Ta có:

• $\widehat{AHC}+\widehat{CHK}=180°$ (hai góc kề bù);

• $\widehat{BKD}+\widehat{DKH}=180°$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{HKD}=\widehat{CHK}$ (giả thiết) nên $\widehat{AHC}=\widehat{DBK}$

Vì ΔAHC vuông tại A nên $\widehat{AHC}+\widehat{ACH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Vì ΔBKD vuông tại B nên $\widehat{BKD}+\widehat{BDK}=90°$(trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Mà $\widehat{AHC}=\widehat{BKD}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{HCA}=\widehat{BDK}$

Xét ΔAHC và ΔBKD có:

$\hat{A}=\hat{B}$ (= 90°)

$\widehat{HCA}=\widehat{BDK}$ (chứng minh trên),

AC = BD (giả thiết),

Do đó ΔAHC = ΔBKD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra CH = DK (hai cạnh tương ứng)

Mà CH = 3,5 cm nên DK = 3,5 cm.

Ta có: ΔABC = ∆MNP theo trường hợp góc – cạnh – góc nên hai cặp góc bằng nhau là hai cặp góc kề với cặp cạnh bằng nhau của hai tam giác.

Mà BC = PN và $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ nên cặp góc kề tương ứng còn lại là $\widehat{ACB}=\widehat{MPN}$

Vậy ta chọn phương án B.

Vì $\hat{B}=\hat{M}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên AB // MN (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\hat{A}=\hat{N}$ (hai góc so le trong)

Xét ΔABI và ΔIMN có:

$\hat{A}=\hat{N}$ (chứng minh trên),

AB = MN (giả thiết),

$\hat{B}=\hat{M}$ (giả thiết)

Do đó ΔAIB = ΔNIM (g.c.g)

Vậy ta chọn phương án D.

Xét ΔFDE và ΔMNP có:

$\hat{F}=\hat{P}$ (giả thiết),

FE = NP (giả thiết),

$\hat{E}=\hat{N}$ (giả thiết),

Do đó ΔFDE và ΔPMN (g.c.g)

Suy ra $\hat{D}=\hat{M}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có: $\hat{D}+\hat{E}+\hat{F}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác FDE)

Suy ra $\hat{D}=180°-\left(\hat{F}+\hat{E}\right)=180°-155°=25°$

Mà $\hat{D}=\hat{M}$ nên $\hat{M}=25°$.

Vậy $\hat{M}=25°$.

Để ΔABC = ΔMNP theo trường hợp góc – cạnh – góc mà $\hat{A}=\hat{M},\hat{B}=\hat{N}$ nên điều kiện còn thiếu là điều kiện về cạnh, sao cho hai cặp góc bằng nhau là hai cặp góc kề với cặp cạnh này, đó là AB = MN.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có: $\hat{C}=\hat{B}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Do đó $\hat{A}=\hat{D}$ (hai góc so le trong)

Xét ΔABO và ΔDCO có:

$\hat{A}=\hat{D}$ (chứng minh trên),

AO = OD (giả thiết),

$\widehat{BOA}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔABO = ΔDCO (g.c.g)

Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Khi đó (1) đúng.

Ta lại có AB // CD (chứng minh trên) mà x$\perp$ CD (giả thiết)

Do đó x$\perp$ AB. Nên (2) đúng.

Vậy cả (1) và (2) đều đúng, ta chọn phương án C.

Vì MN // PQ (giả thiết)

Nên $\widehat{PMN}=\widehat{MPQ}$ và $\widehat{MNQ}=\widehat{NQP}$ (các cặp góc so le trong)

• Xét ΔMIN và ΔPIQ có:

$\widehat{NMI}=\widehat{IPQ}$ (do $\widehat{PMN}=\widehat{MPQ}$),

MN = PQ (giả thiết),

$\widehat{MNI}=\widehat{IQP}$ (do$\widehat{MNQ}=\widehat{NQP}$)

Do đó ΔMIN = ΔPIQ (g.c.g)

Suy ra IM = IP và IN = IQ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó (2) và (3) đều đúng.

• Xét ΔMIQ và ΔPIN có:

IM = IP (chứng minh trên),

$\widehat{MIQ}=\widehat{PIN}$ (hai góc đối đỉnh),

IN = IQ (chứng minh trên)

Do đó ΔMIQ = ΔPIN (c.g.c)

Suy ra MQ = NP (hai cạnh tương ứng).

Do đó (1) là đúng.

Trong 3 khẳng định không có khẳng định nào sai.

Vậy ta chọn phương án A.

•Ta có BD = CE (giả thiết)

Nên BD + DE = CE + DE

Suy ra BE = CD

Xét ΔABE và ΔACD có:

$\widehat{AEB}=\widehat{ADC}$ (chứng minh trên),

BE = CD (chứng minh trên),

$\hat{B}=\hat{C}$ (giả thiết)

Do đó ΔABE = ΔACD (g.c.g).

Vậy (I) đúng.

• Vì ΔABE = ΔACD (chứng minh trên)

Suy ra AB = AC

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\hat{B}=\hat{C}$ (giả thiết),

BD = CE (giả thiết),

Do đó ΔABD = ΔACE (c.g.c)

Vậy (II) đúng.

Xét ΔABC và ΔGDE có:

$\hat{B}=\hat{E}$ (giả thiết),

BC = EG (giả thiết),

$\hat{C}=\hat{G}$ (giả thiết),

Do đó ΔABC = ΔDEG (g.c.g)

Suy ra $\hat{A}=\hat{D}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{A}=30°$ (giả thiết), do đó $\hat{D}=30°$.

Vậy ta chọn phương án B.

Xét ΔOIM và ΔOIN có:

$\widehat{OMI}=\widehat{ONI}(=90°)$

$\widehat{IOM}=\widehat{ION}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{xOy}$),

OI là cạnh chung,

Do đó ΔOMI = ΔONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

Xét ΔOIA và ΔOIB có:

$\widehat{OIA}=\widehat{OIB}(=90°)$,

$\widehat{IOA}=\widehat{IOB}$ (do OI là tia phân giác của $\widehat{xOy}$),

OI là cạnh chung,

Do đó ΔOIA = ΔOIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra:

• OA = OB, IA = IB (các cặp cạnh tương ứng)

• $\widehat{IAO}=\widehat{IBO}$ (hai góc tương ứng)

Vậy ta chọn phương án D. 

Xét ∆ABO và ∆ACO có:

$\widehat{BAO}=\widehat{OAC}$ (giả thiết),

AO là cạnh chung,

$\widehat{BOA}=\widehat{COA}$ (giả thiết)

Do đó ∆ABO = ∆ACO (g.c.g)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Mà BA = 2 cm, do đó AC = 2 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

• Vì AB // HK (giả thiết) nên $\widehat{BAC}=\widehat{ACH}$ (hai góc so le trong)

Vì BC // IH (giả thiết) nên $\widehat{BCA}=\widehat{CAH}$ (hai góc so le trong)

• Xét ΔABC và ΔCHA có:

$\widehat{BAC}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên),

AC là cạnh chung,

$\widehat{BCA}=\widehat{CAH}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔABC = ΔCHA (g.c.g)

Suy ra BC = AH (hai cạnh tương ứng)

Mà AH = AI (do A là trung điểm của IH)

Do đó BC = AI nên đáp án C là đúng.

• Vì CH // AB (giả thiết) nên $\widehat{BAI}=\widehat{CHA}$ (hai góc đồng vị)

Vì IH // CB (giả thiết) nên $\widehat{KCB}=\widehat{CHA}$ và $\widehat{KBC}=\widehat{BIA}$ (các cặp góc đồng vị)

Do đó $\widehat{BAI}=\widehat{CHA}=\widehat{KCB}$

Xét ΔABI và ΔCKB có:

$\widehat{BAI}=\widehat{KCB}$ (chứng minh trên),

AI = BC (chứng minh trên),

$\widehat{KBC}=\widehat{BIA}$ (chứng minh trên),

Do đó ΔABI = ΔCKB (g.c.g) nên đáp án B là đúng

Suy ra AB = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà ΔABC = ΔCHA (chứng minh trên)

Nên AB = CH (hai cạnh tương ứng)

Do đó CH = CK (= AB) nên đáp án A là đúng

Vậy ta chọn đáp án D.

• Vì AD // BC nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$, $\widehat{ADC}=\widehat{DCB}$ (hai góc so le trong).

Do đó C là sai.

• Vì DB // AC nên $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc so le trong).

Do đó D là đúng.

• Xét ΔABD và ΔBAC có:

$\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

$\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔABD = ΔBAC (g.c.g).

Do đó A là đúng.

• Vì ΔABD = ΔBAC (chứng minh trên)

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAOD và ΔBOC có:

$\widehat{OAD}=\widehat{OBC}$ (vì $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$),

AD = BC (chứng minh trên),

$\widehat{ODA}=\widehat{OCB}$ (vì $\widehat{ADC}=\widehat{DCB}$)

Do đó ΔAOD = ΔBOC (g.c.g).

Do đó B là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Xét ∆MPQ và ∆NQP, có:

$\widehat{QMP}=\widehat{PNQ}=90°$,

MQ = NP (do MNPQ là hình thang cân),

PQ là cạnh chung,

Do đó ∆MPQ = ∆NQP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

∆MQH vuông tại M: $\widehat{MQH}+\widehat{MHQ}=90°$ (1).

∆NPH vuông tại N: $\widehat{NPH}+\widehat{NHP}=90°$ (2).

Mà $\widehat{MHQ}=\widehat{NHP}$ (2 góc đối đỉnh) (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat{MQH}=\widehat{NPH}$.

Xét ∆MQH và ∆NPH, có:

$\widehat{QMH}=\widehat{PNH}=90°$,

MQ = NP (giả thiết),

$\widehat{MQH}=\widehat{NPH}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆MQH = ∆NPH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Vậy ta có 2 cặp tam giác vuông bằng nhau là:

+ ∆MPQ = ∆NQP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

+ ∆MQH = ∆NPH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Vậy ta chọn phương án C.