Ta có đoạn thẳng AE là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng EF; đoạn thẳng AD là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng EF.

Do đó AE < AD (1).

Ta có đoạn thẳng CF là đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng EF; đoạn thẳng CD là đường xiên kẻ từ điểm C đến đường thẳng EF.

Do đó CF < CD (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được AE + CF < AD + CD = AC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Các đường thẳng không vuông góc với NT đều là đường xiên từ các điểm không thuộc đường thẳng NT đến đường thẳng NT.

Các đoạn thẳng MN, MT là các đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng NT.

Đoạn thẳng PT là đường xiên kẻ từ điểm P đến đường thẳng NT.

Đoạn thẳng QS là đường xiên kẻ từ điểm Q đến đường thẳng NT.

Do đó có 4 đường xiên kẻ từ các điểm M, P, Q đến đường thẳng NT.

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có đoạn thẳng AD là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC; các đoạn thẳng AB, AC là các đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Do đó đoạn thẳng AD ngắn nhất.

Vậy ta chọn đáp án A.

Ta xét điểm A:

Đoạn thẳng AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Do đó có 1 đường vuông góc kẻ từ điểm A trong hình trên (1).

Ta xét điểm B:

+) Đoạn thẳng BA là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.

+) Đoạn thẳng BH là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AH.

Do đó có 2 đường vuông góc kẻ từ điểm B trong hình trên (2).

Ta xét điểm C:

+) Đoạn thẳng CA là đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB.

+) Đoạn thẳng CH là đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AH.

Do đó có 2 đường vuông góc kẻ từ điểm C trong hình trên (3).

Từ (1), (2), (3), ta được 5 đường vuông góc thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy ta chọn đáp án C.

Trong hình trên, ta thấy CB ⊥ AB (∆ABC vuông tại B).

Do đó B là hình chiếu của C lên đường thẳng AB.

Ta có I, J, K đều thuộc đường thẳng BC.

Mà BC ⊥ AB.

Do đó IB ⊥ AB hay JB ⊥ AB hay KB ⊥ AB.

Suy ra B là hình chiếu của I, J, K lên đường thẳng AB.

Khi đó ta có B là hình chiếu của các điểm I, J, K, C lên đường thẳng AB.

Vậy ta chọn đáp án D.

Ta có đoạn thẳng AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC; các đoạn thẳng AB, AC là các đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Do đó AH là đoạn thẳng ngắn nhất trong ba đoạn thẳng AB, AC và AH (1).

Ta có đoạn thẳng KH là đường vuông góc kẻ từ điểm K đến đường thẳng BC; các đoạn thẳng KB, KC là các đường xiên kẻ từ điểm K đến đường thẳng BC.

Do đó KH là đoạn thẳng ngắn nhất trong ba đoạn thẳng KB, KC và KH (2).

Vì K thuộc AH (giả thiết) nên KH < AH (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra KH là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng AB, AC, AH, BK, CK, KH.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có DH là đường vuông góc kẻ từ điểm D đến đường thẳng AB; DB là đường xiên kẻ từ điểm D đến đường thẳng AB.

Ta suy ra DH < DB (1).

Tương tự, ta có DK là đường vuông góc kẻ từ điểm D đến đường thẳng AC; DC là đường xiên kẻ từ điểm D đến đường thẳng AC.

Ta suy ra DK < DC (2).

Từ (1), (2), ta suy ra DH + DK < DB + DC = BC.

Khi đó ta có DH + DK < BC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta xét đáp án D:

∆ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180°-30°-70°=80°\ne 70°.$

Do đó đáp án D sai.

Ta xét đáp án A, B, C:

Ta có AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC; AC là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng AC.

Do đó AH < AC.

Suy ra đáp án B đúng, đáp án A, C sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta thấy AD là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC và AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

Do đó AD < AB (1).

Tương tự, ta có CF là đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và CA là một đường xiên kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB.

Do đó CF < AC (2).

Tương tự, ta có BE là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC và BC là một đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.

Do đó BE < BC (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

AD + CF + BE < AB + AC + BC.

Do đó AD + BE + CF < C.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có NE = MN (giả thiết).

Suy ra ∆MNE cân tại N.

Do đó $\widehat{NME}=\widehat{NEM}$ (1).

Vì ∆MNP vuông tại A nên $\widehat{NMP}=90°$.

Suy ra $\widehat{NME}+\widehat{EMF}=90°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{NEM}+\widehat{EMF}=90°$ (*).

∆MHE vuông tại H: $\widehat{HME}+\widehat{NEM}=90°$ (**).

Từ (*), (**), ta suy ra $\widehat{EMF}=\widehat{HME}$.

Xét ∆HME và ∆FME, có:

ME là cạnh chung.

$\widehat{EMF}=\widehat{HME}$ (chứng minh trên).

MH = MF (giả thiết).

Do đó ∆HME = ∆FME (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MHE}=\widehat{MFE}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{MHE}=90°$ (do MH ⊥ HE).

Suy ra $\widehat{MFE}=90°$.

Do đó EF ⊥ MF hay EF ⊥ MP.

Khi đó ta có EF là đường vuông góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng MP.

Do đó đoạn thẳng EF là khoảng cách từ E đến đường thẳng MP.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có đoạn thẳng BA là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC; đoạn thẳng BF là đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.

Do đó BA < BF (1).

Vì E thuộc cạnh AB (giả thiết) nên EA < BA (2).

Từ (1), (2), ta suy ra EA < BA < BF.

Vậy ta chọn đáp án B. 

Đoạn thẳng AB là đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng BC.

Các đoạn thẳng AD, AE, AC là đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC.

Do đó đoạn AB ngắn nhất.

Vậy ta chọn đáp án A

Ta thấy CA ⊥ AB tại A.

Do đó CA là đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và BC là đường xiên kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB.

Suy ra CA < CB (1).

Ta có E ∈ AC và AE = 3 cm.

Suy ra CE = AC – AE = AC – 3.

Do đó CE < AC (2).

Ta có F ∈ AC và AF = 5 cm.

Suy ra CF = AC – AF = AC – 5 = (AC – 3) – 2.

Mà CE = AC – AE = AC – 3 (chứng minh trên).

Do đó CF = CE – 2

Suy ra CF < CE (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra CF < CE < CA < CB.

Vậy ta chọn đáp án A.

Ta có AH ⊥ BM (giả thiết) và CK ⊥ BM (giả thiết).

Suy ra AH // CK.

Do đó $\widehat{HAM}=\widehat{KCM}$ (cặp góc so le trong).

Xét ∆HAM và ∆KCM, có:

$\widehat{HMA}=\widehat{KMC}$ (hai góc đối đỉnh).

MA = MC (M là trung điểm AC).

$\widehat{HAM}=\widehat{KCM}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆HAM = ∆KCM (g.c.g).

Suy ra MH = MK (cặp cạnh tương ứng).

Ta có đoạn thẳng BA là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC; đoạn thẳng BM là đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.

Suy ra BA < BM.

Do đó BA < BH + HM (1) và BA < BK – MK (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được 2BA < BH + HM + BK – MK.

Mà HM = MK (chứng minh trên).

Do đó 2AB < BH + BK.

Suy ra $AB<\frac{BH+BK}{2}$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và BM = CN (giả thiết).

Suy ra AB + BM = AC + CN.

Do đó AM = AN.

Suy ra ∆AMN cân tại A.

Vì vậy $\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$.

Ta có $\widehat{MAN}+\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $2\widehat{AMN}=180°-\widehat{MAN}$.

Do đó $\widehat{AMN}=\frac{180°-\widehat{MAN}}{2}$ (1).

Ta có ∆ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}$

Do đó $\widehat{ABC}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-\widehat{MAN}}{2}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Khi đó ta có BC // MN.

Kẻ AH ⊥ BC tại H. Suy ra AH ⊥ MN

Giả sử AH ⊥ MN tại K.

Xét ∆ABH và ∆ACH, có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$.

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ∆ABC cân tại A).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HB = HC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó H là trung điểm BC.

Khi đó ta có $BH=\frac{1}{2}BC$.

Tương tự ta có $KN=\frac{1}{2}MN$.

Gọi O là giao điểm của BN và AK.

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, ta có:

BO > $BH=\frac{1}{2}BC$ và ON > $KN=\frac{1}{2}MN$.

Suy ra BN = BO + ON > $\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}MN$

Mà $\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}MN=\frac{0,6}{2}+\frac{0,9}{2}=0,75$.

Do đó BN > 0,75 (m).

Vì 0,8 (m) > 0,75 (m).

Nên ta chọn đáp án D.