Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tổ hợp 

A. Các câu hỏi trong bài

Khởi động trang 15 Toán 10 Tập 2: Trong một giải bóng bàn đôi nam, mỗi đội 8 người chọn 2 vận động viên để tạo thành một cặp đấu.

Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết được, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử.

Hoạt động 1 trang 15 Toán 10 Tập 2: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam.

a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.

b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?

Lời giải

a) Ta có thể chọn cặp đấu như sau:

Cách 1: Chọn 2 bạn Mạnh, Phong.

Cách 2: Chọn 2 bạn Phong, Cường.

Cách 3: Chọn 2 bạn Cường, Tiến.

Ngoài 3 cách chọn cặp đấu như trên, ta còn nhiều cách chọn khác, miễn là chọn ra 2 bạn bất kì trong 4 bạn của đội.

b) Mỗi cặp đấu gồm 2 bạn trong 4 bạn của đội tuyển, vậy nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Luyện tập 1 trang 15 Toán 10 Tập 2: Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.

Lời giải

Mỗi tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là một tập con gồm 2 phần tử của tập A = {a; b; c}.

Vậy các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là các tập: {a; b}, {a; c}, {b; c}.

Hoạt động 2 trang 15 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}.

a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

c) So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

Lời giải

a) Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là trích ra một tập con gồm 3 phần tử lấy ra từ 5 phần tử trong A.

b) Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử trong A và xếp thứ tự 3 phần tử đó.

c) Việc lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và xếp thứ tự, còn cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và không xếp thứ tự.

Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.   

Luyện tập 2 trang 17 Toán 10 Tập 2: Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?

Lời giải

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam để tham gia trò chơi là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

Vậy số cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là $C_{10}^3$ = 120 (cách).

Hoạt động 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Ta có thể tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay như sau: Nút tổ hợp: $\boxed{nCr}$.

Lời giải

Ta bấm máy tính cầm tay theo hướng dẫn ở trên.

Luyện tập 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) $C_{25}^{13}$;

b) $C_{30}^{15}$.

Lời giải

a) Để tính $C_{25}^{13}$, ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím sau:

$\boxed{25}\boxed{SHIFT}\boxed{nCr}\boxed{13}\boxed{=}$

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 5 200 300.

Vậy $C_{25}^{13}=5200300$.

b) Để tính $C_{30}^{15}$, ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím sau:

$\boxed{30}\boxed{SHIFT}\boxed{nCr}\boxed{15}\boxed{=}$

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 155 117 520.

Vậy $C_{30}^{15}=155117520$.

Hoạt động 4 trang 17 Toán 10 Tập 2: So sánh:

a) $C_6^2$ và $C_6^4$;

b) $C_4^2+C_4^3$ và $C_5^3$.

Lời giải

a) Ta có: $C_6^2=\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}=\frac{6!}{2!.4!}=15$;

Và $C_6^4=\frac{6!}{4!\left(6-4\right)!}=\frac{6!}{4!.2!}=15$.

Vậy $C_6^2=C_6^4$.

b) Ta có: $C_4^2+C_4^3=\frac{4!}{2!\left(4-2\right)!}+\frac{4!}{3!\left(4-3\right)!}$$=\frac{4!}{2!.2!}+\frac{4!}{3!.1!}$ = 6 + 4 = 10;

$C_5^3=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!.2!}$$=\frac{\mathrm{5.4.3.2.1}}{\mathrm{3.2.1.2.1}}=10$.

Vậy $C_4^2+C_4^3$ = $C_5^3$.

B. Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán 10 Tập 2: Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?

Lời giải

Vì trong 8 điểm đã cho, không có 3 điểm nào thẳng hành nên ta chọn 3 điểm trong 8 điểm đã cho ta được 3 đỉnh của 1 tam giác.

Mỗi cách chọn 3 điểm trong 8 điểm là một tổ hợp chập 3 của 8 điểm nên ta có $C_8^3=56$ tam giác.

Vậy có 56 tam giác thỏa mãn.

Bài 2 trang 17 Toán 10 Tập 2: Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần? 

Lời giải

Để 2 đội chỉ gặp nhau đúng một lần, ta chọn 2 đội bất kì trong 10 đội để xếp đấu với nhau.

Mỗi cách chọn 2 đội để đấu với nhau trong 10 đội tham gia giải bóng đá là một tổ hợp chập 2 của 10, vậy có $C_{10}^2=45$ cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.

Bài 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?

Lời giải

Lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ, có 2 trường hợp xảy ra, một là 3 học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ, hai là 3 học sinh được chọn gồm 2 nam và một nữ.

- Trường hợp 1, chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ:

+ Chọn 1 nam trong 18 bạn nam có 18 cách chọn.

+ Chọn 2 nữ trong 16 bạn nữ, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 16, do đó có $C_{16}^2=120$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 18 . 120 = 2 160 cách chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ.

- Trường hợp 2, chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ:

+ Chọn 2 nam trong 18 bạn nam, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 18, do đó có $C_{18}^2=153$ cách chọn.

+ Chọn 1 nữ trong 16 bạn nữ có 16 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 153 . 16 = 2 448 cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 2 160 + 2 448 = 4 608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.

Bài 4 trang 17 Toán 10 Tập 2: Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?

Lời giải

Tổng số bông hoa gồm 2 loại hồng và cúc của quán là: 50 + 60 = 110 (bông).

Giả sử A là tập hợp gồm các phần tử là 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa ở trên, B là tập hợp gồm các phần tử là 5 bông hoa hồng trong 50 bông hoa hồng và C là tập hợp các phần tử gồm 5 bông hoa cúc trong 60 bông hoa cúc.

Ta có, B và C là tập con của tập A. Tập B ∪ C là tập hợp tất cả các cách chọn 5 bông hoa gồm toàn hoa hồng hoặc toàn hoa cúc. Vậy số cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa hồng và hoa cúc chính là số phần tử của tập C_A(B ∪ C) chính là phần bù của B ∪ C trong A.

Ta có: n(C_A(B ∪ C)) = n(A) – n(B ∪ C) = n(A) – [n(B) + n(C) = n(A) – n(B) – n(C) (do B và C rời nhau).

Số cách chọn 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa là $C_{110}^5$ (cách chọn) hay n(A) = $C_{110}^5$.

Số cách chọn 5 bông hoa hồng trong 50 bông hồng là $C_{50}^5$ (cách chọn) hay n(B) = $C_{50}^5$.

Số cách chọn 5 bông hoa cúc trong 60 bông cúc là $C_{60}^5$ (cách chọn) hay n(C) = $C_{60}^5$.

Vậy có $C_{110}^5-C_{50}^5-C_{60}^5$ = 114 811 250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.

Bài 5 trang 17 Toán 10 Tập 2: Tính tổng $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$.

Lời giải

Cách 1: Ta có: $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$

$=C_{16-1}^{13-1}+C_{16-1}^{13}+C_{16}^{14}$ $=C_{16}^{13}+C_{16}^{14}$

$=\frac{16!}{13!\left(16-13\right)!}+\frac{16!}{14!\left(16-14\right)!}$

$=\frac{\mathrm{16.15.14}}{\mathrm{3.2.1}}+\frac{16.15}{2.1}$

$=\mathrm{8.5.14}+8.15=560+120=680$.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

$C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$ = 455 + 105 + 120 = 680.