Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 2

Bài 5 trang 30 Toán lớp 10 Tập 1: Một chuỗi nhà hàng ăn nhanh bán đồ ăn từ 10h00 sáng đến 22h00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca I từ 10h00 đến 18h00 và ca II từ 14h00 đến 22h00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ (bảng dưới).

Để mỗi nhà hàng hoạt động được thì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00, tối thiểu 24 nhân viên trong khoảng thời gian cao điểm 14h00 – 18h00 và không quá 20 nhân viên trong khoảng 18h00 – 22h00. Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I. Em hãy giúp chủ chuỗi nhà hàng chỉ ra cách huy động số lượng nhân viên cho mỗi ca sao cho chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất.  

Lời giải:

Gọi số nhân viên ca I cần huy động là x (nhân viên), số nhân viên ca II cần huy động là y (nhân viên) (x, y > 0; $x,y\in \mathbb{Z}$).

Do số lượng khách trong khoảng 14h00 – 22h00 thường đông hơn nên nhà hàng cần số nhân viên ca II ít nhất phải gấp đôi số nhân viên ca I nên y ≥ 2x.

Vì cần tối thiểu 6 nhân viên trong khoảng 10h00 – 18h00 (ca I) nên x ≥ 6.

Trong thời gian từ 14h00 – 18h00 số nhân viên là tổng số nhân viên của 2 ca là x + y (nhân viên), x + y > 0.

Vì trong khoảng thời gian này cần tối thiểu 24 nhân viên nên x + y ≥ 24.

Trong khoảng 18h00 – 22h00 cần không quá 20 nhân viên nên y ≤ 20.

Quan sát bảng đã cho ta thấy:

+ Tiền lương trong 1 ngày của một nhân viên làm ca I là: 20 000 . 8 = 160 000 đồng.

+ Tiền lương trong 1 ngày của một nhận viên ca II là: 22 000 . 8 = 176 000 đồng.

Do đó tổng chi phí tiền lương cho x nhân viên ca I và y nhân viên ca II trong một ngày là T = 160 000x + 176 000y (đồng).

Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ x+y>0\\ x\ge 6\\ x+y\ge 24\\ y\le 20\\ y\ge 2x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ 0<y\le 20\\ x+y\ge 24\\ y\ge 2x\end{array}\right.$ (*) sao cho T = 160 000x + 176 000y có giá trị là nhỏ nhất.

Các định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*):

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng:

+) x = 0 là trục tung

+) y = 0 là trục hoành

+) y = 20 là đường thẳng đi qua điểm (0; 20) và song song với trục hoành.

+) x + y = 24 là đường thẳng đi qua điểm (24; 0) và (0; 24)

+) y = 2x là đường thẳng đi qua điểm (0;0) và (6; 12).

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác ABCD với A(6; 18), B(6; 20), C(10; 20), D(8; 16).

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 160 000x + 176 000y có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tính giá trị của biểu thức T tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của tứ giác, ta có:

T_A = 160 000 . 6 + 176 000 . 18 = 4 128 000

T_B = 160 000 . 6 + 176 000 . 20 = 4 480 000

T_C = 160 000 . 10 + 176 000 . 20 = 5 120 000

T_D = 160 000 . 8 + 176 000 . 16 = 4 096 000

Do đó T nhỏ nhất bằng 4 096 000 khi x = 8 và y = 16.

Vậy để chi phí tiền lương mỗi ngày là ít nhất thì chuỗi nhà hàng cần huy động 8 nhân viên ca I và 16 nhân viên ca II, khi đó chi phí tiền lương cho 1 ngày là 4 096 000 đồng.