Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

Khởi động trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Mũi tên xuất phát từ A đến B trong Hình 34 mô tả chuyển động (có hướng) của một máy bay trên đường băng.

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là gì?

Lời giải:

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là một vectơ.

Hoạt động 1 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Trong công viên, để chỉ dẫn hướng đi và khoảng cách từ công đến khu vui chơi của trẻ em, người ta vẽ đoạn thẳng có mũi tên như Hình 35. Hình ảnh về mũi tên chỉ dẫn cho ta biết những thông tin gì?

Lời giải:

Trên Hình 35, ta có:

- Hướng quy định trên đoạn thẳng AB là hướng xuất phát từ điểm đầu A đến điểm cuối B;

- Đoạn thẳng AB có độ dài bằng 200 m.

Luyện tập 1 trang 80 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Viết tất cả các vectơ mà điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C.

Lời giải:

Ta có các vectơ thỏa mãn yêu cầu là:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}$.

Hoạt động 2 trang 80 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát Hình 40 và cho biết vị trí tương đối giữa giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ với giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{PQ}$.  

Lời giải:

Trong hình trên:

- Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng m.

- Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng n.

- Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là đường thẳng n.

Do m // n nên giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$.

Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$.

Hoạt động 3 trang 80 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát hai biển báo ở Hình 41a, Hình 41b, cho biết hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng hướng hay không.

Lời giải:

Trong Hình 41, ta thấy

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có giá trùng nhau nên hai vecto $\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}$ cùng phương

Vecto $\overrightarrow{AB}$hướng đi về bên phải;

Vecto $\overrightarrow{CD}$ hướng đi về bên trái.

Do đó hai vecto cùng phương $\overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}$ không cùng hướng

Hoạt động 4 trang 80 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ ở Hình 43.

a) Nhận xét về phương, về hướng của hai vectơ đó.

b) So sánh độ dài của hai vectơ đó.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 43, ta thấy: 

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có giá là đường thẳng AB;

Vectơ $\overrightarrow{CD}$ có giá là đường thẳng CD;

Mà AB // CD nên hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ có cùng phương 

Ta lại có: 

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có hướng từ trái sang phải;

Vectơ $\overrightarrow{CD}$ có hướng từ trái sang phải;

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ cùng phương và cùng hướng.

b) Quan sát Hình 43, ta thấy: 

Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài 5 ô;

Vectơ $\overrightarrow{CD}$ có độ dài 5 ô;

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài.

Luyện tập 2 trang 81 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

Thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Thực hiện vẽ tam giác ABC bất kì.

Bước 2. Do $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên vectơ $\overrightarrow{AD}$ cùng phương và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$.

Do đó D và C cùng nằm ở 1 nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB.

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia AB chứa điểm C, vẽ đường thẳng d song song với BC.

Bước 3. Trên đường thẳng d chọn điểm D sao cho AD = BC.

Bước 4. Kí hiệu vectơ $\overrightarrow{AD}$ và vectơ $\overrightarrow{BC}$ trên hình ta được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Tứ giác ABCD có AD // BC và AD = BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài tập

Bài 1 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Viết các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng trong những vectơ sau: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$.

Lời giải:

Do B nằm giữa A và C nên B và C cùng nằm ở một phía so với điểm A.

Khi đó các cặp vectơ cùng hướng là:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$.

Các cặp vectơ ngược hướng là:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CA}$;

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}$.

Bài 2 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng MN có trung điểm là I.

a) Viết các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong ba điểm M, N, I.

b) Vectơ nào bằng $\overrightarrow{MI}$? và $\overrightarrow{NI}$?

Lời giải:

a) Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong ba điểm M, N, I là:

$\overrightarrow{MI};\overrightarrow{MN};\overrightarrow{IM};\overrightarrow{IN};\overrightarrow{NM};\overrightarrow{NI}$.

b) Ta thấy I là trung điểm của MN nên MI = NI.

Ta thấy $\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{IN}$ là hai vectơ cùng hướng và MI = NI nên $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{IN}$.

$\overrightarrow{NI}$ và $\overrightarrow{IM}$ là hai vectơ cùng hướng và MI = NI nên $\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{IM}$.

Vậy $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{IN}$ và $\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{IM}$

Bài 3 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Trong các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong bốn điểm A, B, C, D, tìm vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD nên AB // CD.

Khi đó vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ $\overrightarrow{BA}$ và vectơ $\overrightarrow{C\text{D}}$.

Bài 4 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3 cm. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Ta có: $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = AB = 3 cm;

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B ta có:

$\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$ cm.

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ = 3 cm; $\left|\overrightarrow{AC}\right|=3\sqrt{2}$ cm.

Bài 5 trang 82 Toán lớp 10 Tập 1: Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ (Hình 47).

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương.

b) Trong các cặp vectơ đó, cho biết chúng cùng hướng hay ngược hướng.

Lời giải:

a) Dựa vào Hình 47 ta thấy các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$; $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$.

b) Quan sát Hình 47 ta thấy:

Cặp vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ là cặp vectơ ngược hướng.

Cặp vectơ $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ là cặp vectơ ngược hướng.

Cặp vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ là cặp vectơ cùng hướng.