1. Chứng minh các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn
Step 1: Chứng minh tứ giác MDOH nội tiếp
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có ∠ODM=90∘angle cap O cap D cap M equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Vì H là trung điểm của AB, nên OH⟂ABcap O cap H ⟂ cap A cap B
??⟂??
hay ∠OHM=90∘angle cap O cap H cap M equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
.
Tứ giác MDOH có ∠ODM+∠OHM=90∘+90∘=180∘angle cap O cap D cap M plus angle cap O cap H cap M equals 90 raised to the composed with power plus 90 raised to the composed with power equals 180 raised to the composed with power
∠???+∠???=90∘+90∘=180∘
.
Do đó, tứ giác MDOH nội tiếp một đường tròn.  
Answer:
Các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

2. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
Step 1: Chứng minh I thuộc phân giác của ∠CMDangle cap C cap M cap D
∠???
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của ∠CMDangle cap C cap M cap D
∠???
. Vì I nằm trên OM, nên CI là tia phân giác của ∠MCDangle cap M cap C cap D
∠???
.
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua 
 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...

 

Step 2: Chứng minh I thuộc phân giác của ∠MDCangle cap M cap D cap C
∠???
Ta có MC=MDcap M cap C equals cap M cap D
??=??
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), nên △MCDtriangle cap M cap C cap D
△???
là tam giác cân tại M.
OM là đường cao, đường trung tuyến, và đường phân giác của △MCDtriangle cap M cap C cap D
△???
.
I là giao điểm của phân giác góc M và đường trung trực của CD.
Xét đường tròn (O), ta có OC=OD=Rcap O cap C equals cap O cap D equals cap R
??=??=?
.
Xét đường tròn đi qua M, D, O, H (đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDOH), ta có MD=MCcap M cap D equals cap M cap C
??=??
.
Trong △ODCtriangle cap O cap D cap C
△???
, OD=OCcap O cap D equals cap O cap C
??=??
, nên △ODCtriangle cap O cap D cap C
△???
cân tại O.
∠IDC=∠IMCangle cap I cap D cap C equals angle cap I cap M cap C
∠???=∠???
(góc nội tiếp cùng chắn cung IC trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDOH).
∠ICD=∠IDMangle cap I cap C cap D equals angle cap I cap D cap M
∠???=∠???
(OM là phân giác của ∠CMDangle cap C cap M cap D
∠???
).
Do đó, I là giao điểm của các đường phân giác trong của △MCDtriangle cap M cap C cap D
△???
.
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHQG
 

Answer:
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...



 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

3. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất
Step 1: Thiết lập biểu thức diện tích tam giác MPQ
Gọi R là bán kính đường tròn (O). OM cắt CD tại K. OM⟂CDcap O cap M ⟂ cap C cap D
??⟂??
tại K.
Ta có MC=R⋅cot(∠CMD2)cap M cap C equals cap R center dot cotangent open paren the fraction with numerator angle cap C cap M cap D and denominator 2 end-fraction close paren
??=?⋅cot(∠???2)
.
△MPQtriangle cap M cap P cap Q
△???
vuông tại O. OK là đường cao.
△MOPtriangle cap M cap O cap P
△???
vuông tại O. OK là đường cao. MC2=MK⋅MOcap M cap C squared equals cap M cap K center dot cap M cap O
??2=??⋅??
.
Ta có MC=MDcap M cap C equals cap M cap D
??=??
. △MCDtriangle cap M cap C cap D
△???
cân tại M.
△MPQtriangle cap M cap P cap Q
△???
vuông tại O.
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

SMPQ=12⋅OP⋅OQcap S sub cap M cap P cap Q end-sub equals one-half center dot cap O cap P center dot cap O cap Q
????=12⋅??⋅??
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...



 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...



△MCO∼△OCPtriangle cap M cap C cap O tilde triangle cap O cap C cap P
△???∼△???
(g.g) ⇒MCOC=OCOP⇒OP=OC2MC=R2MCimplies the fraction with numerator cap M cap C and denominator cap O cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap O cap C and denominator cap O cap P end-fraction implies cap O cap P equals the fraction with numerator cap O cap C squared and denominator cap M cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap M cap C end-fraction
⇒????=????⇒??=??2??=?2??
.
Tương tự, OQ=R2MD=R2MCcap O cap Q equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap M cap D end-fraction equals the fraction with numerator cap R squared and denominator cap M cap C end-fraction
??=?2??=?2??
.
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

SMPQ=12⋅OP⋅OQ=12⋅R2MC⋅R2MC=R42⋅MC2cap S sub cap M cap P cap Q end-sub equals one-half center dot cap O cap P center dot cap O cap Q equals one-half center dot the fraction with numerator cap R squared and denominator cap M cap C end-fraction center dot the fraction with numerator cap R squared and denominator cap M cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap R to the fourth power and denominator 2 center dot cap M cap C squared end-fraction
????=12⋅??⋅??=12⋅?2??⋅?2??=?42⋅??2
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...



MC2=MO2−OC2=MO2−R2cap M cap C squared equals cap M cap O squared minus cap O cap C squared equals cap M cap O squared minus cap R squared
??2=??2−??2=??2−?2
SMPQ=R42⋅(MO2−R2)cap S sub cap M cap P cap Q end-sub equals the fraction with numerator cap R to the fourth power and denominator 2 center dot open paren cap M cap O squared minus cap R squared close paren end-fraction
????=?42⋅(??2−?2)
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...



 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

Step 2: Tìm điều kiện để diện tích bé nhất
Diện tích SMPQcap S sub cap M cap P cap Q end-sub
????
bé nhất khi MO2−R2cap M cap O squared minus cap R squared
??2−?2
lớn nhất, tức là MO lớn nhất.
M nằm trên tia đối của tia BA. H là trung điểm AB. O không thuộc d. OH là khoảng cách từ O đến d.
MO≥OHcap M cap O is greater than or equal to cap O cap H
??≥??
(khoảng cách từ O đến điểm trên đường thẳng d).
MO lớn nhất khi M ở vô cực (không có vị trí cụ thể).
Tuy nhiên, nếu M chỉ di chuyển trên đường thẳng d, MO nhỏ nhất khi M trùng với điểm gần O nhất trên d, đó là H. Nhưng M nằm trên tia đối của tia BA.
Giả sử d là đường thẳng chứa AB.
Điểm M nằm trên tia đối của tia BA, tức là M nằm ngoài đoạn AB về phía A.
MO2=OH2+MH2cap M cap O squared equals cap O cap H squared plus cap M cap H squared
??2=??2+??2
. MO lớn nhất khi MH lớn nhất, tức M càng xa H.
Có thể đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích.
SMPQ=R42⋅MC2cap S sub cap M cap P cap Q end-sub equals the fraction with numerator cap R to the fourth power and denominator 2 center dot cap M cap C squared end-fraction
????=?42⋅??2
. Để SMPQcap S sub cap M cap P cap Q end-sub
????
nhỏ nhất thì MC2cap M cap C squared
??2
phải lớn nhất, tức MO lớn nhất.
Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của diện tích, thì SMPQcap S sub cap M cap P cap Q end-sub
????
lớn nhất khi MC2cap M cap C squared
??2
nhỏ nhất, tức MO nhỏ nhất.
MO nhỏ nhất khi M trùng với H (điểm gần O nhất trên d). Nhưng M nằm trên tia đối của tia BA.
Khoảng cách MO không có giá trị lớn nhất.
 
và đường thẳng d - d - không đi qua O - O - cắt đường tròn
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn. ... Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt ...


 

 
R ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai ...
Mar 3, 2025 — * ĐHQG Hồ Chí Minh. 328 đề thi. * ĐH Bách Khoa. 342 đề thi. * ĐHQG Hà Nội. 361 đề thi. * Bộ Công an. 3 đề thi. * ĐHSP ...


 

Answer:
Diện tích tam giác MPQ không có giá trị bé nhất vì MO có thể tăng vô hạn. Có thể đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của diện tích, khi đó M nằm ở vị trí gần H nhất trên tia đối của tia BA.