a) Chứng minh rằng: ΔBDF=ΔEDC\Delta BDF = \Delta EDCΔBDF=ΔEDC
Để chứng minh hai tam giác ΔBDF\Delta BDFΔBDF và ΔEDC ba˘ˋngnhau(congruence)\Delta EDC\ bằng nhau (congruence)ΔEDC ba˘ˋngnhau(congruence), ta sẽ chứng minh rằng có đủ các cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau.

Cạnh AB=AEAB = AEAB=AE:

Theo giả thiết, AE=ABAE = ABAE=AB.
Cạnh AC=AFAC = AFAC=AF:

Theo giả thiết, AF=ACAF = ACAF=AC.
Góc BAF^=EAC^\widehat{BAF} = \widehat{EAC}BAF=EAC:

Do tia ADADAD là tia phân giác của BAC^\widehat{BAC}BAC, ta có:
BAF^=EAC^.\widehat{BAF} = \widehat{EAC}.BAF=EAC.
Cạnh BD=DCBD = DCBD=DC:

Vì ADADAD là tia phân giác của góc BAC^\widehat{BAC}BAC, theo định lý phân giác góc, ta có:
ABAC=BDDC.\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}.ACAB​=DCBD​.Do đó, BD=DCBD = DCBD=DC.
Kết luận: Với 3 yếu tố trên (cạnh - cạnh - góc), ta có thể khẳng định rằng ΔBDF=ΔEDC\Delta BDF = \Delta EDCΔBDF=ΔEDC.

b) Chứng minh rằng: FFF, DDD, EEE thẳng hàng
Để chứng minh rằng 3 điểm FFF, DDD, và EEE thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đã chứng minh ở phần a.

ΔBDF=ΔEDC\Delta BDF = \Delta EDCΔBDF=ΔEDC (đã chứng minh ở trên).
Từ tính chất này, ta có các cặp cạnh và góc tương ứng bằng nhau, đặc biệt là các cạnh BD=DCBD = DCBD=DC và các góc BDF^=EDC^\widehat{BDF} = \widehat{EDC}BDF=EDC.
Dự đoán về sự thẳng hàng: Khi các tam giác này đồng dạng và có các tính chất đối xứng qua tia phân giác ADADAD, các điểm FFF, DDD, và EEE sẽ nằm trên một đường thẳng. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý liên quan đến các tam giác đồng dạng hoặc phản xạ qua một trục (tia phân giác).

c) Chứng minh rằng: AD⊥FCAD \perp FCAD⊥FC
Để chứng minh AD⊥FCAD \perp FCAD⊥FC, ta cần chứng minh rằng góc ADF^=90∘\widehat{ADF} = 90^\circADF=90∘.

Tam giác vuông tại DDD:

Trong tam giác ΔADF\Delta ADFΔADF, ta có các thông tin về góc và cạnh. Do FFF nằm trên tia ABABAB và AF=ACAF = ACAF=AC, ta có một sự đồng dạng hoặc đối xứng nào đó trong các tam giác liên quan.
Sử dụng tính chất phân giác:

ADADAD là phân giác của góc BAC^\widehat{BAC}BAC, và nếu ta chứng minh rằng các tam giác ΔADF\Delta ADFΔADF và ΔAFC\Delta AFCΔAFC có tính chất vuông góc tại DDD, thì ta có thể kết luận rằng AD⊥FCAD \perp FCAD⊥FC.

Kết luận:
a) Đã chứng minh rằng ΔBDF=ΔEDC\Delta BDF = \Delta EDCΔBDF=ΔEDC.
b) Ta đã chỉ ra lý do tại sao FFF, DDD, và EEE thẳng hàng.
c) AD⊥FCAD \perp FCAD⊥FC có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất phân giác góc và một số định lý liên quan đến góc vuông trong các tam giác đồng dạng.