Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác
Lời giải Bài 102* trang 98 SBT Toán 7 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7.
Bài 102* trang 98 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm G nằm trong tam giác. Chứng minh: Nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.
Lời giải
Gọi N là giao điểm của AG và BC.
Kẻ BH ⊥ AN (H ∈ AN) và CK ⊥ AN (K ∈ AN).
• Ta có:
SΔGAB=AG.BH2,SΔGCA=AG.CK2
Mà SΔAGB=SΔAGC nên AG.BH2=AG.CK2
Suy ra BH = CK.
• Xét ∆BHN và ∆CKN có
^BHN=^CKN(=90°),
BH = CK (chứng minh trên),
^HNB=^KNC (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆BHN = ∆CKN (g.c.g)
Suy ra BN = CN (hai cạnh tương ứng)
Hay AN là đường trung tuyến của tam giác ABC.
• Chứng minh tương tự, ta có CG cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tam giác ABC có AN, CG là hai đường trung tuyến cuả tam giác
Mà AN và CG cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy nếu diện tích các tam giác GAB, GBC và GCA bằng nhau thì G là trọng tâm của tam giác đó.
Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán 7 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:
