Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 4: Nhị thức Newton
Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 4.
Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton
A. Các câu hỏi trong bài
Khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng?
Lời giải
Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)n với n = 4; n = 5.
Khi đó ta có:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:
Ta đã biết (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3.
a) Tính C03, C13, C23, C33.
b) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển sau:
(a + b)3 = C ? 3 . a3+C ? 3 . a3− ? . b1+C ? 3 . a3− ? . b2+C ? 3 . a3− ? . b3.
Lời giải
a) Ta tính được
C03=1, C13=3, C23=3, C33=1 (có thể sử dụng máy tính cầm tay).
b) Do (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3
Mà theo câu a) ta có: C03=1, C13=3, C23=3, C33=1.
Vậy ta điền được:
(a + b)3 = C 0 3 . a3+C 1 3 . a3− 1 . b1+C 2 3 . a3− 2 . b2+C 3 3 . a3− 3 . b3.
Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)4.
Lời giải
Ta có:
(2 + x)4
= 24 + 4 . 23 . x + 6 . 22 . x2 + 4 . 2 . x3 + x4
= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.
Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)4.
Lời giải
Ta có: (2 – 3y)4
= [2 + (– 3y)]4
= 24 + 4 . 23 . (– 3y) + 6 . 22 . (– 3y)2 + 4 . 2 . (– 3y)3 + (– 3y)4
= 16 – 96y + 216y2 – 216y3 + 81y4.
Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Tính:
a) C04+C14+C24+C34+C44;
b) C05−C15+C25−C35+C45−C55.
Lời giải
Ta có:
a) C04+C14+C24+C34+C44
=C04 . 14 +C14 . 13 . 1+C24.12.12+C34.1.13+C44.14
= (1 + 1)4
= 24
= 16.
b) C05−C15+C25−C35+C45−C55
= C05.15+C15.14.(−1)+C25.13.(−1)2+C35.12.(−1)3+C45.1.(−1)4+C55.(−1)5
= [1 + (– 1)]5
= 05
= 0.
B. Bài tập
Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + 1)4;
b) (3y – 4)4;
c) (x+12)4;
d) (x−13)4.
Lời giải
a) (2x + 1)4
= (2x)4 + 4 . (2x)3 . 1 + 6 . (2x)2 . 12 + 4 . (2x) . 13 + 14
= 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1.
b) (3y – 4)4
= [3y + (– 4)]4
= (3y)4 + 4 . (3y)3 . (– 4) + 6 . (3y)2 . (– 4)2 + 4 . (3y) . (– 4)3 + (– 4)4
= 81y4 – 432y3 + 864y2 – 768y + 256.
c) (x+12)4
=x4+4.x3.12+6.x2.(12)2+4.x.(12)3+(12)4
=x4+2x3+32x2+12x+116.
d) (x−13)4
=[x+(−13)]4
=x4+4.x3.(−13)+6.x2.(−13)2+4.x.(−13)3+(−13)4
=x4−43x3+23x2−427x+181.
Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x + 1)5;
b) (x – 3y)5.
Lời giải
a) (x + 1)5
= x5 + 5 . x4 . 1 + 10 . x3 . 12 + 10 . x2 . 13 + 5 . x . 14 + 15
= x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1.
b) (x – 3y)5
= [x + (– 3y)]5
= x5 + 5 . x4 . (– 3y) + 10 . x3 . (– 3y)2 + 10 . x2 . (– 3y)3 + 5 . x . (– 3y)4 + (– 3y)5
= x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5.
Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Xác định hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5.
Lời giải
Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là C15.(3x)4.2.
Mà C15.(3x)4.2 = 5 . 81x4 . 2 = (5 . 2 . 81)x4 = 810x4.
Vậy hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là 810.
Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho
(1−12x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. Tính:
a) a3;
b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5.
Lời giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:
(1−12x)5=[1+(−12x)]5=15+5.14.(−12x)+10.13.(−12x)2+10.12.(−12x)3+5.1.(−12x)4+(−12x)5
=1−52x+52x2−54x3+516x4−132x5
=1+(−52)x+52x2+(−54)x3+516x4+(−132)x5.
a) Ta có a3 là hệ số của x3 trong khai triển biểu thức (1−12x)5.
Vậy a3=−54.
b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra:
a0=1, a1=−52, a2=52, a3=−54,a4=516, a5=−132.
Khi đó: a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1+(−52)+52+(−54)+516+(−132)=132.
Vậy a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =132.
Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?
Lời giải
Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là Cn5.
Số tập hợp con có 0 phần tử của A là C05.
Số tập hợp con có 1 phần tử của A là C15.
Số tập hợp con có 2 phần tử của A là C25.
Số tập hợp con có 3 phần tử của A là C35.
Số tập hợp con có 4 phần tử của A là C45.
Số tập hợp con có 5 phần tử của A là C55.
Do đó, số tập hợp con của A là:
C05+C15+C25+C35+C45+C55
=C05.15+C15.14.1+C25.13.12+C35.12.13+C45.1.14+C55.15
= (1 + 1)5 = 25 = 32.
Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.