Phân tích bài toán:

Ta có tứ giác ABCD.

E là trung điểm của BC.
CADG là hình bình hành, nên CA =GD và CG =AD .
CABH là hình bình hành, nên CA =HB và CB =HA .
a) Chứng minh BD//GH

Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta có thể chứng minh các vectơ tương ứng song song, tức là BD cùng phương với GH . Ta sẽ biểu diễn hai vectơ này theo các vectơ gốc.

Vectơ BD : BD =AD −AB
Vectơ GH : GH =GA +AH
Bây giờ ta sẽ tìm mối liên hệ giữa các vectơ trong biểu thức trên.

Từ hình bình hành CADG, ta có GA =CD .
Từ hình bình hành CABH, ta có AH =CB .
Thay vào biểu thức của GH : GH =CD +CB

Ta cần chứng minh BD =k⋅GH với k là một hằng số. AD −AB =k⋅(CD +CB )

Điều này có vẻ không trực tiếp. Ta thử một cách khác, biểu diễn GH qua các vectơ khác: GH =GD +DH

Ta biết GD =CA . Vậy GH =CA +DH . Lại có BD =BA +AD .

Hãy sử dụng phép cộng vectơ. GH =GA +AH Ta biết AH =CB (vì CABH là hình bình hành). Và GA =CD (vì CADG là hình bình hành). Do đó, GH =CD +CB .

Bây giờ ta biểu diễn BD theo các vectơ tương tự. BD =BC +CD .

So sánh hai kết quả: GH =CD +CB BD =CD +BC Ta thấy CB =−BC . Vậy GH =CD −BC .

Vẫn chưa ra mối liên hệ trực tiếp. Có lẽ ta nên biểu diễn các vectơ qua một điểm gốc chung, chẳng hạn điểm A. BD =AD −AB GH =AH −AG

Từ hình bình hành CABH, ta có AH =CB .
Từ hình bình hành CADG, ta có AG =AC +CG =AC +AD .
Thay vào biểu thức của GH : GH =CB −(AC +AD ) GH =(AB −AC )−AC −AD GH =AB −2AC −AD

Vẫn không thấy mối liên hệ rõ ràng. Ta thử cách khác, sử dụng phép trừ vectơ một cách khéo léo. Ta có GH =GA +AH . Từ hình bình hành CABH, ta có CA =BH . Suy ra AH =CB . Từ hình bình hành CADG, ta có CA =GD . Suy ra GA =CD . Vậy GH =CD +CB .

Ta có BD =BA +AD =−AB +AD . Lại có AD =CG và AB =CH . BD =−CH +CG =HC +CG =HG .

Vậy BD =HG . Điều này chứng tỏ BD và HG cùng phương và cùng độ dài. Hay BD =−GH . Do đó, BD và GH song song.

Kết luận: BD//GH.

b) Chứng minh HD=2EF

Để chứng minh HD=2EF, ta có thể chứng minh HD =2EF (hoặc HD cùng phương và có độ dài gấp đôi EF ).

Ta sẽ biểu diễn các vectơ HD và EF qua các vectơ gốc.

Vectơ HD : HD =AD −AH Từ hình bình hành CABH, ta có AH =CB . Vậy HD =AD −CB .
Vectơ EF : Ta cần xác định điểm F. Đề bài có vẻ thiếu thông tin về điểm F. Tôi sẽ giả sử điểm F là điểm đặc biệt nào đó. Nếu F là điểm bất kỳ, ta không thể chứng minh được điều này. Có vẻ như có một lỗi chính tả trong đề bài, có thể F là một điểm nào đó liên quan đến các đỉnh khác. Tuy nhiên, tôi sẽ giải quyết bài toán với giả định rằng đề bài có thể có lỗi.

Nếu đề bài là HD=2EF thì phải có một điểm F xác định. Nếu F là trung điểm của AD, thì EF sẽ là đường trung bình trong một tam giác nào đó.

Giả định lại đề bài: Có lẽ O là đỉnh thứ tư của hình bình hành CADB và H là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABD. Điều này sẽ làm cho bài toán trở nên dễ giải hơn. Nhưng đề bài lại là CADG và CABH.

Tôi sẽ thử lại với đề bài gốc, có lẽ có một điểm F mà tôi chưa nhận ra. E là trung điểm của BC. O là đỉnh thứ tư của hình bình hành CADG. H là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABH. F không được định nghĩa.

Nếu ta xem xét lại đề bài, có thể F là trung điểm của AG?

Từ CADG là hình bình hành, ta có A,D,G nằm trong một mặt phẳng. F là trung điểm AG. EF =AF −AE =21​AG −21​(AB +AC )
Ta có AG =AD +DG =AD +CA . EF =21​(AD +CA )−21​(AB +AC ) EF =21​(AD +CA −AB −AC )=21​(AD +CA −AB +CA )

Điều này có vẻ không đi đến đâu. Có lẽ đề bài có lỗi. Tôi sẽ giả sử rằng đề bài có thể là: chứng minh HD=2AE.

Giả sử chứng minh HD=2AE.

HD =AD −AH =AD −CB .
AE =21​(AB +AC ).
HD =AD −CB =AD −(AB −AC ). HD =AD −AB +AC .

Ta thấy không có mối liên hệ trực tiếp giữa HD và AE .

Trở lại với đề bài gốc và giả định F là một điểm nào đó. Tôi xin lỗi, vì đề bài không định nghĩa điểm F, tôi không thể giải được phần b) một cách chính xác. Có thể đề bài có lỗi hoặc tôi đã bỏ sót một thông tin quan trọng nào đó.

Tuy nhiên, nếu ta giả sử F là một điểm bất kỳ, ta sẽ không thể chứng minh được mối quan hệ này. Do đó, chắc chắn F phải có một vị trí đặc biệt.

Có một khả năng khác: E là trung điểm của BC, F là trung điểm của AD. Đây là một giả định hợp lý vì E và F thường được dùng để chỉ trung điểm.

Nếu F là trung điểm của AD, ta sẽ chứng minh lại.

HD =AD −AH =AD −CB .
EF =AF −AE =21​AD −21​(AB +AC ). EF =21​AD −21​(AC +CB +AC )=21​AD −21​(2AC +CB ) EF =21​AD −AC −21​CB .
Ta thấy HD và EF vẫn không có mối liên hệ trực tiếp.

Có lẽ F là trung điểm của AG? EF =AF −AE =21​AG −21​(AB +AC ) AG =AD +DG =AD +CA . EF =21​(AD +CA )−21​(AB +AC ) EF =21​(AD −AB +CA −AC )=21​(AD −AB −AC +AC ) EF =21​(AD −AB ).

Vẫn không có mối liên hệ với HD .

Kết luận: Phần b) của đề bài có thể bị sai hoặc thiếu thông tin về điểm F.

Nếu ta giả định rằng đề bài đúng và có một cách giải, thì điểm F phải có một vị trí đặc biệt.

Có thể F là một điểm nào đó tạo thành một hình bình hành khác? Nếu E,F là trung điểm của BC,AD. EF =21​(AB +DC ) HD =AD −AH =AD −CB =AD −(AB +BC ).

Tôi xin phép không giải phần b) vì thiếu thông tin. Tôi sẽ chỉ cung cấp câu trả lời cho phần a) và gợi ý về lỗi đề bài ở phần b).

Tóm tắt lại phần a):

Ta có GH =GA +AH .
Vì CADG là hình bình hành, GA =CD .
Vì CABH là hình bình hành, AH =CB .
Vậy GH =CD +CB .
Ta có BD =BC +CD =CD +BC .
Ta thấy GH =CD −BC .
Và BD =CD +BC .
Có vẻ như có một lỗi ở phép biến đổi vectơ. GH =GA +AH GA =CD (sai) CADG là hình bình hành ⟹CA =DG và CD =AG . Vậy GH =AG −AH =CD −CB . BD =AD −AB . GH =AH −AG =CB −CD . BD =AD −AB .

Ta có CB =CA +AB . CD =CA +AD .

GH =(CA +AB )−(CA +AD )=AB −AD . GH =−(AD −AB )=−BD .

Vậy GH =−BD . Điều này chứng tỏ GH và BD cùng phương, do đó GH//BD.

Kết luận cuối cùng: a) BD//GH b) Đề bài thiếu thông tin về điểm F.