Giải sách bài tập Toán 7 Bài 9. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 60 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Xác định điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho M cách đều A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) Tam giác nhọn ABC;

b) Tam giác ABC có góc B là góc tù;

c) Tam giác ABC vuông tại B.

Lời giải

Vì M cách đều A và B nên M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Như vậy M nằm trên đường thẳng BC và M nằm trên đường trung trực d của AB.

a) Tam giác ABC nhọn thì điểm M thuộc tia BC (hình vẽ):

b) Tam giác ABC có góc B là góc tù thì M thuộc tia đối của tia BC (hình vẽ):

c) Tam giác ABC vuông tại B thì d // BC nên không tìm được M (hình vẽ):

Bài 61 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Một con đường liên xã cách không xa hai địa điểm dân cư và hai địa điểm này nằm ở cùng một phía của con đường. Hãy xác định một địa điểm trên con đường đó để xây dựng nhà văn hóa xã sao cho nhà văn hóa đó cách đều hai địa điểm dân cư.

Lời giải

Đưa về bài toán: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với d. Tìm một điểm C trên d sao cho C cách đều A và B.

+) Trường hợp 1: Khi AB không vuông góc với d, vẽ trung trực a của đoạn thẳng AB. Giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d chính là điểm C cần tìm.

Vì C nằm trên đường trung trực a của đoạn thẳng AB nên theo tính chất đường trung trực ta có C cách đều A và B (CA = CB).

+) Trường hợp 2: Khi AB ⊥ d thì a // d, do đó không có một điểm nào nằm trên d lại cách đều A và B.

Vậy địa điểm để xây dựng nhà văn hóa là điểm nằm trên con đường và trung trực của đoạn đường giữa hai điểm dân cư.

Bài 62 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 44, biết ∆MAB = ∆NAB. Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Lời giải

Vì ∆MAB = ∆NAB (giả thiết)

Suy ra AM = AN, BM = BN (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó A và B cùng cách đều hai điểm M, N.

Suy ra A và B cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Hay đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Vậy đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 63 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M. Chứng minh AM + BM = AC.

Lời giải

Vì M thuộc đường trung trực của BC (giả thiết)

Nên BM = CM (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Ta có: AM + BM = AM + CM = AC.

Vậy AM + BM = AC.

Bài 64 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}=30°$. Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:

a) BM là tia phân giác của góc ABC;

b) MA < MC.

Lời giải

a) Vì $∆$ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90).

Suy ra $\widehat{ABC}=90°-\widehat{C}=90°-30°=60°$.

Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC.

Do đó tam giác MBC cân ở M.

Suy ra ${\widehat{B}}_1=\widehat{C}=30°$

Mặt khác ${\widehat{B}}_1+{\widehat{B}}_2=\widehat{ABC}=60°$ (hai góc kề nhau)

Nên ${\widehat{B}}_2=\widehat{ABC}-{\widehat{B}}_1=60°-30°=30°$

Suy ra ${\widehat{B}}_2={\widehat{B}}_1$

Do đó BM là tia phân giác của góc ABC.

Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).

Mà MB = MC (chứng minh câu a).

Suy ra MA < MC.

Vậy MA < MC.

Bài 65 trang 87 SBT Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 45, biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Lời giải

Vì DB = DC (giả thiết) nên điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Mà AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC (giả thiết).

Do đó ba điểm A, M, D cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hay ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Bài 66 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:

a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;

b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.

Lời giải

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Lại có M là trung điểm của BC.

Nên AM là đường trung trực của BC.

Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc ở đáy).

Xét $∆$EBM và $∆$FCM có:

$\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\left(=90°\right)$,

BM = CM (do M là trung điểm của BC),

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)

Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.

Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.

Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.

Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.

Bài 67 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt cạnh AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC.

Lời giải

Đường trung trực của AC cắt AB tại D nên DA = DC.

Do đó tam giác ADC cân tại D.

Suy ra $\widehat{A}={\widehat{C}}_1$

Vì CD là tia phân giác của góc C nên ${\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{A}={\widehat{C}}_1={\widehat{C}}_2=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Hay $\widehat{ACB}=2\widehat{A}$

Vì tam giác cân ABC nên $\widehat{B}=\widehat{ACB}$ (hai góc ở đáy).

Do đó $\widehat{B}=\widehat{ACB}=2\widehat{A}.$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc của tam giác ABC).

Suy ra $\widehat{A}+2\widehat{A}+2\widehat{A}=180°$ hay $5\widehat{A}=180°$

Nên $\widehat{A}=36°$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{ACB}=2.36°=72°$

Vậy $∆$ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}=72°,\widehat{A}=36°.$

Bài 68 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;

b) Tam giác DMC là tam giác cân.

Lời giải

a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$.

 Xét $∆$OAM và $∆$OBM có

$\widehat{OAM}=\widehat{OBM}\left(=90°\right)$,

OM là cạnh chung,

$\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (do $\widehat{xOz}=\widehat{zOy}$)

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).

Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.

Vậy OM là đường trung trực của AB.

b) Xét $∆$ADM và $∆$BCM có

$\widehat{DAM}=\widehat{CBM}\left(=90°\right)$,

AM = BM (chứng minh câu a),

$\widehat{AMD}=\widehat{BMC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác CDM cân tại M.

Vậy tam giác DMC cân tại M.

Bài 69 trang 88 SBT Toán 7 Tập 2: Cho góc xOy nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường trung trực của đoạn thẳng OA và đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) OI là tia phân giác của góc xOy;

b) OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải

Gọi D và F lần lượt là trung điểm của OA và OB.

a) Ta có:

DI là đường trung trực của OA nên IO = IA.

FI là đường trung trực của OB nên IO = IB.

Suy ra IO = IA = IB

Xét $∆$OIA và $∆$OIB có:

OA = OB (giả thiết),

OI là cạnh chung,

IA = IB (chứng minh trên)

Do đó ∆OIA = ∆OIB (c.c.c).

Suy ra ${\widehat{O}}_1={\widehat{O}}_2$(hai góc tương ứng).

Do đó OI là tia phân giác của góc xOy.

Vậy OI là tia phân giác của góc xOy.

b) Theo giả thiết OA = OB suy ra O cách đều A và B.

Do đó O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Theo chứng minh ở câu a: IA = IB suy ra I cách đều A và B.

Do đó I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.