Ta có DF // AC (giả thiết).

Do đó $\widehat{BDF}=\widehat{BCA}$ (hai góc đồng vị) .

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BCA}$ (do ∆ABC cân tại A).

Suy ra $\widehat{BDF}=\widehat{ABC}$ hay $\widehat{BDF}=\widehat{FBD}$.

Do đó ∆BDF cân tại F (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra BF = DF (1).

Ta có DF // AE và DE // AF (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

Suy ra DE = AF (2).

Từ (1), (2), ta suy ra DE + DF = AF + BF = AB = 3 cm.

Vậy ta chọn đáp án B.

∆ABC có $\hat{B}=\hat{C}=x$.

Suy ra ∆ABC cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

∆ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra 100° + x + x = 180°.

Do đó 2x = 180° – 100° = 80°.

Khi đó ta có x = 80° : 2 = 40°.

Vậy x = 40°.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D:

Tam giác tù là tam giác có một góc bất kỳ lớn hơn 90°.

Giả sử ∆ABC cân tại A có $\hat{A}=120°$ (như hình bên).

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có $\hat{B}=\hat{C}$ (tính chất tam giác cân)

∆ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $120°+\hat{B}+\hat{B}=180°$.

Do đó $2\hat{B}=180°-120°=60°$.

Khi đó $\hat{B}=60°:2=30°$.

Do đó ta có $\hat{C}=\hat{B}=30°$.

Ta thấy ∆ABC cân tại A có số đo các cạnh và các góc đều dương.

Mà $\hat{A}=120°>90°$.

Nên tam giác tù vẫn có thể là tam giác cân.

Do đó đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

∆ABC có BD là đường trung tuyến.

Suy ra D là trung điểm AC.

Do đó AD = DC = $\frac{1}{2}AC$ (1).

Chứng minh tương tự, ta được AE = EB = $\frac{1}{2}AB$ (2).

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra AD = AE.

Do đó ∆ADE cân tại A (định nghĩa tam giác cân)

Suy ra đáp án C đúng.

Đáp án A, B, D sai vì các tam giác đó không có hai cạnh nào trong mỗi tam giác bằng nhau.

Vậy ta chọn đáp án C.

Vì ∆ABD vuông cân tại A nên AB = AD (1).

Vì ∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE (2).

Lại có AB < AC (giả thiết) (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra AD < AE.

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì MN = MP (= 4 cm).

Nên ∆MNP cân tại M.

Suy ra $\widehat{MPN}=\widehat{MNP}=70°$ (tính chất tam giác cân)

∆MNP có: $\widehat{NMP}+\widehat{MNP}+\widehat{MPN}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{NMP}+70°+70°=180°$.

Khi đó ta có $\widehat{NMP}=180°-70°-70°=40°$.

Vậy $\widehat{NMP}=40°$.

Do đó ta chọn đáp án B.

Ta có $\widehat{DFE}+\widehat{DFx}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{DFE}=180°-\widehat{DFx}=180°-120°=60°$.

Do đó $\widehat{EDF}=\widehat{DFE}\left(=60°\right)$.

Suy ra ∆DEF cân tại D (dấu hiệu nhận biết)

Mà $\widehat{DFE}=60°$.

Suy ra ∆DEF là tam giác đều.

Suy ra EF = DF = DE = 5 cm.

Vậy ta chọn đáp án C.

∆PQR có: $\hat{P}+\hat{Q}+\hat{R}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

Suy ra $\hat{Q}=180°-\hat{P}-\hat{R}=180°-52°-76°=52°$.

Do đó ta có $\hat{P}=\hat{Q}=52°$.

Suy ra ∆PQR cân tại R (dấu hiệu nhận biết)

Do đó đáp án C đúng.

Vì cả ba góc của ∆PQR đều không bằng nhau và không bằng 60° nên ∆PQR không thể là tam giác đều.

Do đó đáp án A sai.

Vì ∆PQR không có góc nào bằng 90° nên ∆PQR không thể là tam giác vuông.

Do đó đáp án B, D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (1).

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180°$ (hai góc kề bù) (2).

Lại có $\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180°$ (hai góc kề bù) (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên),

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (c.g.c).

Suy ra AD = AE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆ADE cân tại A (dấu hiệu nhận biết).

Vậy ta chọn đáp án A.

Vì AM = AN (giả thiết).

Nên ∆AMN là tam giác cân tại A.

Mà $\hat{A}=60°$ (do ∆ABC đều).

Suy ra ∆AMN là tam giác đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có ∆ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

∆ABC: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $2\widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1).

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAx}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{CAx}=180°-\widehat{BAC}$

Hay $2\widehat{CAI}=180°-\widehat{BAC}$ (do AI là phân giác của $\widehat{CAx}$).

Do đó $\widehat{CAI}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{ACB}=\widehat{CAI}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra AI // BC.

Do đó đáp án B đúng.

Vì AI // BC nên $\widehat{AIB}=\widehat{IBC}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{IBC}=\widehat{IBA}$ (do BI là phân giác của $\widehat{ABC}$).

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{IBA}$.

Suy ra ∆ABI cân tại A (dấu hiệu nhận biết).

Do đó đáp án A, C, D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Xét ∆ADB và ∆ADC, có:

AD là cạnh chung,

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$),

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆ADC (c.c.c).

Suy ra đáp án C đúng.

Ta có ∆ADB = ∆ADC (chứng minh trên).

Suy ra BD = CD và $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Vì BD = CD nên D là trung điểm BC.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180°÷2=90°$.

Do đó AD ⊥ BC.

∆ABD vuông tại D: $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}=90°$.

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (AD là phân giác của $\widehat{BAC}$).

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{CAD}=90°$.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{CAD}=90°$.

Suy ra $\widehat{ABC}<90°$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}<90°+90°=180°$.

Do đó đáp án D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Xét ∆ADH và ∆ADE, có:

AH = AE (giả thiết).

$\widehat{HAD}=\widehat{DAE}$ (do AD là phân giác của $\widehat{HAC}$).

AD là cạnh chung.

Do đó ∆ADH = ∆ADE (c.g.c)

Suy ra đáp án A đúng.

Đáp án B:

∆ADH = ∆ADE (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{AHD}=\widehat{AED}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHD}=90°$ (do AH ⊥ HD).

Do đó $\widehat{AED}=90°$.

Khi đó ta có DE ⊥ AE hay DE ⊥ AC.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án C:

Ta có AH = AE (giả thiết) và HF = EC (giả thiết).

Suy ra AH + HF = AE + EC.

Do đó AF = AC.

Khi đó ta có ∆ACF cân tại A (1).

Vì ∆AHC vuông tại H nên $\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90°$.

Do đó $\widehat{HAC}=90°-\widehat{HCA}=90°-30°=60°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ∆ACF là tam giác đều.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.