a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

  GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

  DB chung 

  GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

  ⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC 

 BN  vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM (  2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB  , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG 

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC 

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI B

a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

  GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

  DB chung 

  GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

  ⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC 

 BN  vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM (  2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB  , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG 

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC 

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI B

chúc bạn học tốt

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước chứng minh dựa trên các tính chất của tam giác vuông, tam giác bằng nhau và đường phân giác.
Lời giải ngắn gọn
 
a) $\triangle DAB = \triangle DMB$ do là hai tam giác vuông có cạnh huyền $BD$ chung và góc nhọn $\widehat{ABD} = \widehat{MBD}$.
b) $AD < DC$ vì $AD = DM$ (từ câu a) và trong tam giác vuông $\triangle DMC$, cạnh huyền $DC$ luôn lớn hơn cạnh góc vuông $DM$.
c) $BN \perp KC$ vì $BD$ và $CA$ là hai đường cao cắt nhau tại $D$ trong $\triangle BKC$, suy ra $D$ là trực tâm và $BN$ chính là đường cao thứ ba. $\triangle KDC$ cân tại $D$ (sửa lại đề bài cho đúng là cân tại $D$, không phải tại $B$) vì $DN$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác của góc $\widehat{KDC}$.

1. Chứng minh $\triangle DAB = \triangle DMB$
Xét hai tam giác vuông $\triangle DAB$ (vuông tại $A$) và $\triangle DMB$ (vuông tại $M$):
 
Cạnh huyền $BD$ là cạnh chung.
$\widehat{ABD} = \widehat{MBD}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$).

Từ hai điều kiện trên, ta suy ra:
$\triangle DAB = \triangle DMB \text{ (cạnh huyền - góc nhọn)}$

2. Chứng minh $AD < DC$
Từ kết quả của câu a, vì $\triangle DAB = \triangle DMB$, ta có hai cạnh tương ứng bằng nhau:
$AD = DM$
Xét tam giác $\triangle DMC$ vuông tại $M$:
 
Cạnh $DC$ là cạnh huyền.
Cạnh $DM$ là cạnh góc vuông.

Trong một tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất, do đó:
$DM < DC$
Thay $DM = AD$ vào bất đẳng thức trên, ta được:
$AD < DC$

3. Chứng minh $BN \perp KC$ và $\triangle KDC$ cân tại $D$
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh tam giác $KDC$ cân tại $B$ là chưa chính xác, vì $DK$ và $DC$ đồng quy tại $D$, tam giác này phải cân tại $D$. Dưới đây là lời giải chứng minh cân tại $D$).
Chứng minh $BN \perp KC$
Xét tam giác lớn $\triangle BKC$:
 
Cạnh $AC \perp BK$ tại $A$, nên $CA$ là đường cao thứ nhất.
Cạnh $DM \perp BC$ tại $M$, nên $KM$ là đường cao thứ hai.
Hai đường cao $CA$ và $KM$ cắt nhau tại điểm $D$.

Do đó, $D$ chính là trực tâm của tam giác $\triangle BKC$.
Vì $BN$ là đường thẳng đi qua đỉnh $B$ và trực tâm $D$, nên $BN$ phải là đường cao thứ ba của tam giác $\triangle BKC$. Suy ra:
$BN \perp KC \text{ tại } N$
Chứng minh $\triangle KDC$ cân tại $D$
Xét hai tam giác vuông $\triangle DAK$ và $\triangle DMC$:
 
$\widehat{DAK} = \widehat{DMC} = 90^\circ$.
$AD = DM$ (chứng minh ở câu a).
$\widehat{ADK} = \widehat{MDC}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\triangle DAK = \triangle DMC$ (gờ-cạnh-góc). Từ đó, ta có hai cạnh tương ứng bằng nhau:
$DK = DC$
Vì tam giác $\triangle KDC$ có hai cạnh $DK = DC$, nên:
$\triangle KDC \text{ cân tại } D$

✅ Kết luận
 
Các tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên khẳng định $AD < DC$.
Điểm $D$ là trực tâm của $\triangle BKC$ giúp xác định tính vuông góc $BN \perp KC$.

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa trực quan cho bài toán này hoặc giải thêm các câu hỏi mở rộng (như chứng minh $AK = MC$ hoặc $KC // AM$), hãy cho mình biết nhé!

a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

  GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

  DB chung 

  GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

  ⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC 

 BN  vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM (  2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB  , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG 

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC 

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI B
...Xem thêm

a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

DB chung

GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC

BN vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này từng bước nhé.

a) Chứng minh tam giác DAB = tam giác DMB

Xét tam giác DAB (vuông tại A) và tam giác DMB (vuông tại M):∠DAB=∠DMB=90∘ (gt)
BD là cạnh chung
∠ABD=∠MBD (BD là đường phân giác của ∠ABC)
Vậy, △DAB=△DMB (cạnh huyền - góc nhọn).
b) Chứng minh AD bé hơn DC

Từ △DAB=△DMB (chứng minh ở câu a), ta có:

DA=DM (hai cạnh tương ứng)
Xét tam giác DMC vuông tại M:

Cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất.
DC>DM (trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)
Vì DA=DM và DC>DM, suy ra DA<DC.
c) Chứng minh BN vuông góc KC và tam giác KDC cân tại B

Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và đường thẳng AB.

Vì DM⊥BC và AB⊥AC, ta có ∠BMD=90∘ và ∠BAC=90∘.
Xét tứ giác ABMD có ∠BAD=∠BMD=90∘. Suy ra tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn đường kính BD.
Xét tam giác KBC:

Ta có DM⊥BC tại M. Đường thẳng KM chính là đường thẳng DM, vậy KM⊥BC.
K nằm trên đường thẳng AB.
Xét tam giác KBA và tam giác KMC:

∠KAB=90∘
∠KMC=90∘
∠BKA=∠CKM (hai góc đối đỉnh)
Vậy △KBA∼△KMC (g.g)
Suy ra KCKB​=KMKA​=MCBA​
Đường thẳng BD cắt KC tại N.

Xét tam giác KBC có các đường thẳng BN và CM cắt nhau tại D (vì D thuộc BD và AC).
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác KBC với các điểm N trên KC, D trên AC, M trên BC: NKCN​⋅ABKA​⋅MCBM​=1
Chứng minh BN vuông góc KC:

Ta cần chứng minh ∠BNC=90∘.
Xét tam giác BDC và tam giác BDA:

BD chung
∠DBC=∠DBA (BD là phân giác)
BM = BA (vì △DAB=△DMB)
Vậy △BDC và △BDA không bằng nhau theo trường hợp c.g.c vì BC chưa chắc bằng BA.
Cách khác để chứng minh BN vuông góc KC:

Xét tam giác KBC. Ta có KM là đường cao (KM ⊥ BC).
Nếu BN cũng là đường cao thì BN ⊥ KC.
Điều này xảy ra khi N là trực tâm của tam giác KBC.
Để N là trực tâm, giao điểm của hai đường cao phải là N. Chúng ta có một đường cao KM. Nếu BN là đường cao thứ hai, thì BN ⊥ KC.
Xét tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác. Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: DCAD​=BCAB​.
Xét tam giác KDC. Để tam giác KDC cân tại B, ta cần chứng minh BK=BC.
Chứng minh tam giác KDC cân tại B:

Để chứng minh △KDC cân tại B, ta cần chứng minh BK=BC.
Xét tam giác KBM vuông tại M và tam giác KBA vuông tại A:

KB là cạnh chung
∠KBM=∠KBA (cùng là góc B của tam giác ABC)
Vậy △KBM và △KBA không bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - góc nhọn vì BM chưa chắc bằng BA.
Cách khác để chứng minh BK = BC:

Xét các góc:

∠KBD=∠CBD (BD là phân giác ∠ABC)
∠BDK=90∘−∠KBD
∠BCD=90∘−∠ABC
Ta cần chứng minh ∠BKC=∠BCK.
Nhận xét: Chứng minh BN vuông góc KC và tam giác KDC cân tại B có vẻ phức tạp và cần thêm các tính chất hoặc một cách tiếp cận khác. Mình sẽ thử một hướng khác.
Xét tam giác KBC:

Đường cao KM.
Nếu BN là đường cao thì BN ⊥ KC.
Xét tứ giác ABMC: ∠BAC=90∘, ∠BMC=90∘. Vậy tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Góc ∠KCB=∠ACB.
Góc ∠KBC=∠ABC.
Xét tam giác KBD và tam giác CBD:

BD chung
∠KBD=∠CBD
BM = BA
Vậy △KBD=△CBD (c.g.c)
Suy ra KD=CD và ∠BKD=∠BCD.
Vì ∠BKD=∠BCD và ∠BKA+∠BKD=180∘, ∠BCA+∠BCD=180∘ (điều này không đúng).
Ta có ∠BKD=∠BCD.
Xét tam giác KDC: Để cân tại B, cần BK=BC.
Xét tam giác vuông KBA và KBM:

KB chung
BA = BM
Vậy △KBA=△KBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra ∠BKA=∠BKM.
Ta có ∠BKD+∠BKA=180∘ và ∠BKM+∠CMD=180∘.
∠BKD=180∘−∠BKA.
Xét tam giác BKC:

Đường cao KM.
Để BN là đường cao, cần ∠BNC=90∘.
Xét tam giác KDC:

Ta có KD=CD. Vậy tam giác KDC cân tại D. Đề bài yêu cầu cân tại B.
Có vẻ có một sự nhầm lẫn hoặc cần một cách tiếp cận khác cho phần c). Mình sẽ xem xét lại các tính chất và định lý liên quan.

Đường phân giác BD: Mọi điểm trên đường phân giác cách đều hai cạnh của góc. Vậy DA=DM.
Điểm K: K là giao điểm của DM và AB. Vì DM⊥BC và AB⊥AC, các đường thẳng này có mối quan hệ đặc biệt.
Tứ giác ABDM nội tiếp: ∠BAD+∠BMD=90∘+90∘=180∘.
Góc ∠BKD=∠AMD (cùng chắn cung AD).
Xét tam giác KBC: BN là đường trung tuyến và cũng là đường cao thì tam giác cân.
Mình cần một bước đột phá để chứng minh BN vuông góc KC và tam giác KDC cân tại B.

Xét tam giác KBC và điểm D trên KC: N là giao điểm BD và KC.
Định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông: Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Thử sử dụng tính chất đối xứng:

Đường phân giác BD là trục đối xứng của tam giác ABM (vì BA = BM và ∠ABD=∠MBD).
Điểm K nằm trên đường thẳng AB, điểm C nằm trên đường thẳng AC.
Nếu tam giác KDC cân tại B thì BK=BC.

Xét tam giác vuông BKA: BK2=BA2+AK2.
Cần chứng minh BA2+AK2=BC2=AB2+AC2. Vậy AK2=AC2, suy ra AK=AC.
Xét tam giác vuông DMC và tam giác vuông DKA:

DA=DM
∠DAC=∠KAD (cùng là góc A)
Vậy △DMC và △DKA không bằng nhau.
Mình nhận thấy có thể có một lỗi trong đề bài hoặc cần một tính chất hình học đặc biệt mà mình chưa nhận ra ngay lập tức cho phần c). Tuy nhiên, mình đã chứng minh được phần a) và b) một cách rõ ràng.

Nếu bạn có thêm thông tin hoặc gợi ý nào khác, mình sẵn lòng tiếp tục suy nghĩ về phần c).

a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

  GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

  DB chung 

  GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

  ⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC 

 BN  vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM (  2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB  , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG 

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC 

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI B
 

a/ xét ΔDAB và ΔDMB , có :

  GócABD = góc MBD ( BD là p/g của góc ABC)

  DB chung 

  GÓC BAD = góc BMD ( 90 ĐỘ )

  ⇒ΔBAD=ΔBMD ( g.c.g)

b/ vì ΔDAB vÀ ΔDMB ( c/mt )

AD=MD ( 2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔDMC , có:

Góc DMC ( 90 ĐỘ )

⇒MD nhỏ hơn DC ( quan hệ góc và cạnh dối diênj trong Δ)

Mà AD=MD ( c/mt )

⇒AD=DC

c/ xét ΔKBC , có :

KM vuông BC ⇒KM là đường cao thứ 1ứng với cạnh BC

CA vuông BK ⇒CA là đườn cao thứ 2 ứng với cạnh BC

Mà KM cắt CA tại D

⇒D là trực tâm của ΔKBC

⇒BD là đừng cao thú 3 ứng với cạnh KC 

 BN  vuông KC

VìΔDAB =ΔDMB ( c/mt )

BA=BM (  2 cạnh t/ ứng )

Xét ΔKMB và ΔCAB  , có :

Góc KMB = GÓC CAB ( 90 ĐỘ )

BM = BA ( C/MT )

GÓC KBM CHUNG 

⇒ΔKMB=ΔCAB ( G.C.G)

⇒KM = CA ( 2 CẠNH T/ ỨNG )

TA CÓ : D LÀ TRỰC TÂM CỦA ΔKBC 

⇒KB =2/3 KM

⇒CD=2/ 3 CA

MÀ KM=CA ( C/MT)

⇒KD=CD

⇒ΔKDC CÂN TẠI D

MÀ B;D THẰNG HÀNG

⇒ΔKDC CÂN TẠI B