Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Ta có GB = 2GC.

Suy ra GB = 2(BC – BG).

Do đó GB = 2BC – 2GB.

Khi đó 3GB = 2BC.

Vậy $GB=\frac{2}{3}BC$.

∆ABD có C là trung điểm của AD.

Suy ra BC là đường trung tuyến của ∆ABD.

Mà G ∈ BC và $GB=\frac{2}{3}BC$.

Nên G là trọng tâm của ∆ABD.

Do đó đáp án A đúng.

Đáp án B:

Ta có AE là đường trung tuyến của ∆ABD.

Do đó G ∈ AE và $AG=\frac{2}{3}AE$.

Suy ra G không là trung điểm của AE.

Do đó đáp án B sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án B.

Đáp án C:

Ở đáp án B, ta đã chứng minh được G ∈ AE.

Nên ba điểm A, G, E thẳng hàng.

Do đó đáp án C đúng.

Đáp án D:

Ta có G là trọng tâm ∆ABD (chứng minh trên).

Suy ra DG là đường trung tuyến của ∆ABD.

Khi đó DG đi qua trung điểm của AB.

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Vì AM là đường trung tuyến của ∆ABC nên M là trung điểm BC.

Suy ra MB = MC.

Do đó đáp án C đúng.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

AM là cạnh chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra đáp án A đúng.

Ta có ∆ABM = ∆ACM (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ và $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (các cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án D sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án D.

Ta có $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $2\widehat{AMB}=180°$.

Do đó $\widehat{AMB}=180°:2=90°$.

Khi đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$.

Suy ra AM ⊥ BC.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất trọng tâm ta có:

$\frac{GX}{GA}=\frac{1}{2}$, $\frac{GY}{GB}=\frac{1}{2}$, $\frac{GZ}{GC}=\frac{1}{2}$

Suy ra $GX=\frac{1}{2}GA;GY=\frac{1}{2}GB;GZ=\frac{1}{2}GC$

Mà GA = GB = GC.

Suy ra GX = GY = GZ.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có AD = AG + GE + ED = AG + AG + AG = 3AG.

Suy ra AG = GE = ED = $\frac{1}{3}AD$.

Ta có AE = AG + GE = $\frac{1}{3}AD+\frac{1}{3}AD=\frac{2}{3}AD$.

Mà AD là đường trung tuyến của ∆ABC.

Do đó E là trọng tâm của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có BE, CF là hai đường trung tuyến của ∆ABC.

Nên E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB

Suy ra CE = $\frac{1}{2}AC$ và BF = $\frac{1}{2}AB$.

Mà AB = AC (do ∆ABC đều).

Do đó $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$.

Khi đó ta có CE = BF.

Xét ∆BCE và ∆CBF, có:

BC là cạnh chung.

CE = BF (chứng minh trên).

$\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (do ∆ABC đều).

Do đó ∆BCE = ∆CBF (c.g.c).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được AD = BE.

Suy ra BE = AD = CF.

Do đó đáp án A, B đều đúng.

Đáp án C sai vì:

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung.

BD = CD (AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

AB = AC (∆ABC đều).

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180°:2=90°$.

Khi đó ta có AD ⊥ BC.

Do đó đoạn thẳng AD là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC và AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Suy ra AD < AB.

Do đó đáp án C sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét đáp án A:

Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó $BG=\frac{2}{3}BE$ và $CG=\frac{2}{3}CF$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Mà $\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}CF$ (do BE = CF).

Suy ra BG = CG.

Khi đó ta có ∆BCG cân tại G.

Do đó đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

Xét ∆BFC và ∆CEB, có:

CF = BE (giả thiết).

$\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$ (do ∆BCG cân tại G).

BC là cạnh chung.

Do đó ∆BFC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (cặp góc tương ứng).

Khi đó ta có ∆ABC cân tại A.

Do đó đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Gọi D là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra D là trung điểm BC.

Do đó DB = DC.

Xét ∆ABD và ∆ACD, có:

AD là cạnh chung.

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

BD = CD (chứng minh trên)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=180°:2=90°$.

Khi đó AD ⊥ BC hay AG ⊥ BC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

∆ABC có đường trung tuyến AD nên D là trumg điểm của BC

Do đó DB = DC.

Xét ∆BDG và ∆CDK, có:

BD = CD (chứng minh trên)

$\widehat{BDG}=\widehat{CDK}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{GBD}=\widehat{KCD}$ (hai góc so le trong của BM // CK).

Do đó ∆BDG = ∆CDK (g.c.g).

Suy ra đáp án C đúng.

Ta có ∆BDG = ∆CDK (chứng minh trên).

Suy ra BG = CK và DG = DK = $\frac{1}{3}AD\ne \frac{1}{2}AD$.

Do đó đáp án A, D sai.

∆ABC có điểm G nằm trên đường trung tuyến AD.

Mà $GD=\frac{1}{3}AD$.

Nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Lại có đường thẳng BM đi qua điểm G

Suy ra BM là đường trung tuyến của ∆ABC.

Khi đó M là trung điểm AC.

Suy ra MA = MC.

Do đó đáp án B sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $BG=\frac{2}{3}BM$, $CG=\frac{2}{3}CN$.

Khi đó $BM=\frac{3}{2}BG$, $CN=\frac{3}{2}CG$.

Xét tam giác BGC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

BG + CG > BC

Do đó $\frac{3}{2}BG+\frac{3}{2}CG>\frac{3}{2}BC$

Hay $BM+CN>\frac{3}{2}BC$

Do đó ta chọn đáp án A.

Ta xét đáp án A:

Ta có DM = DG. Suy ra GM = 2GD.

Lại có G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $\frac{GD}{GB}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)

Nên GB = 2GD.

Khi đó ta có BG = 2GD = GM.

Do đó đáp án A đúng.

Ta xét đáp án B:

Chứng minh tương tự đáp án A, ta được CG = GN.

Xét ∆GMN và ∆GBC, có:

GM = GB (chứng minh trên).

CG = GN (chứng minh trên).

$\widehat{MGN}=\widehat{BGC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆GMN = ∆GBC (c.g.c).

Suy ra MN = BC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng.

Ta xét đáp án C:

Ta có ∆GMN = ∆GBC (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{GMN}=\widehat{GBC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Ta suy ra MN // BC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Ta có ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = 2AE (E là trung điểm AB) và AC = 2AD (D là trung điểm AC).

Suy ra 2AE = 2AD hay AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

AE = AD (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ là góc chung.

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

Suy ra BD = CE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án A đúng.

Đáp án B:

Ta có G là trọng tâm của ∆ABC nên $BG=\frac{2}{3}BD$ và $CG=\frac{2}{3}CE$.

Mà BD = CE (chứng minh trên).

Suy ra $\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3}CE$.

Do đó BG = CG.

Vậy ∆GBC cân tại G.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án C:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$GD=\frac{1}{2}GB,GE=\frac{1}{2}GC$

Do đó $GD+GE=\frac{1}{2}BG+\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2}\left(BG+CG\right)$.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra $GB+GE>\frac{1}{2}BC$ (điều phải chứng minh).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có BF = 2BE (giả thiết). Suy ra BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

Suy ra D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Do đó đáp án A đúng.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên $\frac{GC}{DC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm)

Do đó đáp án C đúng.

Ta có $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{GE}{GK}=2$.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D. 

Trên hình vẽ, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G

Nên G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó $AG=\frac{2}{3}AM$ (tính chất trọng tâm)

Suy ra $GM=\frac{1}{3}AM$

Mà AM = 3 cm

Nên GM = 1 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AM$.

Do đó $4x+6=\frac{2}{3}.9x$

4x + 6 = 2.3x

4x + 6 = 6x

4x – 6x = –6

–2x = –6.

x = –6 : (–2)

x = 3.

Ta xét đáp án A, B:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có $GB=\frac{2}{3}BE$ và $GC=\frac{2}{3}CF$.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3}BE+\frac{2}{3}CF>BC$.

Do đó $\frac{2}{3}\left(BE+CF\right)>BC$.

Khi đó $BE+CF>\frac{3}{2}BC$ (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) $AD+BE>\frac{3}{2}AB$ (2).

+) $AD+CF>\frac{3}{2}AC$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

$2AD+2BE+2CF>\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC$

Suy ra $2\left(AD+BE+CF\right)>\frac{3}{2}\left(AB+BC+CA\right)$.

Do đó $AD+BE+CF>\frac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)$.

Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.

Ta xét đáp án C:

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’.

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

$\widehat{ADB}=\widehat{A\text{'}DB}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Do ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC

Suy ra $GM=\frac{1}{2}GB$

Mà G là trung điểm của FM nên GM = GF

Do đó $GF=\frac{1}{2}GB$

Suy ra F là trung điểm của GB.

Nên GF = FB. Do đó A đúng.

Chứng minh tương tự ta có E là trung điểm của GC. Do đó B đúng.

Ta có: GN = GE = EC nên C là sai.

Vì F, E lần lượt là trung điểm của GB và GC (chứng minh trên)

Nên CF, BE là hai đường trung tuyến của ∆GBC.

Mà ∆GBC còn có GD là đường trung tuyến thứ ba (D là trung điểm BC).

Khi đó GD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của ∆GBC.

Hay AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.