Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 4: Nhị thức Newton
Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 4.
Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton
A. Các câu hỏi trong bài
Khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng?
Lời giải
Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)n với n = 4; n = 5.
Khi đó ta có:
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:
Ta đã biết (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3.
a) Tính .
b) Chọn số thích hợp cho trong khai triển sau:
(a + b)3 = .
Lời giải
a) Ta tính được
(có thể sử dụng máy tính cầm tay).
b) Do (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3
Mà theo câu a) ta có: .
Vậy ta điền được:
(a + b)3 = .
Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)4.
Lời giải
Ta có:
(2 + x)4
= 24 + 4 . 23 . x + 6 . 22 . x2 + 4 . 2 . x3 + x4
= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.
Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)4.
Lời giải
Ta có: (2 – 3y)4
= [2 + (– 3y)]4
= 24 + 4 . 23 . (– 3y) + 6 . 22 . (– 3y)2 + 4 . 2 . (– 3y)3 + (– 3y)4
= 16 – 96y + 216y2 – 216y3 + 81y4.
Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Tính:
a) ;
b) .
Lời giải
Ta có:
a)
= (1 + 1)4
= 24
= 16.
b)
=
= [1 + (– 1)]5
= 05
= 0.
B. Bài tập
Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x + 1)4;
b) (3y – 4)4;
c) ;
d) .
Lời giải
a) (2x + 1)4
= (2x)4 + 4 . (2x)3 . 1 + 6 . (2x)2 . 12 + 4 . (2x) . 13 + 14
= 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1.
b) (3y – 4)4
= [3y + (– 4)]4
= (3y)4 + 4 . (3y)3 . (– 4) + 6 . (3y)2 . (– 4)2 + 4 . (3y) . (– 4)3 + (– 4)4
= 81y4 – 432y3 + 864y2 – 768y + 256.
c)
.
d)
.
Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x + 1)5;
b) (x – 3y)5.
Lời giải
a) (x + 1)5
= x5 + 5 . x4 . 1 + 10 . x3 . 12 + 10 . x2 . 13 + 5 . x . 14 + 15
= x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1.
b) (x – 3y)5
= [x + (– 3y)]5
= x5 + 5 . x4 . (– 3y) + 10 . x3 . (– 3y)2 + 10 . x2 . (– 3y)3 + 5 . x . (– 3y)4 + (– 3y)5
= x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5.
Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Xác định hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5.
Lời giải
Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là .
Mà = 5 . 81x4 . 2 = (5 . 2 . 81)x4 = 810x4.
Vậy hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là 810.
Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho
. Tính:
a) a3;
b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5.
Lời giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:
.
a) Ta có a3 là hệ số của x3 trong khai triển biểu thức .
Vậy .
b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra:
.
Khi đó: a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = .
Vậy a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 .
Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?
Lời giải
Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là .
Số tập hợp con có 0 phần tử của A là .
Số tập hợp con có 1 phần tử của A là .
Số tập hợp con có 2 phần tử của A là .
Số tập hợp con có 3 phần tử của A là .
Số tập hợp con có 4 phần tử của A là .
Số tập hợp con có 5 phần tử của A là .
Do đó, số tập hợp con của A là:
= (1 + 1)5 = 25 = 32.
Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.