Để tính giá trị của biểu thức

$(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3 - 3xy \cdot (x + y),$

ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và khai triển biểu thức. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Bước 1: Khai triển các lập phương

1. **Khai triển $(x - y)^3$:**

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

2. **Khai triển $(x + y)^3$:**

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

3. **Khai triển $(y - x)^3$:**

$(y - x)^3 = -(x - y)^3 = -[x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3] = -x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

### Bước 2: Cộng các biểu thức đã khai triển

Thay các kết quả khai triển vào biểu thức:

$(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3$

$= [x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3] + [x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3] + [-x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3]$

Cộng các biểu thức lại:

$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

$= (x^3 - x^3 + x^3) + (-3x^2y + 3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2 - 3xy^2) + (-y^3 + y^3 + y^3)$

$= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

### Bước 3: Tính biểu thức cuối cùng

Thay vào biểu thức gốc:

$(x - y)^3 + (x + y)^3 + (y - x)^3 - 3xy \cdot (x + y)$

$= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3xy \cdot (x + y)$

$= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3xy \cdot x - 3xy \cdot y$

$= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2$

$= x^3 + y^3 - 6xy^2$

### Kết luận

Biểu thức đơn giản hóa là:

$x^3 + y^3 - 6xy^2$

Để giải biểu thức $(x-y)^3 + (x+y)^3 + (y-x)^3 - 3xy \cdot (x+y)$, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức khai triển và nhận diện các hằng đẳng thức.

Đầu tiên, nhận xét rằng:

$(y-x)^3 = -(x-y)^3$

Vậy có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:

$(x-y)^3 + (x+y)^3 - (x-y)^3 - 3xy \cdot (x+y)$

Từ đó, ta thấy $(x-y)^3$ và $-(x-y)^3$ sẽ triệt tiêu nhau:

$(x+y)^3 - 3xy \cdot (x+y)$

Tiếp theo, ta có thể sử dụng hằng đẳng thức với $(a + b)^3$:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Áp dụng cho trường hợp của chúng ta:

$(x+y)^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

Do đó, ta có:

$(x+y)^3 - 3xy(x+y) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) - 3xy(x+y)$

Chúng ta có thể đơn giản hóa hơn nữa, cho thấy rằng điều này vẫn là một tính chất của đa thức.

1. Đưa ra biểu thức:
$P = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

2. Chúng ta có thể factor $x+y$ ra ngoài:
$P = (x+y)\left((x+y)^2 - 3xy\right)$

3. Tiếp đến, từ hằng đẳng thức:
$(x+y)^2 - 3xy = x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = x^2 - xy + y^2$

Vậy nên biểu thức trở thành:
$P = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Như vậy, giá trị cuối cùng của biểu thức trên là:

$\boxed{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$