Giải sách bài tập Toán lớp 7 Ôn tập chương 9

A. Câu hỏi (Trắc nghiệm)

Câu 1 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm phương án sai trong câu sau: Trong tam giác

A. đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất

B. đối diện với cạnh bé nhất là góc nhọn

C. đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù

D. đối diện với góc tù (nếu có) là cạnh lớn nhất

Lời giải:

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Nên suy ra phương án A là đúng.

+) Giả sử tồn tại tam giác có góc nhỏ nhất không phải góc nhọn.

Suy ra góc nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 90º.

Hay cả ba góc lớn hơn hoặc bằng 90º.

Suy ra tổng ba góc trong tam giác lớn hơn hoặc bằng: 90º . 3 = 270º.

Điều này vô lý vì tổng ba góc trong tam giác bằng 180º.

Do đó góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.

Nên suy ra đáp án B là đúng.

+) Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất luôn là một góc có số đo lớn hơn hoặc bằng 60º (Chứng minh ở bài 9.1 trang 48) nên suy ra nó không chắc chắn là một góc tù. Vậy suy ra đá án C là sai.

+) Trong một tam giác, cạnh đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù. Nên suy ra phương án D là đúng.

Chọn đáp án C.

Câu 2 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Bộ ba số nào sau đây không là độ dài ba cạnh của một tam giác?

A. 7, 5, 7

B. 7, 7, 7

C. 3, 5, 4

D. 4, 7, 3

Lời giải:

+) Xét bộ ba số: 7, 5, 7 có: 7 – 7 = 0 < 5 và 5 + 7 = 12 > 7.

Do đó ba số 7, 5, 7 là độ dài ba cạnh của một tam giác.

+) Xét bộ ba số: 7, 7, 7 có: 7 – 7 = 0 < 7 và 7 + 7 = 14 > 7.

Do đó ba số 7, 7, 7 là độ dài ba cạnh của một tam giác.

+) Xét bộ ba số: 3, 5, 4 có: 5 – 4 = 1 < 3 và 3 + 4 = 7 > 5

Do đó ba số 3, 5, 4 là độ dài ba cạnh của một tam giác.

+) Xét bộ ba số: 4, 7, 3 có: 3 = 7 − 4 và 7 = 4 + 3

Do đó ba số 4, 7, 3 không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chọn đáp án D.

Câu 3 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác cân có độ dài cạnh bên b; độ dài cạnh đáy d thì ta phải có:

A. d > b

B. d = 2b

C. $d<\frac{b}{2}$

D. d < 2b

Lời giải:

Tam giác cân có độ dài cạnh bên b; độ dài cạnh đáy d thì ta phải có: Theo bất đẳng thức trong tam giác suy ra b + b > d.

Hay 2b > d.

Vậy suy ra d < 2b.

Chọn đáp án D.

Trong các câu hỏi 3, 4, 6, hãy chọn phương án đúng.

Câu 4 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Với mọi tam giác ta đều có:

A. mỗi cạnh lớn hơn nửa chu vi

B. mỗi cạnh lớn hơn hoặc bằng nửa chu vi

C. mỗi cạnh nhỏ hơn nửa chu vi

D. cả ba trường hợp trên đều có thể xảy ra

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có a < b + c nên suy ra

a + a < a + b + c

Hay 2a < a + b + c.

Vậy suy ra $a<\frac{a+b+c}{2}$ .

Vậy với mọi tam giác ta đều có: mỗi cạnh nhỏ hơn nửa chu vi.

Chọn đáp án C.

Câu 5 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Xét hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC có BC = 4 cm. Trong các số sau, số nào có thể là tổng độ dài BM + CN?

A. 5 cm

B. 5,5 cm

C. 6 cm

D. 6,5 cm

Lời giải:

Lấy G là giao điểm của 2 đường trung tuyên BM và CN. Dễ dàng chứng minh được G là trong tâm của tam giác ABC.

Xét tam giác GBC, theo bất đẳng thức tam giác ta có: GB + GC > BC

Mà G là trong tâm tam giác ABC nên ta có: $BG=\frac{2}{3}BM;CG=\frac{2}{3}$ .

Suy ra $\frac{2}{3}\left(BM+CN\right)>BC$

Do đó $BM+CN>\frac{3}{2}BC=\frac{3}{2}.4=6\left(cm\right)$

Vậy tổng độ dài BM + CN có thể là 6,5 cm.

Chọn đáp án D.

Câu 6 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có số đo ba góc thỏa mãn  $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$ . Hai tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại điểm I. Khi đó góc BIC có số đo là:

A. 120^o

B. 125^o

C. 130^o

D. 135^o

Lời giải:

Ta có: $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$  mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$  nên $\widehat{A}+\widehat{A}=2\widehat{A}=180°$ .

Suy ra $\widehat{A}=90°$ .

Và $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$ .

Mặt khác, I là giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Nên IC cũng là đường phân giác góc C của tam giác ABC.

Ta có: $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{\frac{B}{2}}+\widehat{\frac{C}{2}}\right)$$=180°-\frac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$=180°-\frac{1}{2}.90°=180°-45°=135°$.

Chọn đáp án D.

B. Bài tập

Bài 9.23 trang 59 SBT Toán 7 Tập 2: Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}>\widehat{BAC}$ ;

b) BD + DC < AB + AC.

Lời giải:

a) Tia AD chia góc A thành góc A₁ và góc A₂, chia cóc BDC thành góc D₁ và góc D₂ như hình vẽ trên.

Xét tam giác BDM có: ${\widehat{D}}_1={\widehat{A}}_1+\widehat{ABD}$  nên ${\widehat{D}}_1>{\widehat{A}}_1$ .

Xét tam giác CDM có: ${\widehat{D}}_2={\widehat{A}}_2+\widehat{ACD}$  nên ${\widehat{D}}_2>{\widehat{A}}_2$

Nên suy ra $\widehat{D}={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2>{\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=\widehat{A}$  (đpcm).

b) Lấy E là giao điểm của BD và AC.

Ta có: AB + AC = AB + AE + EC (1)

Trong tam giác ABE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB + AE > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BE + EC = BD + DE + EC (3)

Trong tam giác CDE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: DE + EC > DC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AB + AC > BD + DC (đpcm).

Bài 9.24 trang 60 SBT Toán 7 Tập 2: Cho M là một điểm tùy ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho    và AN = AM. Chứng minh:

a) Tam giác AMN là tam giác đều;

b) ΔMAB = ΔNAC;

c) MN = MA, NC = MB.

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{MAN}=\widehat{MAC}+\widehat{CAN}$$=\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=\widehat{BAC}=60°$ (do tam giác ABC đều).

Lại có: AM = AN nên suy ra tam giác AMN cân tại A.

Vậy tam giác AMN là tam giác đều.

b) Tam giác ABC đều nên suy ra AB = AC.

Xét ∆MAB và ∆NAC có:

AB = AC (cmt)

AM = AN (gt)

$\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (gt)

Do đó ∆MAB = ∆NAC (c.g.c)

c) Vì tam giác AMN đều (cmt) nên MN = MA.

Do ∆MAB = ∆NAC nên MB = NC (hai cạnh tương ứng).

Bài 9.25 trang 60 SBT Toán 7 Tập 2: Xét tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác góc B cắt cạnh AC tại E; đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh:

a) AE < EC;

b) BK = BC.

Lời giải:

a) Đường thẳng EK cắt BC tại H.

Do E nằm trên đường thẳng BE là đường phân giác của góc KBC nên EA = EH.

Mà trong tam giác EHC là tam giác vuông tại H có EH < EC (do EC là cạnh huyền).

Từ đó ta suy ra được: AE < EC (đpcm).

b) E là giao của hai đường cao CA VÀ KH của tam giác BKC nên E là trực tâm của tam giác BKC.

Từ đó suy ra BE cũng là đường cao của tam giác BKC.

Do đó BE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác BKC.

Nên suy ra tam giác BKC cân tại B.

Vậy BK = BC (đpcm).

Bài 9.26 trang 60 SBT Toán 7 Tập 2: Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi Ax, By là hai đường thẳng vuông góc với AB tại A và tại B. Một đường thẳng qua C cắt Ax tại M, cắt By tại P. Điểm N nằm trên tia đối của tia BP sao cho góc MCN là góc vuông. Gọi H là hình chiếu của C trên MN. Chứng minh:

a) AM + BN = MN;

b) CM là đường trung trực của AH, CN là đường trung trực của BH;

c) Góc AHB là góc vuông.

Lời giải:

a) Xét ΔAMC và ΔBPC có:

AC = CB (gt)

$\widehat{MAC}=\widehat{PBC}\left(=90°\right)$

$\widehat{ACM}=\widehat{BCP}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ΔAMC = ΔBPC (g.c.g)

Suy ra MC = CP (hai cạnh tương ứng).

Mà NC ⏊ MP.

Suy ra NC là đường trung trực của MP.

Vậy nên tam giác NMP cân tại N.

Suy ra ${\widehat{P}}_1={\widehat{M}}_2$  (1)

Mà do Mx// By nên suy ra ${\widehat{P}}_1={\widehat{M}}_1$  (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được ${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$ .

Xét ΔAMC và ΔHMC có:

$\widehat{MAC}=\widehat{MHC}\left(=90°\right)$

Cạnh MC chung

${\widehat{M}}_1={\widehat{M}}_2$ (cmt)

Do đó ΔAMC = ΔHMC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AM = HM (hai cạnh tương ứng) (*)

Tam giác MNP cân tại N có NC là đường trung trực đồng thời là đường phân giác xuất phát từ N.

Suy ra ${\widehat{N}}_1={\widehat{N}}_2$ .

Xét ΔHNC và ΔBNC có:

Cạnh CN chung

${\widehat{N}}_1={\widehat{N}}_2$ (cmt)

$\widehat{CHN}=\widehat{CBN}\left(=90°\right)$

Do đó ΔHNC = ΔBNC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra NH = NB (hai cạnh tương ứng) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: AM + BN = MH + HN = MN (đpcm).

b)

+) Tam giác MAH cân tại M với MC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân M.

Suy ra MC là đồng thời cũng là đường trung trực của AH.

+) Tam giác NBH cân tại N với NC là đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân N.

Suy ra NC đồng thời cũng là đường trung trực của BH.

c) Xét tam giác HAB có CA = CB nên HC là đường trung tuyến của tam giác HAB.

Ta có ΔAMC = ΔHMC (cmt)

Suy ra AC = HC (hai cạnh tương ứng)

Vậy suy ra HC = CA = CB.

Vì đường trung tuyến ứng với cạnh AB và bằng nửa cạnh AB.

Vậy nên tam giác HAB vuông tại H (đpcm).