Giải sách bài tập Toán 7 Bài 11. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 79 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.

b) $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}$.

c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.

d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.

Lời giải

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.

Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.

• Xét ∆BNE và ∆BME có:

$\widehat{\text{BNE}}=\widehat{BME}\left(=90°\right)$,

EN = EM (giả thiết),

BE là cạnh chung

Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{NBE}}=\widehat{MBE}$ (hai góc tương ứng)

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.

Do đó phát biểu a là sai.

• Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên $\widehat{\text{BAE}}=\widehat{CAE}$

Xét $∆$ANE và $∆$APE có:

$\widehat{\text{ANE}}=\widehat{APE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{\text{NAE}}=\widehat{PAE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).

Mà EN = EM (giả thiết)

Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.

Do đó phát biểu c là đúng.

• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:

$\widehat{CPE}=\widehat{CME}\left(=90°\right)$,

EP = EM (chứng mình trên),

CE là cạnh chung

Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{PCE}}=\widehat{MCE}$ (hai góc tương ứng).

Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.

Do đó phát biểu d là đúng.

• Do AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$ (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Khi đó $\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}<\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\widehat{ECB}.$ 

Do đó phát biểu b là sai.

Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.

Bài 80 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$. Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Số đo góc KAC bằng 30°.

b) Số đo góc BAK bằng 25°.

c) Số đo góc BKC bằng 120°.

d) Số đo góc BKC bằng 115°.

Lời giải

• Xét $∆$ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}$ nên $3\widehat{BAC}=180°$

Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{180°}{3}=60°$

Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K

Nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra $\widehat{KAB}=\widehat{KAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{60°}{2}=30°$ 

Do đó phát biểu a là đúng, phát biểu b là sai.

• Vì BK là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{KBC}=\widehat{KBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ 

Vì CK là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{KCB}=\widehat{KCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ 

Suy ra $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{BAC}=2.60°=120°$

Do đó $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{120°}{2}=60°$

Xét $∆$KBC có $\widehat{KBC}+\widehat{KCB}+\widehat{CKB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Nên $\widehat{CKB}=180°-\left(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}\right)=180°-60°=120°$.

Do đó phát biểu c là đúng, phát biểu d là sai.

Vậy phát biểu sai là b và d.

Bài 81 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

Lời giải

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}$.

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\widehat{BAC}$ là góc chung,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$.

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAK}=\widehat{DAK}$ (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AKE}=\widehat{AKD}$ (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$ nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

Bài 82 trang 92 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại C có $\widehat{CAB}=60°$, AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:

a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;

b) EC = ED = EK.

Lời giải

a) Tam giác ABC vuông tại C có  $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBA}=90°-\widehat{CAB}=90°-60°=30°$.

Tam giác EBK vuông tại K có $\widehat{KEB}+\widehat{KBE}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{KEB}=90°-\widehat{KBE}=90°-30°=60°$.

• Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên $\widehat{CAE}=\widehat{BAE}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=\frac{1}{2}.60°=30°$.

Tam giác ACE vuông tại C có $\widehat{CEA}+\widehat{CAE}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CEA}=90°-\widehat{CAE}=90°-30°=60°$

Do đó $\widehat{DEB}=\widehat{CEA}=60°$ (hai góc đối đỉnh).

Ta có $\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.

• Ta có $\widehat{KEA}+\widehat{KED}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{KEA}+\widehat{KEB}+\widehat{BED}=180°$

Suy ra $\widehat{KEA}=180°-\widehat{KEB}-\widehat{BED}=180°-60°-60°=60°$.

Do đó $\widehat{KEA}=\widehat{KEB}$ (cùng bằng 60°).

Nên EK là tia phân giác của góc BEA.

Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.

b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:

$\widehat{ACE}=\widehat{AKE}\left(=90°\right)$,

AE là cạnh chung,

$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ (chứng minh câu a).

Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng)   (1)

Xét ∆EKB và ∆EDB có:

$\widehat{EKB}=\widehat{E\text{D}B}\left(=90°\right)$,

BE là cạnh chung,

$\widehat{KEB}=\widehat{DEB}$ (chứng minh câu a)

Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng)   (2)

Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.

Vậy EC = ED = EK.

Bài 83 trang 93 SBT Toán 7 Tập 2: Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52). 

Chứng minh:

a) Tam giác EIF là tam giác vuông;

b) IA = IB.

Lời giải

a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên $\widehat{AEI}=\widehat{IEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$.

Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên $\widehat{BFI}=\widehat{IFE}=\frac{1}{2}\widehat{BFE}$.

Vì a // b nên $\widehat{aEF}+\widehat{bFE}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{IEF}+\widehat{IFE}=\frac{\widehat{aEF}+\widehat{bFE}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$.

Xét $∆$IEF có $\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}+\widehat{EIF}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\widehat{EIF}=180°-\left(\widehat{\text{IEF}}+\widehat{IFE}\right)=180°-90°=90°.$ 

Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.

b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.

Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1)

Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) ta có IA = IB.

Vậy IA = IB.

Bài 84* trang 93 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.

a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.

Lời giải

a) • Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$.

Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = $\frac{1}{2}$AB.

Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD. 

Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.

Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

Xét ∆AEG và ∆ADG có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{EAG}=\widehat{DAG}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$),

AG là cạnh chung

Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$ (hai góc tương ứng).

Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.

• Ta có $\widehat{BGM}=\widehat{AGD},\widehat{CGM}=\widehat{AGE}$ (các cặp góc đối đỉnh)

Mà $\widehat{AGE}=\widehat{AGD}$

Nên $\widehat{BGM}=\widehat{CGM}$

Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.

• Xét ∆AME và ∆AMD có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\widehat{E\text{A}M}=\widehat{DAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$),

AM là cạnh chung,

Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AMD}$ (hai góc tương ứng)

Nên MA là tia phân giác của góc EMD.

Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.

b) • Xét $∆$ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (1)

Ta có AE = AD (chứng minh câu a)

Nên tam giác AED cân tại A

Suy ra $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$

Xét $∆$ADE có $\widehat{ADE}+\widehat{AE\text{D}}+\widehat{DA\text{E}}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Mà $\widehat{AE\text{D}}=\widehat{ADE}$ nên $\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Do đó ED // BC.

Nên $\widehat{DEC}=\widehat{ECM}$ (hai góc so le trong)  

• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì $\widehat{DEC}=\widehat{CEM}$ 

Suy ra $\widehat{ECM}=\widehat{CEM}$ nên tam giác MEC cân tại M.

Do đó ME = MC

Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.

Suy ra tam giác EMB cân tại M nên $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$.

• Xét $∆$EBC có $\widehat{BEC}+\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay $\widehat{BEC}+\widehat{MCE}+\widehat{MBE}=180°$

Mà $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$ và $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

Nên $\widehat{BEC}+\widehat{MEC}+\widehat{MEB}=180°$ hay $\widehat{BEC}+\widehat{BEC}=180°$ 

Suy ra $2\widehat{BEC}=180°$

Do đó $\widehat{BEC}=\frac{180°}{2}=90°$ nên $\widehat{AEC}=90°.$ 

• Xét ∆BEC và ∆AEC có:

$\widehat{BEC}=\widehat{AEC}$  (cùng bằng 90°),

EC là cạnh chung,

BE = AE (chứng minh câu a)

Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra BC = AC.

Mà AB = AC (chứng minh câu a).

Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.