Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Hoidap.vietjack.com trân trọng giới thiệu: lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 6. Mời các bạn đón xem:

596
  Tải tài liệu

Giải bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Khởi động trang 93 Toán lớp 10 Tập 1: Trong vật lí, nếu có một lực F tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực F được tính theo công thức A=|F|  .  |OM|  .  cosφ trong đó |F| gọi là cường độ của lực F tính bằng Newton (N), |OM| là độ dài của vectơ OM tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ OM và F, còn công A tính bằng Jun (J).

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Trong toán học, giá trị của biểu thức A=|F|  .  |OM|  .  cosφ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Lời giải:

Giá trị của biểu thức A=|F|  .  |OM|  .  cosφ là tích vô hướng của hai vectơ F và OM.

Luyện tập 1 trang 93 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A cóˆB=30°, AB = 3 cm. Tính BA.BC;CACB

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A nên cos^ABC=BABC.

BC=BA:cos30°=3:cos30°=23 cm.

sin^ABC=ACBC

AC=BC.sin30°=23.sin30°=3 cm.

Ta có: ˆB+ˆC=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

ˆC=90°ˆB=90°30°=60°.

Khi đó

BA.BC=|BA|.|BC|.cos(BA,BC)=3.23.cos30°=9BA.BC=BA.BC.cos(BA,BC)=3.23.cos30°=9

CA  .  CB |CA|  .  |CB|.cos(CA,  CB) 

3.23.cos60° = 6 . cos 60° = 3.

Luyện tập 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) CB  .  BA;

b) AH.BC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do tam giác ABC đều nên ^BAC=^ABC=60° và AB = BC = CA = a.

Khi đó

CB  .  BA=BC.BA=|BC|.|BA|.cos(BC,BA)CB.BA=BC.BA=BC.BA.cos(BC,BA)

-a.a.cos 60o = a22.

Vậy CB . BA=-a22

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AHBC.

Do đó AHBC nên AH.BC=0.

Luyện tập 3 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì a,  b, ta có:

(a+b)2=a2+2a.b+b2;

(ab)2=a22a.b+b2;

(ab).(a+b)=a2b2.

Lời giải:

Ta có: (a+b)2=(a+b).(a+b)

=a.a+a.b+b.a+b.b

=a2+2a.b+b2

+) Ta có: (ab)2=(ab).(ab)

=a.aa.bb.a+b.b

=a22a.b+b2

+) Ta có: (ab).(a+b)=a.a+a.bb.ab.b

=a2b2

Luyện tập 4 trang 96 Toán lớp 10 Tập 1: Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC2 = AB2 + AC2.

Lời giải:

Phần thuận: Tam giác ABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2.

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos ˆA

 BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos 90o

 BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.0

 BC2 = AB2 + AC2

Phần đảo: Tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A.

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos ˆA

Mà BC2 = AB2 + AC2 nên -2.AB.AC.cos ˆA = 0.

Do AB và AC là độ dài các cạnh của tam giác nên cos ˆA = 0.

Do đó ˆA=90°.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài tập

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Nếu hai điểm M, N thỏa mãn MN.NM=4 thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4;

B. MN = 2;

C. MN = 16;

D. MN = 256.

Lời giải:

Ta có MN.NM=MN.MN=MN2=MN2.

Do đó -MN2 = -4 nên MN2 = 4.

Mà MN > 0 (độ dài đoạn thẳng) nên MN = 2.

Vậy đáp án đúng là đáp án B.

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu a  ,  b khác 0 và (a,b)  <90° thì a.b<0;

B. Nếu a  ,  b khác 0 và (a,b)  >90° thì a.b>0;

C. Nếu a  ,  b khác 0 và (a,b)  <90° thì a.b>0;

D. Nếu a  ,  b khác 0 và (a,b)  90° thì a.b<0.

Lời giải:

Nếu a  ,  b khác 0 và (a,b)  <  90° thì cos(a,b)>0.

Do đó a.b=|a|.|b|.cos(a,b)>0.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 3 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1Tính a  .  b trong mỗi trường hợp sau:

a) |a|=3,|b|=4,  (a,  b)=30°;

b) |a|=5,|b|=6,  (a,  b)=120°;

c) |a|=2,|b|=3,  a và b cùng hướng;

d) |a|=2,|b|=3,  a và b ngược hướng.

Lời giải:

a) a  .  b=|a|.|b|.cos(a,b) 

= 3 . 4 . cos 30o = 63.

b) a  .  b=|a|.|b|.cos(a,b) 

= 5 . 6 . cos 120o = -15.

c) Do a và b cùng hướng nên a  .  b=|a|.|b| = 2 . 3 = 6.

d) Do a và b ngược hướng nên a  .  b=|a|.|b| -2 . 3 = -6.

Bài 4 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) AB.AC;

b) AC.BD.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do ABCD là hình vuông nên ^BAC=45°.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

 AC = 2a.

Khi đó:

AB.AC=|AB|  .  |AC|  .  cos(AB,AC) 

= a . 2a . cos ^BAC a . 2a . cos 45o = a2.

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó ACBD nên AC  .  BD=0.

Bài 5 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:

AB2+AB.BC+AB.CA=0.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

AB2+AB.BC+AB.CA=AB2+AB.BC+AB.CA

=AB.(AB+BC+CA)

=AB.(AC+CA)

=AB.AA

=AB.0

= 0.

Vậy AB2+AB.BC+AB.CA=0.

Bài 6 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) AB.AH=AC.AH;

b) AB.BC=HB.BC.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH  BC.

Do đó AHBC nên AH.BC=0.

Ta có AC.AH=(AB+BC).AH

=AB.AH+BC.AH

=AB.AH

Vậy AB.AH=AC.AH.

b) Ta có AB.BC=(AH+HB).BC

=AH.BC+HB.BC

=HB.BC

Vậy AB.BC=HB.BC.

Bài 7 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 69). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi vận tốc của máy bay theo hướng từ đông sang tây là BA, vận tốc gió thổi từ hướng đông bắc sang tây nam là BC, khi đó vận tốc mới của máy bay là BD.

Ta có |AB| = 700, |BC| = 40.

Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 700 và ^ABC+^BCD=180°.

Do đó ^BCD=180°^ABC=180°45°=135°.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác BCD:

BD2 = BC2 + CD2 - 2.BC.CD.cos ^BCD.

 BD2 = 402 + 7002 - 2.40.700.cos 135o.

 BD2  531 197,98.

 BD  728,83 km.

Vậy vận tốc mới của máy bay sau khi gặp gió thổi khoảng 728,83 km/h.

Bài 8 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, ^BAC=60°. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn AD=712AC.

a) Tính AB.AC.

b) Biểu diễn AM,BD theo AB,AC.

c) Chứng minh AM  BD.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Ta có AB.AC=|AB|.|AC|.cos(AB,AC)

= 2 . 3 . cos 60o = 3.

Vậy AB.AC = 3.

b) Do M là trung điểm của BC nên AM=12AB+12AC.

Ta có BD=ADAB=712ACAB.

c) Ta có AM.BD=(12AB+12AC).(712ACAB)

=724AB.AC12AB2+724AC212AC.AB

=724.312.22+724.3212.3

= 0.

Do đó AM  BD.

Bài viết liên quan

596
  Tải tài liệu