Để tính giá trị của biểu thức

\[
(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3 - 3xy \cdot (x + y),
\]

ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và khai triển biểu thức. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Bước 1: Khai triển các lập phương

1. **Khai triển \((x - y)^3\):**

\[
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\]

2. **Khai triển \((x + y)^3\):**

\[
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]

3. **Khai triển \((y - x)^3\):**

\[
(y - x)^3 = -(x - y)^3 = -[x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3] = -x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
\]

### Bước 2: Cộng các biểu thức đã khai triển

Thay các kết quả khai triển vào biểu thức:

\[
(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3
\]

\[
= [x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3] + [x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3] + [-x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3]
\]

Cộng các biểu thức lại:

\[
= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
\]

\[
= (x^3 - x^3 + x^3) + (-3x^2y + 3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2 - 3xy^2) + (-y^3 + y^3 + y^3)
\]

\[
= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3
\]

### Bước 3: Tính biểu thức cuối cùng

Thay vào biểu thức gốc:

\[
(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3 - 3xy \cdot (x + y)
\]

\[
= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3xy \cdot (x + y)
\]

\[
= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3xy \cdot x - 3xy \cdot y
\]

\[
= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2
\]

\[
= x^3 + y^3 - 6xy^2
\]

### Kết luận

Biểu thức đơn giản hóa là:

\[
x^3 + y^3 - 6xy^2
\]

Để giải biểu thức \((x-y)^3 + (x+y)^3 + (y-x)^3 - 3xy \cdot (x+y)\), chúng ta sẽ sử dụng một số công thức khai triển và nhận diện các hằng đẳng thức.

Đầu tiên, nhận xét rằng:

\[
(y-x)^3 = -(x-y)^3
\]

Vậy có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:

\[
(x-y)^3 + (x+y)^3 - (x-y)^3 - 3xy \cdot (x+y)
\]

Từ đó, ta thấy \((x-y)^3\) và \(-(x-y)^3\) sẽ triệt tiêu nhau:

\[
(x+y)^3 - 3xy \cdot (x+y)
\]

Tiếp theo, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức với \((a + b)^3\):

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Áp dụng cho trường hợp của chúng ta:

\[
(x+y)^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)
\]

Do đó, ta có:

\[
(x+y)^3 - 3xy(x+y) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) - 3xy(x+y)
\]

Chúng ta có thể đơn giản hóa hơn nữa, cho thấy rằng điều này vẫn là một tính chất của đa thức.

1. Đưa ra biểu thức:
\[
P = (x+y)^3 - 3xy(x+y)
\]

2. Chúng ta có thể factor \(x+y\) ra ngoài:
\[
P = (x+y)\left((x+y)^2 - 3xy\right)
\]

3. Tiếp đến, từ hằng đẳng thức:
\((x+y)^2 - 3xy = x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = x^2 - xy + y^2\)

Vậy nên biểu thức trở thành:
\[
P = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Như vậy, giá trị cuối cùng của biểu thức trên là:

\[
\boxed{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}
\]