Giải sách bài tập Toán 7 Bài 3. Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

Bài 25 trang 46 SBT Toán 7 Tập 1: 

Cho đa thức F(x) = x⁷ – $\frac{1}{2}$x³ + x + 1.

a) Tìm đa thức Q(x) sao cho F(x) + Q(x) = x⁵ – x³ + 2.

b) Tìm đa thức R(x) sao cho F(x) – R(x) = 2.

Lời giải

a) Ta có: F(x) + Q(x) = x⁵ – x³ + 2.

Suy ra Q(x) = x⁵ – x³ + 2 – F(x)

Hay Q(x) = x⁵ – x³ + 2 – (x⁷ – $\frac{1}{2}$x³ + x + 1)

                = x⁵ – x³ + 2 – x⁷ + $\frac{1}{2}$x³ – x – 1

                = – x⁷ + x⁵ + (– x³ + $\frac{1}{2}$x³) – x + (2 – 1)

                = – x⁷ + x⁵ – $\frac{1}{2}$x³ – x + 1.

Vậy Q(x) = – x⁷ + x⁵ – $\frac{1}{2}$x³ – x + 1.

b) Ta có: F(x) – R(x) = 2.

Suy ra R(x) = F(x) – 2.

Hay R(x) = x⁷ – $\frac{1}{2}$x³ + x + 1 – 2.

                = x⁷ – $\frac{1}{2}$x³ + x – 1.

Vậy R(x) = x⁷ – $\frac{1}{2}$x³ + x – 1.

Bài 26 trang 46 SBT Toán 7 Tập 1: 

Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = x² + 1 và P(x) – Q(x) = 2x.

Lời giải

Ta có P(x) + Q(x) = x² + 1 và P(x) – Q(x) = 2x.

Suy ra [P(x) + Q(x)] + [P(x) – Q(x)] = (x² + 1) + 2x.

Hay 2P(x) = x² + 2x + 1.

Do đó P(x) = $\frac{1}{2}$x² + x + $\frac{1}{2}$.

Mặt khác: P(x) – Q(x) = 2x

Suy ra Q(x) = P(x) – 2x

Hay Q(x) = $\frac{1}{2}$x² + x + $\frac{1}{2}$ – 2x

                = $\frac{1}{2}$x² – x + $\frac{1}{2}$.

Vậy P(x) = $\frac{1}{2}$x² + x + $\frac{1}{2}$ và Q(x) = $\frac{1}{2}$x² – x + $\frac{1}{2}$.

Bài 27 trang 46 SBT Toán 7 Tập 1: 

Cho hai đa thức:

F(x) = x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9 và G(x) = – x⁴ + 2x² – x + 8.

a) Tìm đa thức H(x) sao cho H(x) = F(x) + G(x).

b) Tìm bậc của đa thức H(x).

c) Kiểm tra xem x = 0, x = 1, x = –1 có là nghiệm của đa thức H(x) hay không.

d) Tìm đa thức K(x) sao cho H(x) – K(x) = $\frac{1}{2}$x².

Lời giải

a) Ta có:

H(x) = F(x) + G(x).

        = (x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9) + (– x⁴ + 2x² – x + 8)

        = x⁴ + x³ – 3x² + 2x – 9 – x⁴ + 2x² – x + 8

        = (x⁴– x⁴) + x³ + (– 3x² + 2x²) + (2x – x) + (– 9 + 8)

        = x³ – x² + x – 1.

Vậy H(x) = x³ – x² + x – 1.

b) Đa thức H(x) = x³ – x² + x – 1 có bậc là 3 do số mũ cao nhất của biến x là 3.

c) Xét đa thức H(x) = x³ – x² + x – 1.

• Thay x = 0 vào đa thức H(x) ta được:

H(0) = 0³ – 0² + 0 – 1 = –1 ≠ 0.

Do đó x = 0 không là nghiệm của đa thức H(x).

• Thay x = 1 vào đa thức H(x) ta được:

H(1) = 1³ – 1² + 1 – 1 = 0.

Do đó x = 1 là nghiệm của đa thức H(x).

• Thay x = –1 vào đa thức H(x) ta được:

H(–1) = (–1)³ – (–1)² + (–1) – 1 = –4 ≠ 0.

Do đó x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức H(x) và x = 0, x = –1 không là nghiệm của đa thức H(x).

d) Ta có: H(x) – K(x) = $\frac{1}{2}$x².

Suy ra K(x) = H(x) – $\frac{1}{2}$x².

Hay K(x) = x³ – x² + x – 1 – $\frac{1}{2}$x².

                = x³ + (– x² – $\frac{1}{2}$x²) + x – 1

                = x³ – $\frac{3}{2}$x² + x – 1.

Vậy K(x) = x³ – $\frac{3}{2}$x² + x – 1.

Bài 28 trang 47 SBT Toán 7 Tập 1: 

a) Cho các đa thức:

A(x) = x² – 0,45x + 1,2; B(x) = 0,8x² – 1,2x;     C(x) = 1,6x² – 2x.

Tính A(x) + B(x) – C(x).

b) Cho các đa thức:

M(y) = y² – 1,75y – 3,2; N(y) = 0,3y² + 4; P(y) = 2y – 7,2.

Tính M(y) – N(y) – P(y).

Lời giải

a) Ta có:

A(x) + B(x) – C(x)

= (x² – 0,45x + 1,2) + (0,8x² – 1,2x) – (1,6x² – 2x)

= x² – 0,45x + 1,2 + 0,8x² – 1,2x – 1,6x² + 2x

= (x² + 0,8x² – 1,6x²) + (– 0,45x – 1,2x + 2x) + 1,2

= 0,2x² + 0,35x + 1,2.

Vậy A(x) + B(x) – C(x) = 0,2x² + 0,35x + 1,2.

b) Ta có:

M(y) – N(y) – P(y)

= (y² – 1,75y – 3,2) – (0,3y² + 4) – (2y – 7,2)

= y² – 1,75y – 3,2 – 0,3y² – 4 – 2y + 7,2

= (y² – 0,3y²) + (– 1,75y – 2y) + (– 3,2 – 4 + 7,2)

= 0,7y² – 3,75y.

Vậy M(y) – N(y) – P(y) = 0,7y² – 3,75y.

Bài 29 trang 47 SBT Toán 7 Tập 1: 

Mỗi chiếc bút bi được bán với giá x (đồng). Mỗi kẹp tóc có giá đắt hơn mỗi chiếc bút bi là 7 000 đồng, mỗi quyển truyện tranh có giá đắt gấp 5 lần mỗi chiếc bút bi. Bạn Khanh mua 4 chiếc kẹp tóc và 5 chiếc bút bi. Bạn Dung mua 1 quyển truyện tranh, 3 chiếc kẹp tóc và 10 chiếc bút bi.

a) Tính số tiền mỗi bạn phải trả theo x.

b) Tính tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn Khanh và Dung theo x.

c) Nếu bạn Minh chỉ có 70 000 đồng và muốn mua hàng sao cho có đủ cả ba món đồ (bút bi, kẹp tóc, truyện tranh) thì bạn Minh có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu chiếc kẹp tóc, biết giá mỗi chiếc bút bi là 5 000 đồng?

Lời giải

Giá tiền một chiếc kẹp tóc là: x + 7 000 (đồng).

Giá tiền một quyển truyện tranh là: 5x (đồng).

a) Số tiền bạn Khanh phải trả khi mua 4 chiếc kẹp tóc và 5 chiếc bút bi là:

4 . (x + 7 000) + 5 . x = 4x + 28 000 + 5x = 9x + 28 000 (đồng).

Số tiền bạn Dung phải trả khi mua 1 quyển truyện tranh, 3 chiếc kẹp tóc và 10 chiếc bút bi là:

5x + 3 . (x + 7 000) + 10 . x = 5x + 3x + 21 000 + 10x = 18x + 21 000 (đồng).

Vậy số tiền hai bạn Khanh và Dung phải trả lần lượt là 9x + 28 000 (đồng) và 18x + 21 000 (đồng).

b) Tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn Khanh và Dung là:

(9x + 28 000) + (18x + 21 000) = 27x + 49 000 (đồng).

Vậy tổng số tiền mà cửa hàng nhận được từ hai bạn Khanh và Dung là 27x + 49 000 (đồng).

c) Do giá mỗi chiếc bút bi là 5 000 đồng nên giá mỗi chiếc kẹp tóc là 12 000 đồng và giá mỗi quyển truyện tranh là 25 000 đồng.

Giá của 1 chiếc bút bi, 1 chiếc kép tóc, 1 quyển truyện tranh là:

5 000 + 12 000 + 25 000 = 42 000 (đồng).

Ta có: 70 000 – 42 000 = 28 000 và 28 000 : 12 000 = 2,(3) nên bạn Minh có thể mua nhiều nhất 3 chiếc kẹp tóc.

Bài 30 trang 47 SBT Toán 7 Tập 1: 

Cho hai đa thức:

F(x) = 2x⁴ – x³ + x – 3;     G(x) = – x³ + 5x² + 4x + 2.

a) Tìm đa thức H(x) sao cho F(x) + H(x) = 0.

b) Tìm đa thức K(x) sao cho K(x) – G(x) = F(x).

Lời giải

a) Ta có F(x) + H(x) = 0.

Suy ra H(x) = – F(x)

Hay H(x) = – (2x⁴ – x³ + x – 3)

                = ‒2x⁴ + x³ ‒ x + 3

Vậy H(x) = ‒2x⁴ + x³ ‒ x + 3.

b) Ta có K(x) – G(x) = F(x).

Suy ra K(x) = F(x) + G(x)

Hay K(x) = (2x⁴ – x³ + x – 3) + (– x³ + 5x² + 4x + 2)

                = 2x⁴ – x³ + x – 3 – x³ + 5x² + 4x + 2

                = 2x⁴ + (– x³ – x³) + 5x² + (x + 4x) + (– 3 + 2)

                = 2x⁴ – 2x³ + 5x² + 5x – 1.

Vậy K(x) = 2x⁴ – 2x³ + 5x² + 5x – 1.