Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.
Chứng minh :
a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn
b) CK.CD=CA.CB
c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
Quảng cáo
30 câu trả lời 95171
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB$
$\to \widehat{DMA}=\widehat{DCA}=90^o$
$\to ACMD$ nội tiếp
Lại có $\widehat{KCB}=\widehat{KMB}=90^o$
$\to BCKM$ nội tiếp
b.Xét $\Delta CKA, \Delta CDB$ có:
$\widehat{KCA}=\widehat{DCB}(=90^o)$
$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MDC}=\widehat{BDC}$
$\to\Delta CAK\sim\Delta CDB(g.g)$
$\to \dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CK}{CB}$
$\to CK.CD=CA.CB$
c.Ta có $K\in(O)\to AN\perp NB\to BN\perp AD$
Vì $AM\perp BD, BN\perp AD, AM\cap BN=K\to K$ là trực tâm $\Delta DAB\to BK\perp AD$
$\to B, K, N$ thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=CB$
Ta có $CK.CD=CA.CB\to CK.CD=CA.CE$
$\to \dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CE}{CD}$
Mà $\widehat{KCA}=\widehat{DCE}$
$\to\Delta CAK\sim\Delta CDE(c.g.c)$
$\to \widehat{CKA}=\widehat{AED}$
$\to AKDE$ nội tiếp
$\to E\in (AKD)$
$\to$Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ nằm trên trung trực $AE$ cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
Đây ạ !
. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔCKA,ΔCDB có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)KCA^=DCB^(=90o)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDCKAC^=MAC^=MDC^=BDC^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)
→CACD=CKCB→CACD=CKCB
→CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CB
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥ADK∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→KAM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔDAB→BK⊥AD
→B,K,N→B,K,N thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CBCB lấy điểm EE sao cho CE=CBCE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CECK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE
→CKCA=CECD→CKCA=CECD
Mà ˆKCA=ˆDCEKCA^=DCE^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)
→ˆCKA=ˆAED→CKA^=AED^
→AKDE→AKDE nội tiếp
→E∈(AKD)→E∈(AKD)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔAKD nằm trên trung trực AEAE cố định
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔCKA,ΔCDB có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)KCA^=DCB^(=90o)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDCKAC^=MAC^=MDC^=BDC^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)
→CACD=CKCB→CACD=CKCB
→CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CB
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥ADK∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→KAM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔDAB→BK⊥AD
→B,K,N→B,K,N thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CBCB lấy điểm EE sao cho CE=CBCE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CECK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE
→CKCA=CECD→CKCA=CECD
Mà ˆKCA=ˆDCEKCA^=DCE^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)
→ˆCKA=ˆAED→CKA^=AED^
→AKDE→AKDE nội tiếp
→E∈(AKD)→E∈(AKD)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔAKD nằm trên trung trực AEAE cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có AB�� là đường kính của (O)→AM⊥MB(�)→��⊥��
→ˆDMA=ˆDCA=90o→���^=���^=90�
→ACMD→���� nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o���^=���^=90�
→BCKM→���� nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ���,Δ��� có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)���^=���^(=90�)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC���^=���^=���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ���∼Δ���(�.�)
→CACD=CKCB→����=����
→CK.CD=CA.CB→��.��=��.��
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD�∈(�)→��⊥��→��⊥��
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K��⊥��,��⊥��,��∩��=�→� là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ���→��⊥��
→B,K,N→�,�,� thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB�� lấy điểm E� sao cho CE=CB��=��
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE��.��=��.��→��.��=��.��
→CKCA=CECD→����=����
Mà ˆKCA=ˆDCE���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ���∼Δ���(�.�.�)
→ˆCKA=ˆAED→���^=���^
→AKDE→���� nội tiếp
→E∈(AKD)→�∈(���)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ��� nằm trên trung trực AE�� cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có AB𝐴𝐵 là đường kính của (O)→AM⊥MB(𝑂)→𝐴𝑀⊥𝑀𝐵
→ˆDMA=ˆDCA=90o→𝐷𝑀𝐴^=𝐷𝐶𝐴^=90𝑜
→ACMD→𝐴𝐶𝑀𝐷 nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o𝐾𝐶𝐵^=𝐾𝑀𝐵^=90𝑜
→BCKM→𝐵𝐶𝐾𝑀 nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ𝐶𝐾𝐴,Δ𝐶𝐷𝐵 có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)𝐾𝐶𝐴^=𝐷𝐶𝐵^(=90𝑜)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC𝐾𝐴𝐶^=𝑀𝐴𝐶^=𝑀𝐷𝐶^=𝐵𝐷𝐶^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ𝐶𝐴𝐾∼Δ𝐶𝐷𝐵(𝑔.𝑔)
→CACD=CKCB→𝐶𝐴𝐶𝐷=𝐶𝐾𝐶𝐵
→CK.CD=CA.CB→𝐶𝐾.𝐶𝐷=𝐶𝐴.𝐶𝐵
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD𝐾∈(𝑂)→𝐴𝑁⊥𝑁𝐵→𝐵𝑁⊥𝐴𝐷
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K𝐴𝑀⊥𝐵𝐷,𝐵𝑁⊥𝐴𝐷,𝐴𝑀∩𝐵𝑁=𝐾→𝐾 là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ𝐷𝐴𝐵→𝐵𝐾⊥𝐴𝐷
→B,K,N→𝐵,𝐾,𝑁 thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB𝐶𝐵 lấy điểm E𝐸 sao cho CE=CB𝐶𝐸=𝐶𝐵
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE𝐶𝐾.𝐶𝐷=𝐶𝐴.𝐶𝐵→𝐶𝐾.𝐶𝐷=𝐶𝐴.𝐶𝐸
→CKCA=CECD→𝐶𝐾𝐶𝐴=𝐶𝐸𝐶𝐷
Mà ˆKCA=ˆDCE𝐾𝐶𝐴^=𝐷𝐶𝐸^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ𝐶𝐴𝐾∼Δ𝐶𝐷𝐸(𝑐.𝑔.𝑐)
→ˆCKA=ˆAED→𝐶𝐾𝐴^=𝐴𝐸𝐷^
→AKDE→𝐴𝐾𝐷𝐸 nội tiếp
→E∈(AKD)→𝐸∈(𝐴𝐾𝐷)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ𝐴𝐾𝐷 nằm trên trung trực AE𝐴𝐸 cố định
a.Ta có AB�� là đường kính của (O)→AM⊥MB(�)→��⊥��
→ˆDMA=ˆDCA=90o→���^=���^=90�
→ACMD→���� nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o���^=���^=90�
→BCKM→���� nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ���,Δ��� có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)���^=���^(=90�)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC���^=���^=���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ���∼Δ���(�.�)
→CACD=CKCB→����=����
→CK.CD=CA.CB→��.��=��.��
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD�∈(�)→��⊥��→��⊥��
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K��⊥��,��⊥��,��∩��=�→� là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ���→��⊥��
→B,K,N→�,�,� thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB�� lấy điểm E� sao cho CE=CB��=��
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE��.��=��.��→��.��=��.��
→CKCA=CECD→����=����
Mà ˆKCA=ˆDCE���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ���∼Δ���(�.�.�)
→ˆCKA=ˆAED→���^=���^
→AKDE→���� nội tiếp
→E∈(AKD)→�∈(���)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ��� nằm trên trung trực AE�� cố định
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK3 62476
-
48680
-
2 42620
-
13 34319
-
1 24213
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
2 năm trước4299
-
2 năm trước3754
-
2 năm trước3550
-
2 năm trước3486
