+) Vì $\widehat{ADC}$ là góc ngoài của tam giác ABD tại đỉnh D

Nên $\widehat{ADC}=\widehat{BAD}+\hat{B}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

+) Vì $\widehat{ADB}$ là góc ngoài của tam giác ACD tại đỉnh D

Nên $\widehat{ADB}=\widehat{CAD}+\hat{C}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

+) Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Suy ra $\widehat{ADC}-\widehat{ADB}=\left(\widehat{BAD}+\hat{B}\right)-\left(\widehat{CAD}+\hat{C}\right)=\hat{B}-\hat{C}=40°$

Mà $\widehat{ADC}+\widehat{ADB}=180°$ ( tính chất hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ADC}=\frac{180°+40°}{2}=110°$

Vậy số đo góc ADC là 110°.

Xét tam giác ABC có: x + 2x + 60° =180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 3x = 180° – 60°

Hay 3x = 120°

Do đó x = 120° : 3 = 40°

Vậy x = 40°.

Khi đó $\hat{B}=x=40°,\hat{C}=2x=80°$

Ta có: 40° < 60° < 80° < 90°

Nên ba góc của tam giác ABC đều là góc nhọn.

Do đó tam giác ABC là tam giác nhọn.

Ta vẽ tam giác ABC có $\hat{A}=146°,\hat{B}=\hat{C}$ như hình vẽ để mô tả mái nhà mà nhà thiết kế đã vẽ.

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}$

Mà $\hat{A}=146°,\hat{B}=\hat{C}$nên $\hat{B}+\hat{B}=180°-146°$

Hay $2\hat{B}=34°$

Suy ra $\hat{B}=17°$

Ta có: 15° < 17° < 20°

Do đó độ dốc của mái nhà là 17° và thỏa mãn yêu cầu về độ dốc.

Vì tam giác MNP vuông tại P nên $\widehat{NPM}=90°$. Do đó phương án C là đúng.

Xét tam giác MNP vuông tại P ta có: $\hat{M}+\hat{N}=90°$(trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau). Do đó phương án A là đúng.

Suy ra $\hat{M}=90°-\hat{N}$. Do đó phương án D là đúng.

Vậy kết luận phương án B với $\hat{P}-\hat{N}=90°$ là sai.

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}$

Hay $\hat{B}+\hat{C}=180°-67°=113°$

Mặt khác $\hat{B}-\hat{C}=29°$

Suy ra

$\hat{B}=\frac{113°+29°}{2}=71°,\hat{C}=113°-\hat{B}=113°-71°=42°$

Vậy số đo góc B và C lần lượt là 71° và 42°.

Ta vẽ tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=57°$ để mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường như đề bài.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: $\hat{B}+\hat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\hat{C}=90°-\hat{B}=90°-57°=33°$

Vậy độ nghiêng của chiếc thang so với bức tường là 33°.

Vì AH⊥BC nên tam giác AHC vuông tại H.

Trong tam giác AHC vuông tại H ta có: $\widehat{HAC}+\hat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{HAC}=90°-\hat{C}=90°-35°=55°$

Ta có $\widehat{HAC}+\widehat{HAB}=90°$ (Vì $\widehat{BAC}=90°$)

Suy ra $\widehat{BAH}=90°-\widehat{CAH}=90°-55°=35°$

Vậy số đo góc BAH là 35°.

Xét tam giác MNP có $\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}=180°$(tổng ba góc trong một tam giác)

Vì $21\hat{M}=14\hat{N}=6\hat{P}$ nên $\frac{21\hat{M}}{42}=\frac{14\hat{N}}{42}=\frac{6\hat{P}}{42}$

$\Rightarrow \frac{\hat{M}}{2}=\frac{\hat{N}}{3}=\frac{\hat{P}}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\hat{M}}{2}=\frac{\hat{N}}{3}=\frac{\hat{P}}{7}=\frac{\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}}{2+3+7}=\frac{180°}{12}=15°$

Suy ra $\hat{N}=15°.3=45°$

Vậy số đo góc N bằng 45°.

Tam giác AKC vuông tại K $\left(\hat{K}=90°\right)$

Nên $\hat{A}+\widehat{ACK}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\hat{A}=90°-\widehat{ACK}$ (1)

Tam giác CHI vuông tại H $\left(\hat{H}=90°\right)$

Nên $\widehat{HIC}+\widehat{HCI}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{HIC}=90°-\widehat{HCI}$ (2)

Mà $\widehat{ACK}$ chính là góc $\widehat{HCI}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{HIC}=\hat{A}=58°$

Ta có: $\widehat{HIC}+\widehat{HIK}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{HIK}=180°-\widehat{HIC}=180°-58°=122°$

Vậy số đo góc HIK là 122°.

Tam giác ABC có góc x là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C

Nên $x=\hat{A}+\widehat{ABC}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Do đó x = 45° + 75° = 120°

Ta có: $y+\widehat{ABC}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $y=180°-\widehat{ABC}=180°-75°=105°$

Vậy số đo góc x, y lần lượt là 120° và 105°.

Vì Dx // By nên $\widehat{xDA}=\widehat{DAB}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{xDA}=40°$ nên $\widehat{DAB}=40°$

Vì $\widehat{DCB}$ là góc ngoài của tam giác ABC tại đỉnh C

Nên $\widehat{DCB}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

Suy ra $\widehat{DCB}=40°+55°=95°$

Vậy số đo góc DCB là 95°.

Xét tam giác ABC có:$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ ( định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{B}$

Mà $\hat{A}={35}^o$, $\hat{B}={45}^o$

Do đó $\hat{C}=180°-35°-45°=100°$

Vậy số đo góc C là 100°.

Vì tia BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABI}=\widehat{CBI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì tia CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Xét tam giác ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{BCA}+\widehat{CBA}=180°-\widehat{BAC}=180°-38°=142°$

Mà $\widehat{BCI}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$, $\widehat{CBI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{CBI}+\widehat{BCI}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)$

Do đó $\widehat{CBI}+\widehat{BCI}=142°:2=71°$

Ta lại có $\widehat{CBI}+\widehat{BCI}+\widehat{BIC}=180°$( định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $71°+\widehat{BIC}=180°$

Hay $\widehat{BIC}=180°-71°=109°$

Vậy số đo góc BIC là 109°.

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

Hay $\hat{A}=180°-50°-40°=90°$

Xét hai đường thẳng DE và AB có: $\widehat{BAE}=\widehat{AED}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó DE // AB

Suy ra $\widehat{EDC}=\hat{A}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\hat{A}=90°$

Do đó $\widehat{EDC}=90°$

Vậy tam giác CDE là tam giác vuông.

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}$

Hay $\hat{A}=180°-72°-38°=70°$

Mà tia AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\frac{1}{2}.70°=35°$

Mặt khác: $\widehat{ADB}$ là góc ngoài của tam giác ACD tại đỉnh D

Nên $\widehat{ADB}=\widehat{CAD}+\hat{C}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

Hay $\widehat{ADB}=35°+38°=73°$

Vậy số đo góc ADB là 73°.