Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 28 Tập 2

Bài 7.15 trang 28 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức A(x) = x⁴ − 5x³ + x² + 5x −  $\frac{1}{3}$ và B(x) = x⁴ − 2x³ + x² − 5x − $\frac{2}{3}$ .

Hãy tính A(x) + B(x) và A(x) − B(x).

Lời giải:

Ta có A(x) + B(x)

= $\left(x^4-5x^3+x^2+5x-\frac{1}{3}\right)$ + $\left(x^4-2x^3+x^2-5x-\frac{2}{3}\right)$

= x⁴ − 5x³ + x² + 5x − $\frac{1}{3}$ + x⁴ − 2x³ + x² − 5x − $\frac{2}{3}$

= (x⁴ + x⁴) + (−5x³ − 2x³) + (x² + x²) + (5x − 5x) + $\left(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)$

= 2x⁴ − 7x³ + 2x² − 1.

Ta có A(x) − B(x)

=  $\left(x^4-5x^3+x^2+5x-\frac{1}{3}\right)$ − $\left(x^4-2x^3+x^2-5x-\frac{2}{3}\right)$

= x⁴ − 5x³ + x² + 5x − $\frac{1}{3}$ − x⁴ + 2x³ − x² + 5x + $\frac{2}{3}$

= (x⁴ − x⁴) +(−5x³ + 2x³)+ (x² − x²)+ (5x + 5x) + $\left(- \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)$

= −3x³ + 10x + $\frac{1}{3}$ .

Bài 7.16 trang 28 SBT Toán 7 Tập 2: Cho đa thức H(x) = x⁴ − 3x³ − x +1 . Tìm đa thức P(x) và Q(x) sao cho:

a) H(x) + P(x) = x⁵ − 2x² + 2

b. H(x) − Q(x) = −2x³

Lời giải:

a) Ta có H(x) + P(x) = x⁵ − 2x² + 2

Suy ra P(x) = (x⁵ − 2x² + 2) − H(x)

= (x⁵ − 2x² + 2) − (x⁴ − 3x³ − x +1)

= x⁵ − 2x² + 2 − x⁴ + 3x³ + x − 1

= x⁵ − x⁴ + 3x³ − 2x² + x + (2 − 1)

= x⁵ − x⁴ + 3x³ − 2x² + x + 1

b) Ta có H(x) − Q(x) = −2x³

Suy ra Q(x) = H(x) + 2x³

= x⁴ − 3x³ − x + 1 + 2x³

= x⁴ − x³ − x + 1

Bài 7.17 trang 28 SBT Toán 7 Tập 2: Em hãy viết hai đa thức tùy ý A(x) và B(x). Sau đó tính C(x) = A(x) − B(x) và C’(x) = B(x) − A(x), rồi so sánh và nêu nhận xét về bậc, các hệ số của C(x) và C’(x).

Lời giải:

Cho đa thức A(x) = x³ − 2x² + 5x + 1 và B(x) = 3x³ − x − 5.

Ta có: C(x) = A(x) − B(x)

= (x³ − 2x² + 5x + 1) − (3x³ − x − 5)

= x³ − 2x² + 5x + 1 − 3x³ + x + 5

= (x³ − 3x³)  − 2x² + (5x + x) + (1 + 5)

= − 2x³ − 2x² + 6x + 6

Ta có C’(x) = B(x) −  A(x)

=  (3x³ − x − 5) − (x³ − 2x² + 5x + 1)

= 3x³ − x − 5 − x³ + 2x² − 5x − 1

= 3x³ − x³ + 2x² + (−x − 5x) + (−5 − 1)

= 2x³ + 2x² − 6x −  6

Từ hai kết quả trên, ta thấy các hệ số của hai hạng tử cùng bậc trong hai đa thức C(x) và C’(x) là hai số đối nhau.

Bài 7.18 trang 28 SBT Toán 7 Tập 2: Cho các đa thức:

A(x) = 2x³ − 2x² + x − 4

B(x) = 3x³ − 2x + 3

C(x) = −x³ + 1

Hãy tính:

a) A(x) + B(x) + C(x);

b) A(x) − B(x) − C(x).

Lời giải:

Nhận xét rằng: A + B + C = A + (B + C) và A – B – C = A – (B + C).

Do đó để cho gọn, trước hết hãy tính B + C.

Ta có B(x) + C(x)

= (3x³ − 2x + 3) + (−x³ + 1)

= 3x³ − 2x + 3 − x³ + 1

= (3x³ − x³) − 2x + (3 + 1)

= 2x³ − 2x + 4.

a) Ta có A(x) + B(x) + C(x)

= (2x³ − 2x² + x − 4) + (2x³ − 2x + 4)

= 2x³ − 2x² + x − 4 + 2x³ − 2x + 4

= (2x³ + 2x³) − 2x² + (x  − 2x) + (−4 + 4)

= 4x³ − 2x² − x

b) Ta có A(x) − B(x) − C(x)

= A(x) − [B(x) + C(x)]

= (2x³ − 2x² + x − 4) − (2x³ − 2x + 4)

= 2x³ − 2x² + x − 4 − 2x³ + 2x − 4

= (2x³ − 2x³) − 2x² + (x + 2x) + (−4 − 4)

= −2x² + 3x − 8

Bài 7.19 trang 28 SBT Toán 7 Tập 2: Gọi S(x) là tổng của hai đa thức A(x) và B(x). Biết rằng x = a là một nghiệm của đa thức A(x). Chứng minh rằng:

a) Nếu x = a là một nghiệm của B(x) thì a cũng là một nghiệm của S(x);

b) Nếu a không là nghiệm của B(x) thì a cũng không là nghiệm của S(x).

Lời giải:

Theo đề bài, ta có S(x) = A(x) + B(x) và A(a) = 0. Do đó S(a) = B(a)

a) Nếu a là nghiệm của B(x) thì B(a) = 0, suy ra S(a) = B(a) = 0.

Vậy a cũng là nghiệm của S(x).

b) Ngược lại, nếu a không là nghiệm của B(x) thì B(a) ≠ 0, suy ra S(a) = B(a) ≠ 0. Vậy a không là nghiệm của S(x).