Với $\displaystyle a, b, c > 0$ và $\displaystyle a+b+c=2022$, ta có biểu thức:
$\displaystyle P = \frac{ab}{c+2022} + \frac{bc}{a+2022} + \frac{ca}{b+2022}$
$\displaystyle P = \frac{ab}{(c+a)+(c+b)} + \frac{bc}{(a+b)+(a+c)} + \frac{ca}{(b+a)+(b+c)}$
Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle \frac{1}{x+y} \le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ cho mỗi số hạng:
$\displaystyle P \le \frac{ab}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right) + \frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right) + \frac{ca}{4}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)$
$\displaystyle P \le \frac{1}{4}\left[ \left(\frac{ab}{c+a} + \frac{bc}{a+c}\right) + \left(\frac{ab}{c+b} + \frac{ca}{b+c}\right) + \left(\frac{bc}{a+b} + \frac{ca}{b+a}\right) \right]$
$\displaystyle P \le \frac{1}{4}\left[ \frac{b(a+c)}{a+c} + \frac{a(b+c)}{b+c} + \frac{c(a+b)}{a+b} \right]$
$\displaystyle P \le \frac{a+b+c}{4}$
Thay $\displaystyle a+b+c=2022$ vào, ta có:
$\displaystyle P \le \frac{2022}{4} = \frac{1011}{2}$
Vậy giá trị lớn nhất của $\displaystyle P$ là $\displaystyle \frac{1011}{2}$.
Dấu "=" xảy ra khi:
$\displaystyle \begin{cases} c+a = c+b \\ a+b = a+c \\ b+a = b+c \end{cases} \Rightarrow a=b=c$
Kết hợp với đk $\displaystyle a+b+c=2022$, ta được $\displaystyle a=b=c=\frac{2022}{3}=674$.
Quảng cáo
2 câu trả lời 129
Lời giải của bạn có một số sai sót.
Dưới đây là lời giải chính xác cho bài toán này:
Với a,b,c>0 và a+b+c=2022. Ta có biểu thức: P=c+2022ab+a+2022bc+b+2022ca
Vì a+b+c=2022, ta thay 2022 vào biểu thức: P=c+a+b+cab+a+a+b+cbc+b+a+b+cca P=(a+c)+(b+c)ab+(a+b)+(a+c)bc+(b+a)+(b+c)ca
Áp dụng bất đẳng thức x+y1≤41(x1+y1) cho mỗi số hạng: P≤4ab(a+c1+b+c1)+4bc(a+b1+a+c1)+4ca(b+a1+b+c1)
P≤41[(a+cab+a+cbc)+(b+cab+b+cca)+(a+bbc+a+bca)]
P≤41[a+cb(a+c)+b+ca(b+c)+a+bc(b+a)]
P≤41[b+a+c]=4a+b+c
Thay a+b+c=2022 vào, ta có: P≤42022=21011
Vậy giá trị lớn nhất của P là 21011.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các điều kiện của bất đẳng thức phụ xảy ra đồng thời: ⎩ ⎨ ⎧a+c=b+ca+b=a+cb+a=b+c⟹a=b=c
Kết hợp với điều kiện a+b+c=2022, ta có: 3a=2022⟹a=674 Vậy a=b=c=674.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
17097 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
8623 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
4946 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
4570 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
4130
