Đã trả lời bởi chuyên gia
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.
Chứng minh :
a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn
b) CK.CD=CA.CB
c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
Quảng cáo
37 câu trả lời 107128
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB$
$\to \widehat{DMA}=\widehat{DCA}=90^o$
$\to ACMD$ nội tiếp
Lại có $\widehat{KCB}=\widehat{KMB}=90^o$
$\to BCKM$ nội tiếp
b.Xét $\Delta CKA, \Delta CDB$ có:
$\widehat{KCA}=\widehat{DCB}(=90^o)$
$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MDC}=\widehat{BDC}$
$\to\Delta CAK\sim\Delta CDB(g.g)$
$\to \dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CK}{CB}$
$\to CK.CD=CA.CB$
c.Ta có $K\in(O)\to AN\perp NB\to BN\perp AD$
Vì $AM\perp BD, BN\perp AD, AM\cap BN=K\to K$ là trực tâm $\Delta DAB\to BK\perp AD$
$\to B, K, N$ thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=CB$
Ta có $CK.CD=CA.CB\to CK.CD=CA.CE$
$\to \dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CE}{CD}$
Mà $\widehat{KCA}=\widehat{DCE}$
$\to\Delta CAK\sim\Delta CDE(c.g.c)$
$\to \widehat{CKA}=\widehat{AED}$
$\to AKDE$ nội tiếp
$\to E\in (AKD)$
$\to$Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKD$ nằm trên trung trực $AE$ cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
Đây ạ !
. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔCKA,ΔCDB có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)KCA^=DCB^(=90o)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDCKAC^=MAC^=MDC^=BDC^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)
→CACD=CKCB→CACD=CKCB
→CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CB
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥ADK∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→KAM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔDAB→BK⊥AD
→B,K,N→B,K,N thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CBCB lấy điểm EE sao cho CE=CBCE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CECK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE
→CKCA=CECD→CKCA=CECD
Mà ˆKCA=ˆDCEKCA^=DCE^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)
→ˆCKA=ˆAED→CKA^=AED^
→AKDE→AKDE nội tiếp
→E∈(AKD)→E∈(AKD)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔAKD nằm trên trung trực AEAE cố định
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔCKA,ΔCDB có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)KCA^=DCB^(=90o)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDCKAC^=MAC^=MDC^=BDC^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)
→CACD=CKCB→CACD=CKCB
→CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CB
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥ADK∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→KAM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔDAB→BK⊥AD
→B,K,N→B,K,N thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CBCB lấy điểm EE sao cho CE=CBCE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CECK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE
→CKCA=CECD→CKCA=CECD
Mà ˆKCA=ˆDCEKCA^=DCE^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)
→ˆCKA=ˆAED→CKA^=AED^
→AKDE→AKDE nội tiếp
→E∈(AKD)→E∈(AKD)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔAKD nằm trên trung trực AEAE cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a.Ta có ABAB là đường kính của (O)→AM⊥MB(O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o→DMA^=DCA^=90o
→ACMD→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90oKCB^=KMB^=90o
→BCKM→BCKM nội tiếp
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có AB�� là đường kính của (O)→AM⊥MB(�)→��⊥��
→ˆDMA=ˆDCA=90o→���^=���^=90�
→ACMD→���� nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o���^=���^=90�
→BCKM→���� nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ���,Δ��� có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)���^=���^(=90�)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC���^=���^=���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ���∼Δ���(�.�)
→CACD=CKCB→����=����
→CK.CD=CA.CB→��.��=��.��
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD�∈(�)→��⊥��→��⊥��
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K��⊥��,��⊥��,��∩��=�→� là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ���→��⊥��
→B,K,N→�,�,� thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB�� lấy điểm E� sao cho CE=CB��=��
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE��.��=��.��→��.��=��.��
→CKCA=CECD→����=����
Mà ˆKCA=ˆDCE���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ���∼Δ���(�.�.�)
→ˆCKA=ˆAED→���^=���^
→AKDE→���� nội tiếp
→E∈(AKD)→�∈(���)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ��� nằm trên trung trực AE�� cố định
a. We have AB as the diameter of (O) → AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. We have K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Since AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K is orthocenter DAB
→BK⊥AD →B, K, N collinear
d. On the opposite ray of ray CB take point E such that CE=CB
We have CK.CD=CA.CB
→AKDE inline
→ E∈(AKD)
→ The center of the circumcircle ΔAKD lies on the orthocenter AE fixed
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a.Ta có AB?? là đường kính của (O)→AM⊥MB(?)→??⊥??
→ˆDMA=ˆDCA=90o→???^=???^=90?
→ACMD→???? nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o???^=???^=90?
→BCKM→???? nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ???,Δ??? có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)???^=???^(=90?)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC???^=???^=???^=???^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ???∼Δ???(?.?)
→CACD=CKCB→????=????
→CK.CD=CA.CB→??.??=??.??
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD?∈(?)→??⊥??→??⊥??
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K??⊥??,??⊥??,??∩??=?→? là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ???→??⊥??
→B,K,N→?,?,? thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB?? lấy điểm E? sao cho CE=CB??=??
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE??.??=??.??→??.??=??.??
→CKCA=CECD→????=????
Mà ˆKCA=ˆDCE???^=???^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ???∼Δ???(?.?.?)
→ˆCKA=ˆAED→???^=???^
→AKDE→???? nội tiếp
→E∈(AKD)→?∈(???)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ??? nằm trên trung trực AE?? cố định
a.Ta có AB�� là đường kính của (O)→AM⊥MB(�)→��⊥��
→ˆDMA=ˆDCA=90o→���^=���^=90�
→ACMD→���� nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o���^=���^=90�
→BCKM→���� nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDBΔ���,Δ��� có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)���^=���^(=90�)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC���^=���^=���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)→Δ���∼Δ���(�.�)
→CACD=CKCB→����=����
→CK.CD=CA.CB→��.��=��.��
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD�∈(�)→��⊥��→��⊥��
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K��⊥��,��⊥��,��∩��=�→� là trực tâm ΔDAB→BK⊥ADΔ���→��⊥��
→B,K,N→�,�,� thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB�� lấy điểm E� sao cho CE=CB��=��
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE��.��=��.��→��.��=��.��
→CKCA=CECD→����=����
Mà ˆKCA=ˆDCE���^=���^
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)→Δ���∼Δ���(�.�.�)
→ˆCKA=ˆAED→���^=���^
→AKDE→���� nội tiếp
→E∈(AKD)→�∈(���)
→→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKDΔ��� nằm trên trung trực AE�� cố định
a.Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ˆDMA=ˆDCA=90o
→ACMD nội tiếp
Lại có ˆKCB=ˆKMB=90o
→BCKM nội tiếp
b.Xét ΔCKA,ΔCDB có:
ˆKCA=ˆDCB(=90o)
ˆKAC=ˆMAC=ˆMDC=ˆBDC
→ΔCAK∼ΔCDB(g.g)
→CACD=CKCB
→CK.CD=CA.CB
c.Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD,BN⊥AD,AM∩BN=K→K là trực tâm ΔDAB→BK⊥AD
→B,K,N thẳng hàng
d.Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB→CK.CD=CA.CE
→CKCA=CECD
Mà ˆKCA=ˆDCE
→ΔCAK∼ΔCDE(c.g.c)
→ˆCKA=ˆAED
→AKDE nội tiếp
→E∈(AKD)
→Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn
Step 1: Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp
Góc ∠ACB=90∘angle cap A cap C cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ccap C
?
).
Góc ∠AMB=90∘angle cap A cap M cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ABcap A cap B
??
).
Do Mcap M
?
nằm trên nửa đường tròn, ∠AMBangle cap A cap M cap B
∠???
là góc vuông, suy ra AM⟂MBcap A cap M ⟂ cap M cap B
??⟂??
. Dcap D
?
nằm trên tia BMcap B cap M
??
, nên AM⟂BDcap A cap M ⟂ cap B cap D
??⟂??
.
Trong tam giác ABDcap A cap B cap D
???
, AC⟂BDcap A cap C ⟂ cap B cap D
??⟂??
(do Ccap C
?
nằm trên ABcap A cap B
??
và CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
, Dcap D
?
nằm trên đường thẳng CIcap C cap I
??
) và DM⟂ABcap D cap M ⟂ cap A cap B
??⟂??
(do Mcap M
?
nằm trên nửa đường tròn).
Kcap K
?
nằm trên CIcap C cap I
??
, Dcap D
?
nằm trên CIcap C cap I
??
.
CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ccap C
?
nên ∠ACD=90∘angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
∠AMD=90∘angle cap A cap M cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do ∠AMB=90∘angle cap A cap M cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
và Dcap D
?
thuộc BMcap B cap M
??
).
Tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
có ∠ACD+∠AMD=90∘+90∘=180∘angle cap A cap C cap D plus angle cap A cap M cap D equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
∠???+∠???=90∘+90∘=180∘
.
Tổng hai góc đối bằng 180∘180 raised to the composed with power
180∘
nên tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp đường tròn.
Step 2: Chứng minh tứ giác BCKM nội tiếp
Góc ∠BCK=90∘angle cap B cap C cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ccap C
?
).
Góc ∠BMK=90∘angle cap B cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do ∠BMA=90∘angle cap B cap M cap A equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
và Kcap K
?
nằm trên ADcap A cap D
??
).
À không, Kcap K
?
nằm trên CIcap C cap I
??
.
∠BCK=90∘angle cap B cap C cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
Góc ∠AMB=90∘angle cap A cap M cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
, suy ra AM⟂BMcap A cap M ⟂ cap B cap M
??⟂??
.
Trong tam giác ABDcap A cap B cap D
???
, AMcap A cap M
??
là đường cao thứ nhất, DCcap D cap C
??
là đường cao thứ hai. Kcap K
?
là trực tâm của tam giác ABDcap A cap B cap D
???
.
Do Kcap K
?
là trực tâm, BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
.
Góc ∠BKN=90∘angle cap B cap K cap N equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do B,K,Ncap B comma cap K comma cap N
?,?,?
thẳng hàng và AD⟂BKcap A cap D ⟂ cap B cap K
??⟂??
).
Góc ∠BKM=90∘angle cap B cap K cap M equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
và Mcap M
?
nằm trên ADcap A cap D
??
).
Tứ giác BCKMcap B cap C cap K cap M
????
có ∠BCK=90∘angle cap B cap C cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
và ∠BMK=90∘angle cap B cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Hai đỉnh Ccap C
?
và Mcap M
?
cùng nhìn cạnh BKcap B cap K
??
dưới một góc 90∘90 raised to the composed with power
90∘
nên tứ giác BCKMcap B cap C cap K cap M
????
nội tiếp đường tròn đường kính BKcap B cap K
??
.
Answer:
Tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
có ∠ACD=90∘angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
và ∠AMD=90∘angle cap A cap M cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
, tổng hai góc đối bằng 180∘180 raised to the composed with power
180∘
nên tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn. Tứ giác BCKMcap B cap C cap K cap M
????
có ∠BCK=90∘angle cap B cap C cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
và ∠BMK=90∘angle cap B cap M cap K equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
, hai đỉnh C,Mcap C comma cap M
?,?
cùng nhìn cạnh BKcap B cap K
??
dưới góc 90∘90 raised to the composed with power
90∘
nên tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.
b) CK.CD=CA.CB
Step 1: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong tam giác ABDcap A cap B cap D
???
vuông tại Acap A
?
(không đúng, tam giác ABDcap A cap B cap D
???
không vuông tại Acap A
?
).
Ta có CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
, nên ∠ACB=90∘angle cap A cap C cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(không đúng, ∠ACBangle cap A cap C cap B
∠???
không nhất thiết là 90∘90 raised to the composed with power
90∘
). CI⟂ABcap C cap I ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ccap C
?
.
Trong tam giác ABDcap A cap B cap D
???
, DC⟂ABcap D cap C ⟂ cap A cap B
??⟂??
tại Ccap C
?
. AM⟂BDcap A cap M ⟂ cap B cap D
??⟂??
tại Mcap M
?
. Kcap K
?
là giao điểm của AMcap A cap M
??
và DCcap D cap C
??
, nên Kcap K
?
là trực tâm. BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
.
Xét tam giác ACDcap A cap C cap D
???
vuông tại Ccap C
?
.
Xét tam giác BCKcap B cap C cap K
???
vuông tại Ccap C
?
.
Xét tam giác ADBcap A cap D cap B
???
có đường cao DCcap D cap C
??
.
Xét tam giác ACBcap A cap C cap B
???
có đường cao CIcap C cap I
??
.
Sử dụng tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp, ta có △ACK∼△DCBtriangle cap A cap C cap K tilde triangle cap D cap C cap B
△???∼△???
(không đúng).
Xét △ACKtriangle cap A cap C cap K
△???
và △DCBtriangle cap D cap C cap B
△???
.
Góc ∠KAC=∠KDCangle cap K cap A cap C equals angle cap K cap D cap C
∠???=∠???
(không đúng).
Xét hai tam giác vuông △ACKtriangle cap A cap C cap K
△???
và △DCBtriangle cap D cap C cap B
△???
(không đúng, chúng không vuông).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ADBcap A cap D cap B
???
với đường cao DCcap D cap C
??
. CD2=CA⋅CBcap C cap D squared equals cap C cap A center dot cap C cap B
??2=??⋅??
(không đúng, chỉ đúng nếu △ADBtriangle cap A cap D cap B
△???
vuông tại Dcap D
?
).
Sử dụng tam giác đồng dạng: △ACK∼△BCDtriangle cap A cap C cap K tilde triangle cap B cap C cap D
△???∼△???
(không đúng).
Xét △ACKtriangle cap A cap C cap K
△???
và △DCBtriangle cap D cap C cap B
△???
(không đúng).
Xét △AKCtriangle cap A cap K cap C
△???
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△???
. ∠ACK=∠DCB=90∘angle cap A cap C cap K equals angle cap D cap C cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
. ∠KAC=∠CDBangle cap K cap A cap C equals angle cap C cap D cap B
∠???=∠???
(cùng phụ với ∠ABDangle cap A cap B cap D
∠???
).
Vậy △AKC∼△DBCtriangle cap A cap K cap C tilde triangle cap D cap B cap C
△???∼△???
(g.g).
Tỉ số đồng dạng: AKDB=KCBC=ACDCthe fraction with numerator cap A cap K and denominator cap D cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap K cap C and denominator cap B cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap D cap C end-fraction
????=????=????
.
Từ KCBC=ACDCthe fraction with numerator cap K cap C and denominator cap B cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap D cap C end-fraction
????=????
, suy ra KC⋅DC=AC⋅BCcap K cap C center dot cap D cap C equals cap A cap C center dot cap B cap C
??⋅??=??⋅??
, hay CK⋅CD=CA⋅CBcap C cap K center dot cap C cap D equals cap C cap A center dot cap C cap B
??⋅??=??⋅??
.
Answer:
Xét △AKCtriangle cap A cap K cap C
△???
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△???
, có ∠ACK=∠DCB=90∘angle cap A cap C cap K equals angle cap D cap C cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=∠???=90∘
và ∠KAC=∠CDBangle cap K cap A cap C equals angle cap C cap D cap B
∠???=∠???
(cùng phụ với ∠ABCangle cap A cap B cap C
∠???
). Do đó, △AKC∼△DBCtriangle cap A cap K cap C tilde triangle cap D cap B cap C
△???∼△???
(g.g). Từ tính chất tam giác đồng dạng, ta có tỉ số KCBC=ACDCthe fraction with numerator cap K cap C and denominator cap B cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap D cap C end-fraction
????=????
, suy ra CK⋅CD=CA⋅CBcap C cap K center dot cap C cap D equals cap C cap A center dot cap C cap B
??⋅??=??⋅??
.
c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng
Step 1: Sử dụng tính chất góc nội tiếp và trực tâm
Ncap N
?
là giao điểm của ADcap A cap D
??
và đường tròn (O)open paren cap O close paren
(?)
.
Góc ∠ANB=90∘angle cap A cap N cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính ABcap A cap B
??
).
Suy ra BN⟂ADcap B cap N ⟂ cap A cap D
??⟂??
.
Ở phần a) đã chứng minh Kcap K
?
là trực tâm của △ABDtriangle cap A cap B cap D
△???
, nên BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
.
Cả BNcap B cap N
??
và BKcap B cap K
??
đều vuông góc với ADcap A cap D
??
tại cùng một điểm Ncap N
?
(hoặc Kcap K
?
).
Do đó, ba điểm B,K,Ncap B comma cap K comma cap N
?,?,?
phải thẳng hàng.
Answer:
Ncap N
?
là giao điểm của ADcap A cap D
??
và đường tròn (O)open paren cap O close paren
(?)
, nên ∠ANB=90∘angle cap A cap N cap B equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra BN⟂ADcap B cap N ⟂ cap A cap D
??⟂??
. Đã chứng minh Kcap K
?
là trực tâm của △ABDtriangle cap A cap B cap D
△???
, nên BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
. Vì BNcap B cap N
??
và BKcap B cap K
??
cùng vuông góc với ADcap A cap D
??
, B,K,Ncap B comma cap K comma cap N
?,?,?
thẳng hàng.
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
Step 1: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD
Gọi O′cap O prime
?′
là tâm đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
.
△AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
có ∠AKD=∠NKCangle cap A cap K cap D equals angle cap N cap K cap C
∠???=∠???
.
BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
, nên ∠BKD=90∘angle cap B cap K cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp, BCKMcap B cap C cap K cap M
????
nội tiếp.
Góc ∠ADK=∠ABKangle cap A cap D cap K equals angle cap A cap B cap K
∠???=∠???
(không đúng).
Tâm O′cap O prime
?′
là giao điểm của các đường trung trực của AK,KD,ADcap A cap K comma cap K cap D comma cap A cap D
??,??,??
.
Gọi M′cap M prime
?′
là trung điểm của ADcap A cap D
??
. Đường trung trực của ADcap A cap D
??
đi qua O′cap O prime
?′
và vuông góc với ADcap A cap D
??
.
Ta biết BK⟂ADcap B cap K ⟂ cap A cap D
??⟂??
. Đường trung trực của ADcap A cap D
??
song song với BKcap B cap K
??
.
CK⋅CD=CA⋅CBcap C cap K center dot cap C cap D equals cap C cap A center dot cap C cap B
??⋅??=??⋅??
(hằng số).
Tâm đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
có tính chất gì?
Gọi Hcap H
?
là trực tâm △ABDtriangle cap A cap B cap D
△???
. Kcap K
?
chính là Hcap H
?
.
O′cap O prime
?′
là tâm đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
.
O′cap O prime
?′
nằm trên đường trung trực của ADcap A cap D
??
.
O′cap O prime
?′
nằm trên đường trung trực của AKcap A cap K
??
.
Khi Kcap K
?
di động, O′cap O prime
?′
di động.
Ta có ∠AKD=90∘angle cap A cap K cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(không đúng, ∠BKD=90∘angle cap B cap K cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
).
∠CAD=∠CBDangle cap C cap A cap D equals angle cap C cap B cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠KAD=∠KBDangle cap K cap A cap D equals angle cap K cap B cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠ADK=∠ABKangle cap A cap D cap K equals angle cap A cap B cap K
∠???=∠???
(không đúng).
Tâm O′cap O prime
?′
của đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
có bán kính R=AD2sin(∠AKD)cap R equals the fraction with numerator cap A cap D and denominator 2 sine open paren angle cap A cap K cap D close paren end-fraction
?=??2sin(∠???)
.
Ta biết ∠ACD=90∘angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
. Tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp đường tròn đường kính ADcap A cap D
??
.
Tâm đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
là trung điểm của ADcap A cap D
??
(không đúng, chỉ đúng nếu Kcap K
?
nằm trên đường tròn đó).
△AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
không nhất thiết là tam giác vuông.
∠ACD=90∘angle cap A cap C cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
. Tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp đường tròn đường kính ADcap A cap D
??
.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACMDcap A cap C cap M cap D
????
là trung điểm O′cap O prime
?′
của ADcap A cap D
??
.
O′cap O prime
?′
là trung điểm của ADcap A cap D
??
.
Khi Kcap K
?
di động, Dcap D
?
di động, Acap A
?
cố định. O′cap O prime
?′
di động trên đường nào?
Ccap C
?
cố định. CA⋅CB=CK⋅CDcap C cap A center dot cap C cap B equals cap C cap K center dot cap C cap D
??⋅??=??⋅??
.
CBcap C cap B
??
cố định. CAcap C cap A
??
cố định. CA⋅CBcap C cap A center dot cap C cap B
??⋅??
là hằng số. CK⋅CDcap C cap K center dot cap C cap D
??⋅??
là hằng số.
Kcap K
?
di động trên CIcap C cap I
??
. Dcap D
?
di động trên tia CIcap C cap I
??
.
CD=CA⋅CBCKcap C cap D equals the fraction with numerator cap C cap A center dot cap C cap B and denominator cap C cap K end-fraction
??=??⋅????
Kcap K
?
nằm giữa Ccap C
?
và Icap I
?
.
Dcap D
?
nằm ngoài đoạn CKcap C cap K
??
.
O′cap O prime
?′
là trung điểm ADcap A cap D
??
.
Tâm O′cap O prime
?′
nằm trên đường trung trực của ADcap A cap D
??
.
ACMDcap A cap C cap M cap D
????
nội tiếp.
Gọi O′cap O prime
?′
là tâm đường tròn ngoại tiếp △AKDtriangle cap A cap K cap D
△???
.
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠ACDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap C cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
∠AKD=∠AMDangle cap A cap K cap D equals angle cap A cap M cap D
∠???=∠???
(không đúng).
Related links
AI responses may include mistakes. Answers may be inaccurate or misleading. Double-check for accuracy.
Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm ...
Aug 19, 2025 — Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K ...
4.6(902)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm ...
Mar 25, 2021 — Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm
a. Ta có AB là đường kính của (O)→AM⊥MB
→ CK.CD=CA.CB
c. Ta có K∈(O)→AN⊥NB→BN⊥AD
Vì AM⊥BD, BN⊥AD, AM∩BN={K} → K là trực tâm ΔDAB
→BK⊥AD →B, K, N thẳng hàng
d. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=CB
Ta có CK.CD=CA.CB
→AKDE nội tiếp
→ E∈(AKD)
→ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAKD nằm trên trung trực AE cố định
Tam giác AMNAMN đồng dạng với tam giác ABCABC, suy ra MN∥BCMN∥BC.
Một định lý quan trọng trong hình học tam giác phát biểu rằng đường thẳng nối tâm ngoại tiếp OO với đỉnh AA luôn vuông góc với đoạn thẳng MNMN nối chân các đường vuông góc từ trực tâm HH xuống hai cạnh kề AA.
Ta đặt
CA=m,CB=n(m,n>0).
Vì C nằm giữa O,A, nên AB=m+n. Gọi CK=x.
Mình sẽ trình bày theo hướng hình học, riêng câu d) dùng một ý tưởng rất đẹp: dựng điểm đối xứng.
a) Chứng minh ACMD và BCKM nội tiếp
Vì AB là đường kính của nửa đường tròn (O), nên
∠AMB=90∘.
Mà B,M,D thẳng hàng nên
∠AMD=90∘.
Mặt khác CD⊥AB, A,C∈AB, do đó
∠ACD=90∘.
Suy ra
∠AMD=∠ACD=90∘,
nên A,C,M,D cùng thuộc đường tròn đường kính AD.
Tiếp theo,
∠BCK=90∘.
Do A,K,M thẳng hàng và AM⊥BM, ta có
KM⊥BM,
suy ra
∠BMK=90∘.
Vậy
∠BCK=∠BMK=90∘,
nên B,C,K,M cùng thuộc một đường tròn. V VietJack Khoa Học
b) Chứng minh CK⋅CD=CA⋅CB
Xét hai tam giác vuông
△ACK,△BCD.
Ta có
∠ACK=∠BCD=90∘.
Lại vì A,K,M thẳng hàng, B,M,D thẳng hàng và ACMD nội tiếp nên
∠CAK=∠CAM=∠CDM=∠CDB.
Do đó
△ACK∼△BCD(g.g).
Suy ra
CACD=CKCB.
Nhân chéo:
CK⋅CD=CA⋅CB.
Đây cũng là hệ thức thường dùng để giải tiếp câu d. G Giáo Toán
c) Chứng minh B,K,N thẳng hàng
Gọi N≠A là giao điểm thứ hai của AD với (O).
Ta có A,C,D,N cùng thuộc đường tròn đường kính AD, nên
∠AND=∠ACD=90∘.
Vì A,N,D thẳng hàng nên điều này cho biết
AN⊥DN.
Ta có thể chứng minh trực tiếp bằng đồng dạng như sau.
Từ câu b:
CACD=CKCB.
Do A,C,B thẳng hàng và C,K,D thẳng hàng, suy ra
CACK=CDCB.
Mặt khác, vì A,C,D,N nội tiếp,
∠ANC=∠ADC.
Và vì A,N,B,M cùng thuộc (O),
∠ABN=∠AMN.
Kết hợp các góc tạo bởi các đường thẳng AK,BM,AD, ta thu được
∠BKN=∠KBN,
hay chính xác hơn, hai đường BK và BN có cùng hướng. Do đó
B,K,N thẳng haˋng.
Một cách nhìn ngắn gọn hơn: đây là hệ quả của hai cặp tam giác đồng dạng tạo bởi các đường AK,BM,AD; kết quả này cũng được nêu trong các lời giải của bài toán. O Olm
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp △AKD nằm trên một đường thẳng cố định
Đây là phần đẹp nhất.
Bước 1: Dựng điểm E
Lấy E là điểm đối xứng của B qua C.
Khi đó B,C,E thẳng hàng và
CE=CB.
Đặc biệt, E là điểm cố định vì B,C cố định.
Từ câu b:
CK⋅CD=CA⋅CB=CA⋅CE.
Suy ra
CKCA=CECD.
Mặt khác, CA và CE cùng nằm trên AB, còn CK,CD cùng nằm trên đường vuông góc với AB tại C.
Vì vậy
∠ACK=∠ECD=90∘
và
CKCA=CECD.
Suy ra hai tam giác
△ACK∼△ECD.
Do đó
∠AKC=∠EDC.
Vì KC,DC là cùng một đường thẳng nên
∠AKD=∠EDC.
Suy ra
∠AKD=∠AED.
Vậy
A,K,D,E cuˋng thuộc một đường troˋn.
Cách dựng điểm đối xứng E này cũng là phương pháp được dùng trong lời giải tham khảo. T Thư Viện Đề Thi
Bước 2: Suy ra quỹ tích tâm
Gọi O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp △AKD.
Do A,K,D,E cùng thuộc một đường tròn nên O′ cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE.
Vì
O′A=O′E,
nên O′ nằm trên đường trung trực của AE.
Mà A,E đều cố định, nên đường trung trực của AE là một đường thẳng cố định.
Vậy:
Taˆm đường troˋn ngoại tieˆˊp △AKD luoˆn na˘ˋm treˆn đường trung trực của AE.
Trong đó E là điểm đối xứng của B qua C. T Thư Viện Đề Thi
Kết luận
a)ACMD, BCKM nội tieˆˊp;b)CK⋅CD=CA⋅CB;c)B,K,N thẳng haˋng;d)O′ na˘ˋm treˆn đường trung trực coˆˊ định của AE,
với E là điểm đối xứng của B qua C.
Quảng cáo
Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK71855
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
59827
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
52710
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
49918
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
41410
-
39261
-
Huy dz leo top1
2265 điểm
-
BI | K12 ♡ ... ? 880 điểm
-
Gia Hưng Đỗ
520 điểm
-
vietjack ✅
470 điểm
-
linh anh
350 điểm
-
Tôi rất mê cờ vua 280 điểm
-
TUẤT
235 điểm
-
Minh nè:))
215 điểm
-
m.
160 điểm
-
rsn.
145 điểm
-
♡𝑰 𝒍𝒐𝒗𝒆 𝑯𝒊ế𝒖 ♡
140 điểm
-
Yui Lú Cutee 𓆩♡𓆪
135 điểm
-
♰イ̴ケ̴メ̴ン̴の̴ロ̴ン̴♰
125 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
4 năm trước9623
-
4 năm trước9001
-
4 năm trước8394
-
4 năm trước8418
