Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 1: Tọa độ của vectơ

Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 1.

344


Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ 

A. Các câu hỏi trong bài

Mở đầu trang 60 Toán 10 Tập 2Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay, đang theo dõi một máy bay hạ cánh. Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa bởi một đốm sáng, kí hiệu là M. Dựa trên sự thay đổi của tọa độ vectơ OM, trạm kiểm soát có thể xác định được đường bay của máy bay.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Tọa độ của vectơ OM là gì?  

Lời giải

Sau bài học này ta sẽ biết, tọa độ của vectơ OM là tọa độ của điểm M.  

Hoạt động 1 trang 60 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy:

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M tùy ý.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Lời giải

a)

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

+ Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2 nên hoành độ của điểm A là 2.

+ Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 2 nên tung độ của điểm A là 2.

Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.

b)

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hoạt động 2 trang 61 Toán 10 Tập 2Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ vectơ OM.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải

a) Ta vẽ vectơ OM bằng cách nối đoạn thẳng từ điểm O đến điểm M và đánh dấu mũi tên ở M (như hình dưới).

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

b) Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hoạt động 3 trang 61 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u (Hình 7). Hãy xác định điểm A sao cho OA=u.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Lời giải

Để xác định điểm A, ta làm như sau:

+ Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ u.

+ Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ OA,  u cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ u.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Chú ý: Với mỗi vectơ u, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho OA=u.

Luyện tập 1 trang 62 Toán 10 Tập 2Tìm tọa độ của các vectơ c,  d trong Hình 11.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Lời giải

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

+ Tọa độ của các vectơ c:

Từ Hình 11, ta thấy giá của vectơ c song song với trục Ox. Do đó, trên trục Ox ta lấy điểm A sao cho hai vectơ OA,  c cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ c và bằng 3 (đơn vị ô vuông).

Từ đó ta có: c=OA và A(– 3; 0) (do A nằm bên trái điểm O); tọa độ vectơ OAchính là tọa độ điểm A nên c=3;0.

+ Tọa độ của các vectơd:

Từ Hình 11, ta thấy giá của vectơ d song song với trục Oy. Do đó, trên trục Oy ta lấy điểm B sao cho hai vectơ OB,  d cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ d và bằng 2 (đơn vị ô vuông).

Từ đó ta có: d=OB và B(0; 2) (do B nằm phía trên điểm O); tọa độ vectơ OBchính là tọa độ điểm B nên d=0;  2.

Hoạt động 4 trang 63 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u=a;  b. Ta chọn điểm A sao cho OA=u.

Xét vectơ đơn vị i trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị j trên trục tung Oy (Hình 12).

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Biểu diễn vectơ OH qua vectơ i.

c) Biểu diễn vectơ OK qua vectơ j.

d) Chứng tỏ rằng u=ai+bj.

Lời giải

a) Vì OA=u, mà u=a;  b nên tọa độ vectơ OA là (a; b).

Do tọa độ điểm A chính là tọa độ vectơ OA.

Nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.

b) Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên OH=ai.

c) Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên OK=bj.

d) Vì OHAK là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: OA=OH+OK.

Mà OH=aiOK=bj và OA=u.

Vậy u=ai+bj.

Luyện tập 2 trang 63 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(– 1; 0) và vectơ v = (0; – 7).

a) Biểu diễn vectơ v qua hai vectơ i và j.

b) Biểu diễn vectơ OB qua hai vectơ i và j.

Lời giải

a) Ta có: v = (0; – 7) nên v=0.i+7.j=7j.

b) Do điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên OB=1;   0. Do đó: OB=1.i+0.j=i

Hoạt động 5 trang 64 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13).

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

a) Tìm hoành độ xA và tung độ yA của điểm A; hoành độ xB và tung độ yB của điểm B.

b) Tìm điểm M sao cho OM=AB. Từ đó, tìm hoành độ a và tung độ b của vectơ AB.

c) So sánh: xB – xvà a; yB – yA và b.

Lời giải

a) Từ hai điểm A và B, ta dóng vuông góc xuống trục hoành và trục tung. Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

+ Hoành độ của điểm A là xA = 2, tung độ của điểm A là yA = 2.

+ Hoành độ của điểm B là xB = 4, tung độ của điểm B là yB = 3.

b) Để xác định điểm M, ta làm như sau:

+ Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ AB (là đường thẳng AB);

+ Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ AB,  OM cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ AB (bằng độ dài đoạn thẳng AB).

Vậy ta xác định được điểm M thỏa mãn OM=AB như hình vẽ dưới đây:

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Ta cần tìm tọa độ của điểm M.

+ Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2 nên hoành độ của điểm M là xM = 2.

+ Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là yM = 1.

Do đó, M(2; 1).

Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ OM nên OM=2;  1.

Mà OM=AB nên tọa độ của vectơ AB là (2; 1).

Vậy hoành độ của vectơ AB là a = 2 và tung độ của vectơ AB là b = 1.

c) Ta có: xB – xA = 4 – 2 = 2 và a = 2.

Do đó, xB – xA = a.

Ta có: yB – yA = 3 – 2 = 1 và b = 1.

Do đó, yB – yA = b.

Luyện tập 3 trang 64 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm:

A(1; 3), B(5; – 1), C(2; – 2), D(– 2; 2).

Chứng minh AB=DC.

Lời giải

Ta có: AB=51;13. Vậy AB=4;4 (1).

Lại có: DC=22;  22. Vậy DC=4;4 (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AB=DC.

B. Bài tập

Bài 1 trang 65 Toán 10 Tập 2Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua hai vectơ i và j.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Lời giải 

Từ  gốc O ta vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ a,  b,  c,  d.

Trên các đường thẳng vừa vẽ đó, ta lấy lần lượt các điểm A, B, C, D sao cho OA=aOB=bOC=cOD=d.

Từ các điểm A, B, C, D, kẻ dóng vuông góc với các trục Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm trên là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

+ Vì OA=a và A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ OA chính là tọa độ của điểm A nên tọa độ của vectơ a là (– 5; – 3) và a=5.i+3.j=5i3j.  

+ Vì OB=b và B(3; – 4), tọa độ của vectơ OB chính là tọa độ của điểm B nên tọa độ của vectơ blà (3; – 4) và b=3.i+4.j=3i4j.

+ Vì OC=c và C(– 1; 3), tọa độ của vectơ OC chính là tọa độ của điểm C nên tọa độ của vectơ clà (– 1; 3) và c=1.i+3.j=i+3j.

+ Vì OD=d và D(2; 5), tọa độ của vectơ OD chính là tọa độ của điểm D nên tọa độ của vectơ dlà (2; 5) và d=2.i+5.j=2i+5j.

Bài 2 trang 65 Toán 10 Tập 2Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) a=3i;

b) b=j;

c) c=i4j;

d) d=0,5i+6j.

Lời giải 

a) Ta có: a=3i=3.i+0.j.

Vậy tọa độ của vectơ a là (3; 0).

b) Ta có: b=j=0.i+1.j.

Vậy tọa độ của vectơ b là (0; – 1).

c) Ta có: c=i4j=1.i+4.j.

Vậy tọa độ của vectơ c là (1; – 4).

d) Ta có: d=0,5i+6j=0,5.i+6.j.

Vậy tọa độ của vectơ d là 0,5;  6.

Bài 3 trang 65 Toán 10 Tập 2Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) u=2a1;3 và v=3;   4b+1;

b) x=a+b;  2a+3b và y=2a3;  4b.

Lời giải 

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

a) Ta có: u=v2a1=33=4b+1a=2b=1.

Vậy a = 2 và b = – 1.

b) Ta có: x=ya+b=2a32a+3b=4bb=a3   1b=2a     2

Từ (1) và (2) suy ra: a – 3 = – 2a  a + 2a = 3  3a = 3  a = 1.

Thay a = 1 vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.   

Vậy a = 1 và b = – 2.

Bài 4 trang 66 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM=BC.

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng BN=NM.

Lời giải 

a) Ta có: BC=31;11. Do đó BC=4;  2.

Gọi tọa độ điểm M(xM; yM), khi đó ta có AM=xM2;yM3.

AM=BCAM=4;2xM2=4yM3=2xM=6yM=1.  

Vậy tọa độ điểm M là (6; 1).

b) + Gọi tọa độ điểm N(xN; yN).

Ta có: AN=xN2;yN3NC=3xN;1yN.

Do N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên AN=NC (hai vectơ này cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau).

xN2=3xNyN3=1yN2xN=52yN=2xN=52yN=1.

Vậy tọa độ của điểm N là 52;  1.

+ Ta có: BN=521;11, do đó BN=72;  0.

Lại có: NM=652;  11, do đó NM=72;0.

Vậy BN=NM.

Bài 5 trang 66 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).

a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.

b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.

c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy.

Lời giải 

a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó AO=OM.

Gọi tọa độ điểm A(xA; yA).

Ta có: AO=0xA;0yA, do đó AO=xA;yA.

Tọa độ vectơ OM chính là tọa độ điểm M nên OM=1;   3.

Ta có: AO=OM AO=1;  3xA=1yA=3xA=1yA=3.

Vậy tọa độ điểm A là (1; – 3).

b) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và tung độ đối nhau.  

Điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B là hoành độ của điểm M và tung độ của điểm B đối nhau với tung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là (– 1; – 3).

c) Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung thì có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau.  

Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C là tung độ của điểm M và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Ta cũng có thể biểu diễn tọa độ các điểm lên mặt phẳng tọa độ Oxy để xác định.

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ (ảnh 1) 

Bài 6 trang 66 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Lời giải 

+ Gọi tọa độ điểm C(xC; yC), tọa độ điểm D(xD; yD).

Ta có: AI=43;21, do đó AI=7;  1.

 IC=xC4;yC2.

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD, do đó I là trung điểm của AC nên AI=IC

IC=7;  1xC4=7yC2=1xC=11yC=3.

Vậy tọa độ điểm C là (11; 3).

+ Ta có: AB=13;31, do đó AB=2;  2.

Và DC=11xD;  3yD.

Do ABCD là hình bình hành nên AB=DCDC=2;  211xD=23yD=2xD=9yD=1.

Vậy tọa độ điểm D là (9; 1).

Bài 7 trang 66 Toán 10 Tập 2Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Lời giải 

Gọi tọa độ các điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).

Ta có: AP=6xA;2yA,PB=xB6;yB2,BM=1xB;2yB,

MC=xC1;yC2AN=4xA;1yANC=xC4;yc1.

+ M là trung điểm của BC nên BM=MC1xB=xC12yB=yC2xB=2xCyB=4yC(1)

+ N là trung điểm của AC nên AN=NC4xA=xC41yA=yC1xA=8xCyA=2yC(2)

+ P là trung điểm của AB nên AP=PB6xA=xB62yA=yB2xA=12xByA=4yB (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 8xC=12xB2yC=4yBxB=4+xCyB=6+yC (4)

Từ (1) và (4) suy ra: 2xC=4+xC4yC=6+yC2xC=22yC=10xC=1yC=5.

Vậy tọa độ điểm C là (– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (2) ta được: xA=81=9yA=25=3.

Do đó A(9; 3).

Thay tọa độ điểm C vào (1) ta được: xB=21=3yB=45=1.

Do đó B(3; 1).

Vậy A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).

Bài viết liên quan

344