Giải bài tập Toán 10 Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm 

A. Các câu hỏi trong bài

Khởi động trang 27 Toán 10 Tập 2: SEA Games 30 đã đi vào lịch sử của Thể thao Việt Nam. Lần đầu tiên, Việt Nam cùng được huy chương Vàng cả bóng đá nam và bóng đá nữ. Đặc biệt, số bàn thắng trung bình của đội tuyển bóng đã nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu là 3,43.

Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận đấu được tính như thế nào?

Lời giải

Sau bài học này, ta biết được cách tính số bàn thắng trung bình của mỗi trận đấu bằng tổng số bàn thắng của các trận đấu chia cho số trận đấu.

Từ bảng kết quả trên, ta thấy đội tuyển U22 Việt Nam có 7 trận đấu với các Quốc gia khác và tổng số bàn thắng của đội tuyển Việt Nam là: 6 + 6 + 2 + 1 + 2 + 4 + 3 = 24 (bàn thắng).

Vậy số bàn thắng trung bình trong mỗi trận đấu là: $\frac{24}{7}\approx \mathrm{3,43}$.

Hoạt động 1 trang 27 Toán 10 Tập 2: Kết quả đo chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 5 bạn nam tổ I là:

165 172 172 171 170

Tính trung bình cộng của 5 số trên.

Lời giải

Trung bình cộng của 5 số trên là:

$\frac{165+172+172+171+170}{5}=170$ (cm).

Vậy trung bình cộng của 5 số trên là 170 cm.

Luyện tập 1 trang 27 Toán 10 Tập 2: Quan sát Bảng 1 và giải thích tại sao số bàn thắng trung bình của đội tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu là 3,43.

Lời giải

Số bàn thắng trung bình của đội tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu   chính là số trung bình cộng của mẫu số liệu về số bàn thắng của đội tuyển Việt Nam và  là:

$\overline{x}=\frac{6+6+2+1+2+4+3}{7}\approx \mathrm{3,43}$.

Vậy số bàn thắng trung bình của đội tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu là 3,43.

Hoạt động 2 trang 28 Toán 10 Tập 2: Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 9 học sinh như sau:

1 1 3 6 7 8 8 9 10

Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên và nêu nhận xét.

Lời giải

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{x}=\frac{1+1+3+6+7+8+8+9+10}{9}\approx \mathrm{5,9}$.

Quan sát mẫu số liệu trên, ta thấy nhiều số liệu có sự chênh lệch lớn so với số trung bình cộng. Vì vậy, ta không thể lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu mà ta phải chọn số đặc trưng khác thích hợp hơn. Cụ thể, ta chọn số đứng chính giữa mẫu số liệu trên, tức là số 7, làm đại diện cho mẫu số liệu đó.

Luyện tập 2 trang 29 Toán 10 Tập 2: Nhiệt độ buổi tối ở Hà Nội ngày 21/11/2021 lúc 20 giờ, 21 giờ, 22 giờ, 23 giờ lần lượt là 26, 25, 23, 23 (đơn vị: °C). (Nguồn: https://accuweather.com)

Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm ta được:

23    23    25   26.

Mẫu số liệu trên có 4 số. Số thứ hai và số thứ ba lần lượt là 23 và 25.

Vậy M_e = $\frac{23+25}{2}=\frac{48}{2}=24$ (°C).

Hoạt động 3 trang 30 Toán 10 Tập 2: Xét mẫu số liệu được xếp theo thứ tự tăng dần:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.

Lời giải

Mẫu số liệu trên gồm 11 số và được sắp xếp theo thứ tự không giảm nên trung vị là số thứ sáu và là 6.

Vậy M_e = 6.

Luyện tập 3 trang 31 Toán 10 Tập 2: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:

11 48  62  81  93  99  127

Biểu diễn tứ phân vị trên trục số.

Lời giải

Mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

11  48  62  81  93  99  127

Trung vị của mẫu số liệu là: Q₂ = 81.

Trung vị của dãy 11, 48, 62 là: Q₁ = 48.

Trung vị của dãy 93, 99, 127 là: Q₃ = 99.

Vậy Q₁ = 48, Q₂ = 81, Q₃ = 99.

Tứ phân vị đó được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 4 trang 32 Toán 10 Tập 2: Bác Tâm khai trương cửa hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau:

Cỡ áo nào cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên?

Lời giải

Quan sát bảng tần số đã cho, ta thấy cỡ áo 40 bán được 81 cái áo, đây là cỡ áo bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên tại cửa hàng của bác Tâm.

Vậy cỡ áo 40 bán được nhiều nhất.

Luyện tập 4 trang 32 Toán 10 Tập 2: Kết quả thi thử môn Toán của lớp 10A như sau:

5    6    7    5    6    9    10    8    5    5    4    5    4    5    7    4    5    8    9    10

5    4    5    6    5    7     5     8    4    9    5    6    5    6    8    8    7    9    7     9

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

b) Tính tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên. Tỉ lệ đó phản ánh điều gì?

Lời giải

Từ mẫu số liệu đã cho ta lập được bảng tần số như sau:

a) Từ bảng tần số trên ta thấy điểm 5 có tần số lớn nhất (là 13), do đó mốt của mẫu số liệu trên là M₀ = 5.

b) Tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên là:

$\frac{5+5+2}{5+13+5+5+5+5+2}=\frac{12}{40}=\mathrm{0,3}$.

Tỉ lệ trên phản ánh số học sinh đạt điểm từ 8 trở lên, tức là số học sinh đạt điểm giỏi của lớp 10A chiếm 0,3 lần số học sinh cả lớp.

Vậy số học sinh đạt điểm giỏi của lớp 10A là chiếm 30% số học sinh cả lớp.

Hoạt động 5 trang 32, 33 Toán 10 Tập 2: Đọc kĩ các nội dung sau:

Sau khi thu thập, tổ chức, phân loại và biểu diễn số liệu bằng bảng hoặc biểu đồ, ta cần phân tích và xử lí các số liệu đó để xem xét tính hợp lí của số liệu thống kê, đặc biệt chỉ ra được những số liệu bất thường (hay còn gọi là dị biệt, trong tiếng Anh là Outliers). Ta có thể sử dụng các số liệu đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm để thực hiện điều đó.

Lời giải

Ta có thể sử dụng các số liệu đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm để kiểm tra tính hợp lí của số liệu thống kê, từ đó chỉ ra được những số liệu bất thường.

B. Bài tập

Bài 1 trang 33 Toán 10 Tập 2: Chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của các bạn tổ I ở lớp 10A lần lượt là:

165  155  171  167  159  175  165  160 158

Đối với mẫu số liệu trên, hãy tìm: 

a) Số trung bình cộng; 

b) Trung vị; 

c) Mốt; 

d) Tứ phân vị.

Lời giải

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{165 +155 +171 +167 +159 +175 +165 +160 +158}{9}\approx \mathrm{163,9}$.

b) Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

155  158  159  160  165  165  167  171 175

Mẫu có 9 số liệu nên trung vị là số thứ năm, do đó M_e = 165.

c) Số liệu 165 có tần số lớn nhất, do đó mốt của mẫu số liệu là M₀ = 165.

d) Trung vị của mẫu số liệu là M_e = 165 nên Q₂ = 165.

Trung vị của dãy 155, 158, 159, 160 là: Q₁ = $\frac{158+159}{2}=\mathrm{158,5}$.

Trung vị của dãy 165, 167, 171, 175 là: Q₃ = $\frac{167+171}{2}=169$.

Vậy Q₁ = 158,5; Q₂ = 165; Q₃ = 169.

Bài 2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Số đôi giày bán ra trong Quý IV năm 2020 của một cửa hàng được thống kê trong bảng tần số sau:

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

b) Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày nào để bán trong tháng tiếp theo?

Lời giải

a) Từ bảng tần số đã cho, ta thấy cỡ giày 40 bán được nhiều nhất trong quý IV năm 2020 (70 đôi), do đó mốt của mẫu số liệu trên là M₀ = 40.

b) Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày 40 để bán trong tháng tiếp theo.

Bài 3 trang 34 Toán 10 Tập 2: Bảng 2 cho biết nhiệt độ trung bình các tháng trong năm ở Hà Nội.

(Nguồn: Tập bản đồ Địa lí 6, NXB Giáo dục Việt Nam, 2020)

Bảng 2

a) Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là bao nhiêu? 

b) Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là bao nhiêu độ C? Cao nhất là bao nhiêu độ C?

Lời giải

a) Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{16,4}+\mathrm{17,0}+\mathrm{20,2}+\mathrm{23,7}+\mathrm{27,3}+\mathrm{28,8}+\mathrm{28,9}+\mathrm{28,2}+\mathrm{27,2}+\mathrm{24,6}+\mathrm{21,4}+\mathrm{18,2}}{12}\approx \mathrm{23,5}$

b) Quan sát bảng 2, ta thấy:

Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là 16,4 độ C (tháng 1).

Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị cao nhất là 28,9 độ C (tháng 7).

Bài 4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Bảng 3 cho biết tổng diện tích rừng từ năm 2008 đến năm 2019 ở nước ta.

(Nguồn: https://baodantoc.vn)

Bảng 3

a) Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là bao nhiêu? 

b) Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là bao nhiêu triệu héc-ta? Cao nhất là bao nhiêu triệu héc-ta?

c) So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên được bao nhiêu phần trăm? Theo em, tỉ lệ tăng đó là cao hay thấp? 

d) Hãy tìm hiểu số liệu về tổng diện tích rừng của tỉnh em đang sống trong một số năm gần đây.

Lời giải

a) Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là:

$\overline{x}=\frac{\mathrm{13,1}+\mathrm{13,2}+\mathrm{13,4}+\mathrm{13,5}+\mathrm{13,9}+\mathrm{14,0}+\mathrm{13,8}+\mathrm{14,1}+\mathrm{14,4}+\mathrm{14,4}+\mathrm{14,5}+\mathrm{14,6}}{12}\approx \mathrm{13,91}$.

b) Từ năm 2008 đến năm 2019:

- Diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là 13,1 triệu héc-ta (năm 2008).

- Diện tích rừng của năm có giá trị cao nhất là 14,6 triệu héc-ta (năm 2019).

c) So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên:

$\frac{\mathrm{14,6}-\mathrm{13,1}}{\mathrm{13,1}}.100\%\approx \mathrm{11,45}\%$.

Vậy tỉ lệ tăng là 11,45% và tỉ lệ tăng này là thấp.

d) Tìm hiểu số liệu về tổng diện tích rừng của tỉnh em đang sống trong một số năm gần đây.

Chẳng hạn, tại tỉnh Bắc Giang.

Tổng diện tích rừng từ năm 2018 đến năm 2020 ở Bắc Giang: