Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 4: Nhị thức Newton

Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 4.

393


Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Các câu hỏi trong bài

Khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)4, (a + b)5 một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)n với n = 4; n = 5.

Khi đó ta có:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.

Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:

Ta đã biết (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3.

a) Tính C30,  C31,  C32,  C33.

b) Chọn số thích hợp cho   ?   trong khai triển sau:

(a + b)3  C3  ?    .  a3+C3  ?  .   a3  ?  .  b1+C3  ?  .   a3  ?  .  b2+C3  ?  .  a3  ?  .  b3.

Lời giải

a) Ta tính được

C30=1,  C31=3,  C32=3,  C33=1 (có thể sử dụng máy tính cầm tay).

b) Do (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 1 . a3 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + 1 . b3

Mà theo câu a) ta có: C30=1,  C31=3,  C32=3,  C33=1.  

Vậy ta điền được:

(a + b)3  C3  0    .  a3+C3   1  .   a3  1  .  b1+C3  2  .   a3  2  .  b2+C3  3  .  a3  3  .  b3.

Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2Khai triển biểu thức (2 + x)4.

Lời giải

Ta có:

(2 + x)4 

= 24 + 4 . 23 . x + 6 . 22 . x2 + 4 . 2 . x3 + x4

= 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4.

Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2Khai triển biểu thức (2 − 3y)4.

Lời giải

Ta có: (2 – 3y)4 

= [2 + (– 3y)]4 

= 24 + 4 . 23 . (– 3y) + 6 . 22 . (– 3y)2 + 4 . 2 . (– 3y)3 + (– 3y)4

= 16 – 96y + 216y2 – 216y3 + 81y4.

Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2Tính:

a) C40+C41+C42+C43+C44;

b) C50C51+C52C53+C54C55.

Lời giải

Ta có:

a) C40+C41+C42+C43+C44

=C40.14+C41.13.1+C42.12.12+C43.1.13+C44.14

= (1 + 1)4 

= 24 

= 16.

b) C50C51+C52C53+C54C55

C50.15+C51.14.1+C52.13.12+C53.12.13+C54.1.14+C55.15

= [1 + (– 1)]5 

= 05

= 0.

B. Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)4;

b) (3y – 4)4;

c) x+124;

d) x134.

Lời giải

a) (2x + 1)4 

= (2x)4 + 4 . (2x)3 . 1 + 6 . (2x)2 . 12 + 4 . (2x) . 13 + 14 

= 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1.  

b) (3y – 4)4 

= [3y + (– 4)]4 

= (3y)4 + 4 . (3y)3 . (– 4) + 6 . (3y)2 . (– 4)2 + 4 . (3y) . (– 4)3 + (– 4)4 

= 81y4 – 432y3 + 864y2 – 768y + 256.

c) x+124

=x4+4.x3.12+6.x2.122+4.x.123+124

=x4+2x3+32x2+12x+116.

d) x134

=x+134

=x4+4.x3.13+6.x2.132+4.x.133+134

=x443x3+23x2427x+181.

Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)5;

b) (x – 3y)5.

Lời giải

a) (x + 1)5

= x5 + 5 . x4 . 1 + 10 . x3 . 12 + 10 . x2 . 13 + 5 . x . 14 + 15

= x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1.

b) (x – 3y)5 

= [x + (– 3y)]5

= x5 + 5 . x4 . (– 3y) + 10 . x3 . (– 3y)2 + 10 . x2 . (– 3y)3 + 5 . x . (– 3y)4 + (– 3y)5

= x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5.

Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2Xác định hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5.

Lời giải

Số hạng chứa x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là C51.3x4.2.

Mà C51.3x4.2 = 5 . 81x4 . 2 = (5 . 2 . 81)x4 = 810x4.

Vậy hệ số của x4 trong khai triển biểu thức (3x + 2)5 là 810.  

Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2Cho

112x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. Tính:

a) a3;

b) a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5.

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

112x5=1+12x5=15+5.14.12x+10.13.12x2+10.12.12x3+5.1.12x4+12x5

=152x+52x254x3+516x4132x5

=1+52x+52x2+54x3+516x4+132x5.

a) Ta có a3 là hệ số của x3 trong khai triển biểu thức 112x5.

Vậy a3=54.

b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra:

a0=1,  a1=52,a2=52,a3=54,a4=516,  a5=132.

Khi đó: a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1+52+52+54+516+132=132.

Vậy a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =132.

Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là C5n.

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là C50.

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là C51.

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là C52.

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là C53.

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là C54.

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là C55.

Do đó, số tập hợp con của A là:

C50+C51+C52+C53+C54+C55

=C50.15+C51.14.1+C52.13.12+C53.12.13+C54.1.14+C55.15

= (1 + 1)5 = 25 = 32.

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.

Bài viết liên quan

393