Bài 105 trang 99 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.

b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.

c) So sánh HB và HD.

d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét $∆$ABD và $∆$ACE có:

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\widehat{A}$ là góc chung,

Suy ra ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy ∆ADB = ∆AEC.

b) Vì ∆ADB = ∆AEC (chứng minh câu a)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng).

Ta có AB = AE + EB, AC = AD + DC.

Mà AB = AC, AE = AD.

Suy ra BE = CD.

Xét $∆$EHB và $∆$DHC có:

$\widehat{HEB}=\widehat{H\text{D}C}\left(=90°\right)$,

BE = CD (chứng minh trên),

$\widehat{EBH}=\widehat{DCH}$ (do $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$)

Suy ra ∆EHB = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Do đó HE = HD, BH = CH (các cặp cạnh tương ứng).

Tam giác HDE có HE = HD nên tam giác HDE cân tại H.

Vậy tam giác HDE là tam giác cân tại H.

c) Trong tam giác vuông HDC có HC > HD (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Mà HC = HB (chứng minh câu b)

Do đó HB > HD.

Vậy HB > HD.

d) • Gọi P là giao điểm của HI và BC.

Tam giác HBC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của tam giác HBC nên HP là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh H của tam giác.

Từ đó ta có PB = PC.

Xét $∆$HBP và $∆$HCP có:

HB = HC (chứng minh ở câu b),

HP là cạnh chung,

PB = PC (chứng minh trên)

Do đó $∆$HBP = $∆$HCP (c.c.c)

Suy ra $\widehat{HPB}=\widehat{HPC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{HPB}+\widehat{HPC}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{HPB}=\widehat{HPC}=\frac{180°}{2}=90°$

Từ đó ta có HP ⊥ BC hay HI ⊥ BC (1)

• Tam giác ABC có H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại P

Hay ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, H, I thẳng hàng.