Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 31: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 9.1 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có cạnh BC dài nhất. Chứng minh số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60°.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có BC là cạnh dài nhất và góc đối diện của cạnh BC là $\widehat{A}$  nên theo định lí 1 ta có $\widehat{A}$  là góc lớn nhất thỏa mãn: $\widehat{A}\ge \widehat{B},\widehat{A}\ge \widehat{C}$ .

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{A}+\widehat{A}\ge \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$

Hay $3\widehat{A}\ge \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$

Do đó $\widehat{A}\ge \frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{3}$ .

Mà tổng ba góc trong một tam giác là 180º.

Nên $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ .

Từ đó ta có: $\widehat{A}\ge \frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{3}=\frac{180°}{3}=60°$ .

Vậy suy ra số đo góc A lớn hơn hoặc bằng 60º (đpcm).

Bài 9.2 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai điểm D, E nằm trên đường thẳng BC, D nằm giữa B và C, C nằm giữa D và E. Chứng minh AD < AC < AE.

Lời giải:

Do trong một tam giác cân, hai góc của đáy luôn bé hơn 90º nên suy ra $\widehat{ACB}$  là góc nhọn.

Mà $\widehat{ACE}$  kề bù với $\widehat{ACB}$  nên suy ra $\widehat{ACE}$  là góc tù.

Xét tam giác ACE có $\widehat{ACE}$  là góc tù nên cạnh đối diện với $\widehat{ACE}$  là cạnh AE là cạnh lớn nhất.

Suy ra AE > AC (*)

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Lại có:

Xét tam giác ABC có:  $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-2\widehat{ABC}$  (1)

Xét tam giác ABD có:  $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$

Suy ra $\widehat{BAD}=180°-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}$  (2)

Mà D nằm giữa B và C nên suy ra $\widehat{BAD}<\widehat{BAC}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $180°-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}<180°-2\widehat{ABC}$

Hay $\widehat{ABC}+\widehat{ADB}>2\widehat{ABC}$

Do đó $\widehat{ADB}>\widehat{ABC}$ .

Áp dụng định lí 2 ta được AB > AD

Mà AB = AC (cmt) nên suy ra AC > AD (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra AE > AC > AD (đpcm).

Bài 9.3 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Hãy giải thích tại sao trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất và trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Lời giải:

Gọi tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M.

+) Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A nên suy ra $\widehat{A}=90°$  (1)

Lại có tam giác ABC có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Hay $\widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

Vậy suy ra  $180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=90°\iff \widehat{B}+\widehat{C}=90°$

Hay ta suy ra được $0°<\widehat{B}<90°$  và  $0°<\widehat{C}<90°$(2)

Từ (1) và (2) ta có:

Theo định lí 2 ta có BC > AC và BC > AB nên BC là cạnh lớn nhất

Vậy trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất (đpcm).

+) Giả sử tam giác MNP là tam giác tù tại đỉnh M nên suy ra $90°<\widehat{M}<180°$  (3)

Lại có tam giác MNP có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º nên suy ra: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$

Hay $\widehat{M}=180°-\left(\widehat{N}+\widehat{P}\right)$

Suy ra $90°<180°-\left(\widehat{N}+\widehat{P}\right)<180°$

Do đó $0°<\widehat{N}+\widehat{P}<90°$

Hay ta suy ra được $0°<\widehat{N}<90°$  và  $0°<\widehat{P}<90°$(4)

Từ (3) và (4) ta có: $\widehat{M}>\widehat{N};\widehat{M}>\widehat{P}$ .

Theo định lí 2 ta có NP > MP và NP > MN nên NP là cạnh lớn nhất.

Vậy trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất (đpcm).

Bài 9.4 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với AB > AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a) Hãy so sánh hai góc MAB và MAC.

(HD. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP rồi chứng minh hai tam giác AMC và PMB bằng nhau).

b) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Hỏi D thuộc đoạn thẳng MB hay đoạn thẳng MC? Vì sao?

Lời giải:

a) Lấy P là điểm thuộc đường thẳng AM sao cho M là trung điểm của AP.

Xét hai tam giác ∆ AMC và ∆ PMB có:

AM = PM (M là trung điểm của AP)

MC = MB (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{PMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AMC = ∆PMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MPB}$  (hai góc tương ứng) (1)

Và AC = PB

Mà AB > AC (gt)

Nên suy ra AB > PB

Xét tam giác ABP có AB > PB (cmt) nên theo định lí 1 ta có $\widehat{APB}>\widehat{BAP}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{MAB}$  (3).

b) AD là đường phân giác của góc BAC nên ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$  (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra được: $2\widehat{MAC}>\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}$

Hay  $2\widehat{MAC}>\widehat{DAB}+\widehat{DAC}=2\widehat{DAC}$

Suy ra $\widehat{MAC}>\widehat{DAC}$ .

Do đó MC > DC.

Vậy D là điểm thuộc đoạn thẳng MC.