Với $\displaystyle a, b, c > 0$ và $\displaystyle a+b+c=2022$, ta có biểu thức:
$\displaystyle P = \frac{ab}{c+2022} + \frac{bc}{a+2022} + \frac{ca}{b+2022}$
$\displaystyle P = \frac{ab}{(c+a)+(c+b)} + \frac{bc}{(a+b)+(a+c)} + \frac{ca}{(b+a)+(b+c)}$
Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle \frac{1}{x+y} \le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ cho mỗi số hạng:
$\displaystyle P \le \frac{ab}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right) + \frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right) + \frac{ca}{4}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)$
$\displaystyle P \le \frac{1}{4}\left[ \left(\frac{ab}{c+a} + \frac{bc}{a+c}\right) + \left(\frac{ab}{c+b} + \frac{ca}{b+c}\right) + \left(\frac{bc}{a+b} + \frac{ca}{b+a}\right) \right]$
$\displaystyle P \le \frac{1}{4}\left[ \frac{b(a+c)}{a+c} + \frac{a(b+c)}{b+c} + \frac{c(a+b)}{a+b} \right]$
$\displaystyle P \le \frac{a+b+c}{4}$
Thay $\displaystyle a+b+c=2022$ vào, ta có:
$\displaystyle P \le \frac{2022}{4} = \frac{1011}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của $\displaystyle P$ là $\displaystyle \frac{1011}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi:
$\displaystyle \begin{cases} c+a = c+b \\ a+b = a+c \\ b+a = b+c \end{cases} \Rightarrow a=b=c$
Kết hợp với đk $\displaystyle a+b+c=2022$, ta được $\displaystyle a=b=c=\frac{2022}{3}=674$.