Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 30 Tập 2

Bài 7.20 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Tính:

a) (x³ + 3x² − 5x − 1)(4x − 3);

b) (−2x² + 4x + 6 )$\left(\frac{-1}{2}x+1\right)$ ;

c) (x⁴ + 2x³ − 1)(x² −3x + 2).

Lời giải:

a) (x³ + 3x² − 5x − 1)(4x − 3)

= 4x(x³ + 3x² − 5x − 1) − 3(x³ + 3x² − 5x − 1)

= 4x⁴ + 12x³ − 20x² − 4x − 3x³ − 9x² + 15x + 3

= 4x⁴ + (12x³ − 3x³) + (−20x² − 9x²) + (−4x + 15x) + 3

= 4x⁴ + 9x³ − 29x² + 11x + 3.

b. (−2x² + 4x + 6 )$\left(\frac{-1}{2}x+1\right)$

= $\frac{-1}{2}$ x(−2x² + 4x + 6 ) + 1. (−2x² + 4x + 6 )

= x³ − 2x² − 3x − 2x² + 4x + 6

= x³ + (−2x² −2x²) + (−3x + 4x) + 6

= x³ − 4x² + x + 6.

c) (x⁴ + 2x³ − 1)(x² −3x + 2)

= x²(x⁴ + 2x³ − 1) − 3x(x⁴ + 2x³ − 1) + 2(x⁴ + 2x³ − 1)

= x⁶ + 2x⁵ − x² − 3x⁵ − 6x⁴ + 3x + 2x⁴ + 4x³ − 2

= x⁶ + (2x⁵ − 3x⁵) + (−6x⁴ + 2x⁴) + 4x³ − x² + 3x − 2

= x⁶ − x⁵ − 4x⁴ + 4x³ − x² + 3x − 2.

Bài 7.21 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Bằng cách rút gọn biểu thức, chứng minh rằng mỗi biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của biến

a) (x − 5)(2x +3) − 2x(x − 3) + (x + 7);

b) (x² − 5x + 7)(x − 2) − (x² − 3x)(x − 4) − 5(x − 2).

Lời giải:

a) (x − 5)(2x + 3) − 2x(x − 3) + (x + 7)

= x(2x + 3) − 5(2x + 3) − 2x(x − 3) + (x + 7)

= 2x² + 3x − 10x − 15 − 2x² + 6x + x + 7

= (2x² − 2x²) + (3x − 10x + 6x + x) + (−15 + 7)

= −8.

Vậy biểu thức trên có giá trị không phụ thuộc vào biến x.

b) (x² − 5x + 7)(x − 2) − (x² − 3x)(x − 4) − 5(x − 2)

= x(x² − 5x + 7) − 2(x² − 5x + 7) − [x(x² − 3x) − 4(x² − 3x)] − 5(x − 2)

= x³ − 5x² + 7x − 2x² + 10x − 14 −( x³ − 3x² − 4x² + 12x) − 5x + 10

= x³ − 5x² + 7x − 2x² + 10x − 14 − x³ + 3x² + 4x² −12x − 5x + 10

= (x³ − x³)+ (−5x² − 2x² + 3x² + 4x²) + (7x + 10x −12x − 5x) + (−14 + 10)

= −4.

Vậy biểu thức trên có giá trị không phụ thuộc vào biến x.

Bài 7.22 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Với giá trị nào của x thì (x² − 2x + 5)(x− 2) = (x² + x)(x − 5)?

Lời giải:

Ta có: (x² − 2x + 5)(x − 2) = (x² + x)(x − 5)

x(x² − 2x + 5) − 2(x² − 2x + 5) = x(x² + x) − 5(x² + x)

x³ − 2x² + 5x − 2x² + 4x − 10 = x³ + x² − 5x² − 5x

x³ − 2x² + 5x − 2x² + 4x − 10 − x³ − x² + 5x² + 5x = 0

(x³ − x³) +(−2x² − 2x² − x² + 5x²) + (5x + 4x + 5x) − 10 = 0

14x − 10 = 0

14x =10

x = 10 : 14 = $\frac{10}{14}$ =$\frac{5}{7}$

Vậy x = $\frac{5}{7}$ .

Bài 7.23 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau rồi tính giá trị của đa thức thu được.

a) (4x⁴ − 6x² + 9)(2x² + 3) tại x = 0,5;

b) (x³ + 5x² + 2x + 12)(x² + 2x + 4) − x(7x³ + 16x² + 36x + 32) tại x = −2.

Lời giải:

a) (4x⁴ − 6x² + 9)(2x² + 3)

= 2x²(4x⁴ − 6x² + 9) + 3(4x⁴ − 6x² + 9)

= 8x⁶ − 12x⁴ + 18x² + 12x⁴ − 18x² + 27

= 8x⁶ + (−12x⁴ + 12x⁴) + (18x² − 18x²) + 27

= 8x⁶ + 27

Thay x = 0,5 vào biểu thức ta được:

8 .0,5⁶ + 27 = 8. $\frac{1}{64}$+ 27 =  $\frac{1}{8}$+ 27 = $\frac{217}{8}$ = 27,125.

b) (x³ + 5x² + 2x + 12)(x² + 2x + 4) − x(7x³ + 16x² + 36x + 32)

= x²(x³ + 5x² + 2x + 12) + 2x(x³ + 5x² + 2x + 12) + 4(x³ + 5x² + 2x + 12) − x(7x³ + 16x² + 36x + 32)

= x⁵ + 5x⁴ + 2x³ + 12x²  + 2x⁴ + 10x³ + 4x² + 24x + 4x³ + 20x² + 8x + 48 − 7x⁴ − 16x³ − 36x² − 32x

= x⁵ + (5x⁴ + 2x⁴ − 7x⁴) + (2x³ + 10x³ + 4x³ − 16x³) + (12x² + 20x² + 4x² − 36x²) + (24x + 8x − 32x) + 48

= x⁵ + 48

Thay x = −2 vào biểu thức ta được

( −2)⁵ + 48 = −32 + 48 = 16.

Bài 7.24 trang 30 SBT Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng thêm 1 thì luôn chia hết cho 4.

Gợi ý: Mỗi số tự nhiên lẻ luôn viết được dưới dạng 2n – 1 với n $\in$ ℕ*, hoặc dưới dạng 2n + 1 với n $\in$ ℕ.

Lời giải:

Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên nếu số thứ nhất là:

a = 2n − 1 (n $\in$ ℕ*)

Thì số thứ hai là b = a + 2 = 2n + 1

Khi đó:

ab + 1 = (2n − 1)(2n + 1) + 1 = (4n² + 2n − 2n − 1) + 1 = 4n²

Rõ ràng 4n² chia hết cho 4 nên ta có điều phải chứng minh.

Chú ý. Nếu viết hai số lẻ liên tiếp là a = 2n + 1  và b = a + 2 = 2n + 3 (n $\in$ ℕ)  thì:

ab + 1 = (2n + 1)(2n +  3) + 1 = 4(n² + 2n + 1) ⋮ 4