Giải Toán 10 (Cánh diều) Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Hoidap.vietjack.com trân trọng giới thiệu: lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài 5. Mời các bạn đón xem:

638
  Tải tài liệu

Giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi v1,  v2 lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc v1,  v2 là như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta thấy hai vectơ v1,  v2 là hai vectơ cùng phương nên v1=kv2 với k ≠ 0.

Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Chứng tỏ rằng AC=AB+AB.

Lời giải:

Do B là trung điểm của AC nên BC=AB.

Do đó AB+BC=AB+AB hay AC=AB+AB.

Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Quan sát vectơ AB và AC, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ 2AB với AB.

Lời giải:

Từ Hoạt động khám phá 1, ta có: AC= AB+AB

Mặt khác: AB+AB=2AB nên AC= 2AB.

Do đó vectơ AC cùng hướng với vectơ 2AB|AC|=|2 AB|.

Quan sát trên Hình 59, ta cũng thấy vectơ AC cùng hướng với vectơ AB và độ dài vectơ AC bằng 2 lần độ dài vectơ AB. Do đó vectơ 2AB cùng hướng với AB và |2AB|=2|AB|.

Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: AG=aAM;  GN=bGB.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG = 23AM; GN = 12GB.

Vì AM là đường trung tuyến nên G thuộc đoạn AM

Do AG và AM là hai vectơ cùng hướng nên AG=23AM.

Vì BN là đường trung tuyến nên G thuộc đoạn BN.

Do GN và GB là hai vectơ cùng hướng nên GN=12GB.

Vậy a = 23; b = 12.

Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh 3(AB+2BC)2(AB+3BC)=AB.

Lời giải:

3(AB+2BC)2(AB+3BC)

=3AB+6BC2AB6BC

=3AB2AB+6BC6BC

=AB

Vậy 3(AB+2BC)2(AB+3BC)=AB.

Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA+MB=2MI.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Ta có MA=MI+IAMB=MI+IB.

Do đó MA+MB=MI+IA+MI+IB=2MI+IA+IB.

Do I là trung điểm của AB nên IA=IB.

Do đó 2MI+IA+IB=2MIIB+IB=2MI.

Vậy MA+MB=2MI.

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA+MB+MC=3MG.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Do D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD.

Do E là trung điểm của AC nên BA+BC=2BE.

Do F là trung điểm của AB nên CA+CB=2CF.

Do đó AB+AC+BA+BC+CA+CB=2AD+2BE+2CF.

AB+BA+AC+CA+BC+CB=2AD+2BE+2CF.

2AD+2BE+2CF=0

AD+BE+CF=0

(AD+BE+CF)=0

ADBECF=0

DA+EB+FC=0

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

GA=23DAGB=23EBGC=23FC.

Do đó GA+GB+GC=23(DA+EB+FC)=0.

Ta có MA+MB+MC=MG+GA+MG+GB+MG+GC

=3MG+(GA+GB+GC)

=3MG

Vậy MA+MB+MC=3MG.

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh AB+AC=3AG.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi D là trung điểm của BC.

Do D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG=23AD hay AD=32AG.

Do đó AB+AC=2AD=2.32AG=3AG.

Vậy AB+AC=3AG.

Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ a và b khác 0 sao cho a=kb với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ a và b.

Lời giải:

Ta có a=kb với k là số thực khác 0. Khi đó hai vectơ a và b cùng phương.

Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB,  AC có cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ AB,  AC cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Lời giải:

a) Giá của vectơ AB là đường thẳng AB, giá của vectơ AC là đường thẳng AC.

Do A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB trùng với đường thẳng AC.

Do đó hai vectơ AB,  AC cùng phương.

b) Giá của vectơ AB là đường thẳng AB, giá của vectơ AC là đường thẳng AC.

Hai vectơ AB,  AC cùng phương nên giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Mà AB và AC có điểm chung là A nên AB trùng AC.

Do đó A, B, C thẳng hàng.

Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) AC=kAD,

b) BD=kDC.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

a) Hai vectơ AC và AD là hai vectơ cùng hướng và AC = 34AD nên AC=34AD.

Vậy k = 34.

b)  Hai vectơ BD và DC là hai vectơ ngược hướng và BD = 3DC nên BD=3DC.

Vậy k = -3.

Bài tập

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. MN=2PQ;

B. MQ=2NP;

C. MN=2PQ;

D. MQ=2NP.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Ta thấy hai vectơ MN và PQ là hai vectơ ngược hướng và MN = 2PQ nên MN=2PQ.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn AC=12AB.

b) Xác định điểm D thỏa mãn AD=12AB.

Lời giải:

a) Ta thấy 12 > 0 nên hai vectơ AC và AB cùng hướng.

Khi đó |AC|=12|AB| hay AC = 12AB và A, B, C thẳng hàng.

Do đó C là trung điểm của AB.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

b) Ta thấy 12<0 nên hai vectơ AD và AB ngược hướng.

Khi đó |AD|=|12||AB| hay AD = 12AB và A, B, D thẳng hàng.

Do đó D nằm khác phía với B so với điểm A sao cho AD = 12AB.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) AP+12BC=AN;

b) BC+2MP=BA.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó PN // BC và PN = 12BC.

Ta thấy hai vectơ PN và BC cùng hướng và PN = 12BC nên PN=12BC.

Do đó AP+12BC=AP+PN=AN.

Vậy AP+12BC=AN.

b) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; M là trung điểm của BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MP // CA và MP = 12CA.

Ta thấy hai vectơ MP và CA cùng hướng và MP = 12CA nên MP=12CA hay CA=2MP.

Do đó BC+2MP=BC+CA=BA.

Vậy BC+2MP=BA.

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử AB=aAC=b. Biểu diễn các vectơ BC,BD,BE,AD,AEtheo a,  b.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Lời giải:

Ta có BC=ACAB=ba;

Do BD = DE = EC và BD + DE + EC = BC nên BD = DE = EC = 13BC.

Hai vectơ BD và BC cùng hướng và BD = 13BC nên BD=13BC=13(ba)=ba3.

Hai vectơ BE và BD cùng hướng và BE = 2BD nên BE=2BD=23(ba)=2b2a3.

Có AB+BD=AD nên AD=a+ba3=3a+ba3=2a+b3.

Có AB+BE=AE nên AE=a+2b2a3=3a+2b2a3=a+2b3.

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) EA+EB+EC+ED=4EG;

b) EA=4EG;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và AG=34AE.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do M là trung điểm của AB nên GA+GB=2GM (1).

Do N là trung điểm của CD nên GC+GD=2GN (2).

Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.

Ta thấy hai vectơ GM và GN ngược hướng và GM = GN nên GM=GN.

Do đó GM+GN=GN+GN=0.

Từ (1) và (2) ta có GA+GB+GC+GD=2GM+2GN=2(GM+GN)=0.

Ta có

EA+EB+EC+ED=EG+GA+EG+GB+EG+GC+EG+GD

=4EG+(GA+GB+GC+GD)

=4EG

Vậy EA+EB+EC+ED=4EG.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên EB+EC+ED=0.

Do đó EA=4EG.

c) Do EA=4EG nên hai vectơ EA và EG cùng hướng.

Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.

Do đó |EA|=4|EG| hay EA = 4EG.

 EG = 14EA

 AG = 34EA.

Ta thấy hai vectơ AG và AE cùng hướng và AG = 34EA nên AG=34AE.

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1Cho hình bình hành ABCD. Đặt AB=a,  AD=b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ AG,  CG theo hai vectơ a,  b.

Lời giải:

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Do ABCD là hình bình hành nên AD=BC=b.

Do M là trung điểm của BC nên BM = 12BC.

Hai vectơ BM và BC cùng hướng và BM = 12BC nên BM=12BC=b2.

Do N là trung điểm của AB nên NB = 12AB.

Hai vectơ BN và AB ngược hướng và NB = 12AB nên BN=12AB=a2.

Ta có AM=AB+BM=a+b2CN=CB+BN=ba2.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG=23AM và CG=23CN.

Do đó AG=23(a+b2)=23a+13b và CG=23(ba2)=23b13a.

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn 

DB=13BC,AE=13AC,AH=23AB.

a) Biểu thị mỗi vectơ AD,  DH,  HE theo hai vectơ AB,  AC.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì DB=13BC nên DB và BC cùng hướng và DB=13BC.

AE=13AC nên AE,   AC cùng hướng và AE = 13AC.

AH=23AB nên AH,  AB cùng hướng và AH=23AB.

Giải Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ - Cánh diều (ảnh 1)

a) Do DB=13BC nên BD=13BC=13(BA+AC)=13(AB+AC)=AB3AC3.

Ta có: AD=AB+BD=AB+AB3AC3=43AB13AC.

DH=DB+BH=13BC+13BA=13(BA+AC)+13BA

=23BA+13AC=23AB+13AC.

HE=AEAH=13AC23AB=23AB+13AC.

b) Từ phần a ta thấy DH=HE=23AB+13AC.

Do đó D, H, E thẳng hàng và H là trung điểm của DE.

Bài viết liên quan

638
  Tải tài liệu