+) Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA nên HA = HO.

Suy ra ∆AHO cân tại H.

Do đó đáp án A đúng.

+) Vì H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OB nên HB = HO.

Suy ra ∆BHO cân tại H.

Do đó $\widehat{BOH}=\widehat{OBH}$ (tính chất tam giác cân)

∆BHO có: $\widehat{BHO}+\widehat{BOH}+\widehat{OBH}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BHO}=180°-2\widehat{BOH}$.

Tương tự, ta được $\widehat{AHO}=180°-2\widehat{AOH}$.

Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHO}+\widehat{BHO}$

$=180°-2\widehat{AOH}+180°-2\widehat{BOH}$

$=360°-2\left(\widehat{AOH}+\widehat{BOH}\right)$

$=360°-2\widehat{AOB}$

$=360°-2.90°=180°$.

Suy ra ba điểm A, B, H thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

+) Ta có HA = HB (= HO) và ba điểm A, B, H thẳng hàng (chứng minh trên).

Suy ra H là trung điểm của AB.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Vì A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD

Nên AC = AD (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Vì B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD

Nên BC = BD (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

Xét ∆ABC và ∆ABD, có:

AB là cạnh chung.

BC = BD (chứng minh trên).

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆ABC = ∆ABD (c.c.c)

Suy ra đáp án A đúng.

Đáp án B:

Xét ∆BCM và ∆BDM, có:

BC = BD (chứng minh trên).

BM là cạnh chung.

CM = DM (do M là trung điểm CD).

Do đó ∆BCM = ∆BDM (c.c.c)

Suy ra đáp án B đúng.

Đáp án C:

Xét ∆AMC và ∆AMD, có:

AM là cạnh chung.

CM = DM (do M là trung điểm CD).

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆AMC = ∆AMD (c.c.c)

Suy ra đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có ∆PAB cân tại P nên PA = PB.

Suy ra P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (1).

Tương tự, ta có ∆QAB cân tại Q nên QA = QB.

Suy ra Q thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (2).

Từ (1), (2), ta suy ra PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Nên đáp án D đúng nhất.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có OB là đường trung trực của đoạn thẳng AC (giả thiết).

Suy ra OA = OC và BA = BC.

Khi đó ∆OAC cân tại O.

Do đó đáp án D đúng.

Xét ∆OAB và ∆OCB, có:

OA = OC (chứng minh trên).

BA = BC (chứng minh trên).

OB là cạnh chung.

Suy ra ∆OAB = ∆OCB (c.c.c)

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆OAB = ∆OCB (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{COB}=40°$.

Khi đó $\widehat{AOC}=\widehat{AOB}+\widehat{COB}=40°+40°=80°$.

Do đó đáp án B đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án C.

Xét đáp án C:

Ta có ∆OAC cân tại O.

Suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ (tính chất tam giác cân).

∆OAC có: $\widehat{OCA}+\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $2\widehat{OCA}=180°-\widehat{AOC}=180°-80°=100°$.

Khi đó $\widehat{OCA}=100°:2=50°\ne 60°$.

Do đó đáp án C sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có:

+) AD = AE (do D, E thuộc đường tròn tâm A)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của DE.

+) BD = BE (do D, E thuộc đường tròn tâm B).

Suy ra B nằm trên đường trung trực của DE.

Do đó AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có MQ = MP (giả thiết).

Suy ra M là trung điểm PQ (1)

Lại có ∆MNP vuông tại M.

Suy ra NM ⊥ MP hay NM ⊥ PQ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra NM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Do đó NQ = NP (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Suy ra ∆PQN cân tại N.

Khi đó $\widehat{NQP}=\widehat{NPQ}=30°$ (tính chất tam giác cân)

∆PQN có: $\widehat{QNP}+\widehat{NQP}+\widehat{NPQ}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{QNP}=180°-\widehat{NQP}-\widehat{NPQ}=180°-30°-30°=120°$.

Do đó $\widehat{QNP}=120°$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có AC = AD (giả thiết).

Mà BA ⊥ AC (do ∆ABC vuông tại A).

Nên AB là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó BD = BC.

Suy ra ∆BCD cân tại B.

Mà $\widehat{BCA}=60°$ (giả thiết).

Suy ra ∆BCD đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Xét ∆DEK và ∆DFK, có:

DE = DF (do ∆DEF cân tại D).

KE = KF (giả thiết).

DK là cạnh chung.

Do đó ∆DEK = ∆DFK (c.c.c).

Suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (cặp góc tương ứng).

Xét ∆DPK và ∆DQK, có:

DK là cạnh chung.

$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ (chứng minh trên).

$\widehat{DPK}=\widehat{DQK}=90°$.

Do đó ∆DPK = ∆DQK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KP = KQ (cặp cạnh tương ứng).

Khi đó K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì điểm M cách đều hai điểm A và B.

Nên điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Giả sử xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB và xy cắt d tại M.

Khi đó M là giao điểm của đường thẳng d với đường trung trực của đoạn thẳng AB và điểm M là duy nhất.

Vậy ta chọn đáp án B.

Vẽ xy là đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt đoạn thẳng AC tại D (do AB< AC).

Suy ra D là điểm cần xác định.

Thật vậy, ta có DB = DC (do D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC).

Suy ra DB + DA = DC + DA.

Do đó DA + DB = AC (do D nằm giữa A và C)

Vậy D là giao điểm của AC với đường trung trực của đoạn thẳng BC thì thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn đáp án A.

Vì HE // AI (giả thiết).

Nên $\widehat{AEF}=\widehat{A_1}$ (hai góc đồng vị) và $\widehat{F_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (do AI là phân giác của $\widehat{BAC}$).

Suy ra $\widehat{AEF}=\widehat{F_1}$.

Do đó ∆AEF cân tại A.

Suy ra đáp án C, D sai.

Vì ∆AEF cân tại A nên AE = AF.

Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Do đó đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn đi qua đỉnh A của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Do đó xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Vậy ta chọn đáp án C.

Xét ∆HAO và ∆HBO, có:

$\widehat{HAO}=\widehat{HBO}=90°$.

$\widehat{HOA}=\widehat{HOB}$ (do OH là phân giác của $\widehat{xOy}$).

OH là cạnh chung.

Do đó ∆HAO = ∆HBO (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = HB và OA = OB (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó H và O nằm trên đường trung trực của AB

Khi đó OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó đáp án B đúng.

Xét ∆OAC và ∆OBD, có:

$\widehat{OAC}=\widehat{OBD}=90°$.

OA = OB (chứng minh trên).

$\widehat{AOB}$ là góc chung.

Do đó ∆OAC = ∆OBD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OC = OD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó O nằm trên đường trung trực của CD (1)

Xét ∆HBC và ∆HAD, có:

$\widehat{BHC}=\widehat{AHD}$ (hai góc đối đỉnh).

HA = HB (chứng minh trên).

$\widehat{HBC}=\widehat{HAD}=90°$.

Do đó ∆HBC = ∆HAD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra HC = HD (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H nằm trên đường trung trực của CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra OH là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Do đó đáp án C đúng.

Ta có BD không vuông góc với AB.

Mà OH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Nên OH không thể là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Do đó đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì trạm y tế C cách đều hai khu dân cư A và B.

Nên C thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng AB nối hai khu dân cư.

Mà C nằm trên đường quốc lộ nên C là giao điểm của đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng nối hai khu dân cư.

Do đó để xây dựng trạm y tế ở bên đường cách đều hai điểm dân cư thì trạm y tế đó phải là giao điểm giữa con đường quốc lộ và đường trung trực của đoạn thẳng AB nối hai khu dân cư.

Vậy ta chọn đáp án C.

Vì D là điểm đối xứng của A qua bờ sông

Nên bờ sông chính là đường trung trực của AD.

Do đó CA = CD (tính chất đường trung trực)

Suy ra CA + CB = CD + CB.

Gọi M là giao điểm của BD và bờ sông.

+) Nếu C không trùng với M, ta xét ∆BCD, có:

CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1).

+) Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = CD + CB = MD + MB = BD (2).

Từ (1), (2), ta suy ra CA + CB ≥ BD.

Do đó khi C trùng với M hay C là giao điểm của BD với bờ sông thì giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

Vậy ta chọn đáp án A.