Bước 1: Chứng minh
△ADEtriangle cap A cap D cap E
△𝐴𝐷𝐸
cân 

Xét hai tam giác vuông △ABDtriangle cap A cap B cap D
△𝐴𝐵𝐷
(vuông tại D) và △ACEtriangle cap A cap C cap E
△𝐴𝐶𝐸
(vuông tại E) có: 
Cạnh huyền AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
(do △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại A).
Góc ∠Aangle cap A
∠𝐴
là góc chung. 

Do đó, △ABD≅△ACEtriangle cap A cap B cap D is congruent to triangle cap A cap C cap E
△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸
(trường hợp cạnh huyền - góc nhọn) [1]. 
Từ sự đồng dạng trên, suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
. 

Trả lời: 
Do AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, tam giác △ADEtriangle cap A cap D cap E
△𝐴𝐷𝐸
là tam giác cân tại A. 

Bước 2: Chứng minh DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
 

Từ kết quả AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
ở phần a), ta có tỉ số ADAC=AEABthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap B end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵
(vì AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
). 
Xét △ADEtriangle cap A cap D cap E
△𝐴𝐷𝐸
và △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
, chúng có góc ∠Aangle cap A
∠𝐴
chung và tỉ số các cạnh kề ADAC=AEABthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap B end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵
. Do đó, △ADE∼△ABCtriangle cap A cap D cap E tilde triangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐷𝐸∼△𝐴𝐵𝐶
(trường hợp cạnh-góc-cạnh). 
Từ sự đồng dạng này, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau, cụ thể là ∠ADE=∠ACBangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐶𝐵
. 

Trả lời: 
Hai góc ∠ADEangle cap A cap D cap E
∠𝐴𝐷𝐸
và ∠ACBangle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐶𝐵
ở vị trí đồng vị bằng nhau nên DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
. 

Bước 3: Chứng minh IB=ICcap I cap B equals cap I cap C
𝐼𝐵=𝐼𝐶
 

Ta có △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại A nên ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
. 
Từ △ABD≅△ACEtriangle cap A cap B cap D is congruent to triangle cap A cap C cap E
△𝐴𝐵𝐷≅△𝐴𝐶𝐸
ở phần a), ta có ∠ABD=∠ACEangle cap A cap B cap D equals angle cap A cap C cap E
∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸
. 
Trong △IBCtriangle cap I cap B cap C
△𝐼𝐵𝐶
, ta có các góc đáy:
∠IBC=∠ABC−∠ABDangle cap I cap B cap C equals angle cap A cap B cap C minus angle cap A cap B cap D
∠𝐼𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐷
∠ICB=∠ACB−∠ACEangle cap I cap C cap B equals angle cap A cap C cap B minus angle cap A cap C cap E
∠𝐼𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐸

Do ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
và ∠ABD=∠ACEangle cap A cap B cap D equals angle cap A cap C cap E
∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐸
, suy ra ∠IBC=∠ICBangle cap I cap B cap C equals angle cap I cap C cap B
∠𝐼𝐵𝐶=∠𝐼𝐶𝐵
. 

Trả lời: 
Tam giác △IBCtriangle cap I cap B cap C
△𝐼𝐵𝐶
có hai góc đáy bằng nhau ( ∠IBC=∠ICBangle cap I cap B cap C equals angle cap I cap C cap B
∠𝐼𝐵𝐶=∠𝐼𝐶𝐵
) nên nó là tam giác cân tại I, suy ra IB=ICcap I cap B equals cap I cap C
𝐼𝐵=𝐼𝐶
. 

Bước 4: Chứng minh AI⟂BCcap A cap I ⟂ cap B cap C
𝐴𝐼⟂𝐵𝐶
 

Icap I
𝐼
là giao điểm của hai đường cao BDcap B cap D
𝐵𝐷
và CEcap C cap E
𝐶𝐸
của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
. Do đó, Icap I
𝐼
là trực tâm của tam giác △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
. 
Đường thẳng AIcap A cap I
𝐴𝐼
đi qua đỉnh Acap A
𝐴
và trực tâm Icap I
𝐼
nên AIcap A cap I
𝐴𝐼
phải là đường cao thứ ba của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
. 

Trả lời: 
Vì AIcap A cap I
𝐴𝐼
là đường cao của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
hạ xuống cạnh BCcap B cap C
𝐵𝐶
, nên AI⟂BCbold cap A bold cap I ⟂ bold cap B bold cap C
𝐀𝐈⟂𝐁𝐂
.