehat{IHC}=90°$

+) Xét ∆ABH và ∆ACH có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90°)$ (chứng minh trên),

AH là cạnh chung,

BH = CH (do H là trung điểm của CB),

Suy ra ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông)

Do đó đáp án A đúng

Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh trên)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai góc tương ứng)

+) Xét tam giác HCI và tam giác HBI có:

$\widehat{IHB}=\widehat{IHC}=90°$ (chứng minh trên),

HI là cạnh chung,

BH = CH (do H là trung điểm của CB),

Suy ra ∆ICH = ∆IBH (hai cạnh góc vuông)

Do đó đáp án B đúng

+) Xét tam giác BAI và tam giác CAI có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (do $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$),

AI là cạnh chung

Suy ra ∆BAI = ∆CAI (c.g.c)

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì ∆ABO = ∆NMO theo trường hợp cạnh – góc – cạnh nên điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen kẽ giữa hai cạnh.

Mà $\widehat{AOB}=\widehat{MON}$ (hai góc đối đỉnh)

Góc AOB xen kẽ giữa hai cạnh OA và OB, góc MON xen kẽ giữa hai cạnh OM và ON.

Mà OA = ON nên điều kiện còn thiếu trong trường hợp này là điều kiện về cạnh, đó là OB = OM.

Vậy ta chọn phương án C.

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AH là cạnh chung,

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90°$ (giả thiết),

BH = CH (giả thiết),

Do đó ∆ABH = ∆ACH (c.g.c)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = 5 cm nên AC = 5 cm.

Vậy độ dài cạnh AC là 5 cm.

+ Xét ∆ABM và ∆ACN có:

AB = AC (giả thiết),

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (giả thiết),

BM = CN (giả thiết)

Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c)

+ Vì BN = BM + MN, CM = CN + MN

Mà BM = CN (giả thiết) nên BN = CM.

Xét ∆ABN và ∆ACM có:

AB = AC (giả thiết),

$\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$ (giả thiết),

BN = CM (chứng minh trên)

Do đó ∆ABN = ∆ACM (c.g.c)

Vậy cả phương án A và B đều đúng, ta chọn phương án D.

+) Vì ∆ABC = ∆MNP (giả thiết)

Nên ta có:

• AC = MP, BC = NP, AB = MN (các cặp cạnh tương ứng)

• $\hat{B}=\hat{N},\hat{C}=\hat{P}$ (các cặp góc tương ứng)

Mà $AE=CE=\frac{1}{2}AC$, $BD=CD=\frac{1}{2}BC$,$MR=RP=\frac{1}{2}MP$,$NQ=PQ=\frac{1}{2}NP$

(E, D, R, Q lần lượt là trung điểm của CA, CB, MP, NP)

Suy ra AE = EC = MR = RP, BD = DC = NQ = QP

+) Xét ∆ABD và ∆MNQ có:

AB = MN (chứng minh trên),

$\hat{B}=\hat{N}$ (chứng minh trên),

BD = NQ (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆MNQ (c.g.c)

Vậy A là đúng.

+) Xét ∆CDE và ∆PQR có:

CD = PQ (chứng minh trên),

$\hat{C}=\hat{P}$ (chứng minh trên),

CE = PR (chứng minh trên)

Do đó ∆CDE = ∆PQR (c.g.c)

Vậy B là đúng.

+) Xét ∆ADC và ∆MQP có:

AC = PM (chứng minh trên),

$\hat{C}=\hat{P}$ (chứng minh trên),

CD = PQ (chứng minh trên)

Do đó ∆ADC = ∆MQP(c.g.c).

Vậy C là đúng, D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Tam giác ABC có AB = AC = BC (giả thiết) nên là tam giác đều

Do đó $\hat{A}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Vì CK là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ACK}=\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác) (1)

Xét ∆ACK và ∆BCK có:

AC = BC (giả thiết),

$\widehat{ACK}=\widehat{KCB}$ (chứng minh trên),

CK là cạnh chung.

Do đó ∆ACK = ∆BCK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AKC}=\widehat{BKC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AKC}+\widehat{BKC}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AKC}=\widehat{BKC}=\frac{180°}{2}=90°$

Do đó CK $\perp$ AB. Nên (I) là phát biểu đúng.

Mà BH là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{ABH}=\widehat{HBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Xét ∆ABH và ∆CBH có:

AB = BC (giả thiết),

$\widehat{ABH}=\widehat{HBC}$ (chứng minh trên),

BH là cạnh chung

Do đó ∆ABH = ∆CBH (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{CHB}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{CHB}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AHB}=\widehat{CHB}=\frac{180°}{2}=90°$

Do đó BH $\perp$ AC.

Nên (II) là phát biểu sai và (III) là phát biểu đúng.

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABH}=\widehat{HBC}=\widehat{ACK}=\widehat{KCB}$.

Hay $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Nên (IV) là phát biểu đúng.

Vậy có 3 phát biểu đúng, ta chọn phương án C.

+ Xét ∆MHI và ∆MKI có:

$\widehat{MIH}=\widehat{MIK}(=90°)$, HI = KI, MI là cạnh chung

Do đó ∆MHI = ∆MKI (c.g.c)

+ Xét ∆HIN và ∆KIN có:

$\widehat{HIN}=\widehat{KIN}(=90°)$, HI = KI, IN là cạnh chung

Do đó ∆HIN = ∆KIN (c.g.c)

Suy ra $\widehat{HNI}=\widehat{KNI}$ (hai góc tương ứng) và HN = KN (hai cạnh tương ứng)

+ Xét ∆MHN và ∆MKN có:

HN = KN (chứng minh trên);

$\widehat{HNM}=\widehat{KNM}$ (do $\widehat{HNI}=\widehat{KNI}$)

MN là cạnh chung

Do đó ∆MHN = ∆MKN (c.g.c)

Vậy có 3 cặp tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Vì ∆DEF = ∆NMP theo trường hợp cạnh – góc – cạnh nên điều kiện về cặp góc bằng nhau của hai tam giác là góc xen kẽ giữa hai cạnh.

Mà $\hat{E}$ là góc xen kẽ giữa hai cạnh ED và EF, $\hat{M}$ là góc xen kẽ giữa hai cạnh MN và MP.

Lại có ED = MN

Do đó điều kiện còn lại là điều kiện về cạnh, đó là FE = MP.

Vậy ta chọn phương án B.

Vì tia Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Mà $\widehat{xOz}+\widehat{xOI}=180°$ (tính chất hai góc kề bù) và $\widehat{yOz}+\widehat{yOI}=180°$ (tính chất hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{xOI}=\widehat{yOI}$ hay $\widehat{MOI}=\widehat{NOI}$

Xét ∆MOI và ∆NOI có:

OM = ON (giả thiết),

$\widehat{MOI}=\widehat{NOI}$ (chứng minh trên),

OI là cạnh chung

Do đó ∆MOI = ∆NOI (c.g.c)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{MIO}=\widehat{NIO}$ (hai góc tương ứng)

Vì $\widehat{MIO}=\widehat{NIO}$ nên tia IO là tia phân giác của $\widehat{MIN}$

Vậy ta chọn phương án D.

Xét ∆ABM và ∆DCM có:

$\hat{B}=\hat{C}$(= 90°),

BM = CM (giả thiết),

AB = CD (giả thiết)

Do đó ∆ABM = ∆DCM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MA = MD (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ANM và ∆DNM có:

AM = DM (chứng minh trên),

$\widehat{ANM}=\widehat{DNM}$ (= 90°),

MN là cạnh chung

Do đó ∆ANM = ∆DNM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{DMN}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMN}+\widehat{DMN}=\widehat{DMA},\widehat{DMA}=100°$ (giả thiết)

Nên $\widehat{AMN}=\widehat{DMN}=\frac{100°}{2}=50°$.

Vậy đo góc AMN là 50°.

Xét ∆EMC và ∆DMB có:

ME = MD (giả thiết),

$\widehat{EMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh),

MB = MC (giả thiết)

Do đó ∆EMC = ∆DMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{CEM}=\widehat{BDM}$ (hai góc tương ứng)

Lại có $\widehat{CEM}=\widehat{AEK}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\widehat{AEK}=\widehat{BDM}=\widehat{BDA}$

Mà hai góc $\widehat{AEK}$ và $\widehat{BDA}$ ở vị trí đồng vị

Suy ra KE // BD

Do đó $\widehat{AKE}=\widehat{ABD}$ (hai góc đồng vị)

Mà $\widehat{ABD}=90°$ nên $\widehat{AKE}=90°$

Vậy $\widehat{AKC}=90°$.