Giải sách bài tập Toán 7 Bài 7. Tam giác cân

Bài 43 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Tìm các tam giác cân trên Hình 35. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đáy, góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân đó.

Lời giải

Ta có:

Bài 44 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Ở Hình 36 có AB song song cới CD, BC song song với AD. Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại E và cắt tia DC tại F.

a) Chứng minh các tam giác ABE, CEF, DAF là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADF, biết $\widehat{BAD}=60°$.

Lời giải

a) • Vì AE là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ nên $\widehat{BAE}=\widehat{EAD}$.

Vì BC // AD nên $\widehat{BEA}=\widehat{EAD}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$.

Suy ra tam giác ABE cân tại B.

• Vì AB // CD nên $\widehat{BAE}=\widehat{F}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$(chứng minh trên), $\widehat{CEF}=\widehat{BEA}$(hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat{CEF}=\widehat{F}$.  

Nên tam giác CEF cân tại C.

• Ta có $\widehat{BAF}=\widehat{\text{DAF}}$ và $\widehat{BAF}=\widehat{DFA}$ nên $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}$.

Do đó tam giác DAF cân tại D.

Vậy $∆$ABE cân tại B, $∆$CEF cân tại C, $∆$DAF cân tại D.

b) Vì AB // CD nên $\widehat{BAD}+\widehat{ADF}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{ADF}=180°-\widehat{BAD}=180°-60°=120°$

Xét $∆$ADF có $\widehat{ADF}+\widehat{DFA}+\widehat{DAF}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{ADF}=120°$, $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}$.

Nên $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=\frac{180°-\widehat{ADF}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$.

Vậy $\widehat{DAF}=\widehat{DFA}=30°,\widehat{FDA}=120°.$

Bài 45 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}=56°$. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho AC = CM. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABM.

Lời giải

• Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (hai góc ở đáy).

Xét tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-56°}{2}=62°$.

• Ta có $\widehat{ACB}+\widehat{ACM}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{ACM}=180°-\widehat{ACB}=180°-62°=118°$.

• Vì AC = CM (giả thiết) nên tam giác ACM cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}$ (hai góc ở đáy).

Xét $∆$AMC có: $\widehat{AMC}+\widehat{ACM}+\widehat{MAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Do đó $\widehat{CAM}=\widehat{CMA}=\frac{180°-\widehat{ACM}}{2}=\frac{180°-118°}{2}=31°$.

Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}+\widehat{CAM}=56°+31°=87°$.

Vậy $\widehat{BAM}=87°,\widehat{ABM}=62°,\widehat{AMB}=31°.$

Bài 46 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC. Tính số đo góc BAC, biết IA = IB = IC.

Lời giải

• Vì IA = IB nên tam giác IAB cân tại I.

Suy ra $\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

• Vì IA = IC nên tam giác IAC cân tại I.

Suy ra $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

Xét $∆$ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Hay $\widehat{BAC}+\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=2\widehat{BAC}=180°$

Do đó $\widehat{BAC}=90°$

Vậy $\widehat{BAC}=90°$.

Bài 47 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP cân tại P. Lấy điểm A trên cạnh PM, điểm B trên cạnh PN sao cho PA = PB. Gọi O là giao điểm của NA và MB. Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân.

Lời giải

Vì $∆$MNP cân tại P nên ta có:

PM = PN (hai cạnh bên), $\widehat{PMN}=\widehat{PNM}$ (hai góc ở đáy).

Ta có PM = PA + AM, PN = PB + BN.

Mà PM = PN (chứng minh trên), PA = PB (giả thiết).

Suy ra AM = BN.

Xét $∆$AMN và $∆$BNM có:

AM = BN (chứng minh trên),

MN là cạnh chung,

$\widehat{AMN}=\widehat{BNM}$(do $\widehat{PMN}=\widehat{PNM}$)

Do đó ∆AMN = ∆BNM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{BMN}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{ONM}=\widehat{OMN}$

Do đó tam giác ONM cân tại O.

Vậy tam giác OMN là tam giác cân tại O.

Bài 48 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}=120°$. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = BA, CE = CA.

a) Chứng minh các tam giác BAD, CAE, AED là các tam giác cân.

b) Tính số đo mỗi góc của tam giác ADE.

Lời giải

a) Vì BD = BA (giả thiết) nên tam giác ABD cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$ (hai góc ở đáy).

Vì CE = CA (giả thiết) nên tam giác ACE cân tại C.

Suy ra $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$ (hai góc ở đáy).

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

• Xét $∆$ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{BAC}=120°$ (giả thiết), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$.

• Xét $∆$ABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{DBA}+\widehat{BDA}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABD}=30°$, $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$

Suy ra $\widehat{ADB}=\frac{180°-\widehat{ABD}}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$.

• Xét $∆$ACE có: $\widehat{ACE}+\widehat{AEC}+\widehat{CAE}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ACE}=30°$, $\widehat{CAE}=\widehat{CEA}$

Suy ra $\widehat{AEC}=\frac{180°-\widehat{ACE}}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$.

Xét tam giác ADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$ (cùng bằng 75°).

Suy ra tam giác AED cân tại A.

Vậy $∆$ABD cân tại B, $∆$ACE cân tại C và $∆$AED cân tại A.

b) Xét $∆$ADE có: $\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{DAE}=180°-\widehat{ADE}-\widehat{AED}=180°-75°-75°=30°$.

Vậy $∆$ADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=75°,\widehat{EAD}=30°.$

Bài 49 trang 83 SBT Toán 7 Tập 2: Cho Hình 37 có AB = AC = BC = BD = CE, $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90°$.

a) Chứng minh tam giác AED là tam giác cân.

b) Tính số đo các góc của tam giác ADE.

c) Chứng minh DC = BE.

Lời giải

a) Xét $∆$ABD và $∆$ACE có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}=90°$ (giả thiết),

AB = AC (giả thiết),

BD = CE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Nên tam giác AED cân tại A.

Vậy tam giác AED cân tại A.

b) • Vì AB = AC = BC (giả thiết) nên tam giác ABC đều.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60°$.

Vì AC = CE , $\widehat{ACE}=90°$ (giả thiết) nên tam giác ACE vuông cân tại C.

Suy ra $\widehat{CEA}=\widehat{CAE}=\frac{180°-90°}{2}=45°$.

Vì AB = BD , $\widehat{ABD}=90°$ (giả thiết) nên tam giác ABD vuông cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}=\frac{180°-90°}{2}=45°$.

Ta có $\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=45°+60°+45°=150°$.

• Vì tam giác AED cân tại A nên $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$

Xét $∆$ADE có: $\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{EAD}=150°$, $\widehat{ADE}=\widehat{AED}$

Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180°-150°}{2}=15°$.

Vậy $∆$ADE có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=15°,\widehat{EAD}=150°$.

c) Ta có $\widehat{DBC}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=60°+90°=150°$.

$\widehat{BCE}=\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=60°+90°=150°$.

Xét $∆$CBD và $∆$BCE có:

BC là cạnh chung,

$\widehat{DBC}=\widehat{BCE}$ (cùng bằng 150°),

BD = CE (giả thiết),

Do đó ∆BDC = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra DC = EB (hai cạnh tương ứng)

Vậy DC = BE.

Bài 50 trang 84 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Lời giải

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}=60°$.

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

• Xét $∆$ADE và $∆$BEF có:

AD = BE (giả thiết),

$\widehat{DAE}=\widehat{FBE}$ (cùng bằng 60°),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét $∆$CFD và $∆$BEF có:

CF = BE (giả thiết),

$\widehat{FCD}=\widehat{EBF}$ (cùng bằng 60°),

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó $∆$CFD = $∆$BEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE đều.

Vậy tam giác DEF là tam giác đều.

Bài 51* trang 84 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi O là giao điểm của DE và BC. Biết OD = OE. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải

Qua D vẽ DK // AC (K ∈ BC) nên $\widehat{KDO}=\widehat{OEC}$ (hai góc so le trong).

Xét $∆$OKD và $∆$OCE có:

$\widehat{KDO}=\widehat{OEC}$ (chứng minh trên),

OD = OE (giả thiết),

$\widehat{DOK}=\widehat{EOC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆OKD = ∆OCE (g.c.g).

Suy ra KD = CE (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác BD = CE suy ra DB = DK hay tam giác DBK cân tại D.

Suy ra $\widehat{DBK}=\widehat{DKB}$ (1)

Do DK // AC nên $\widehat{DKB}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.