Cho biểu thức:
\[
P = \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \quad \text{và} \quad Q = P - 9\sqrt{x} + 2021
\]
với \(0 < x \neq 1\).

---

### a) Rút gọn biểu thức \(P\)

- Đặt \(t = \sqrt{x}\), với \(t > 0\) và \(t \neq 1\).
- Khi đó, \(x = t^2\).
- Biểu thức \(P\) trở thành:
\[
P = \frac{1}{t^2 - t} + \frac{1}{t - 1}
\]

- Phân tích mẫu số:
\[
t^2 - t = t(t - 1)
\]

- Viết lại \(P\):
\[
P = \frac{1}{t(t - 1)} + \frac{1}{t - 1}
\]

- Quy đồng mẫu số:
\[
P = \frac{1}{t(t - 1)} + \frac{t}{t(t - 1)} = \frac{1 + t}{t(t - 1)}
\]

- Rút gọn:
\[
P = \frac{t + 1}{t(t - 1)}
\]

---

### b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[
Q = P - 9t + 2021 = \frac{t + 1}{t(t - 1)} - 9t + 2021
\]
với \(t > 0\) và \(t \neq 1\).

---

### Bước 1: Xác định miền xác định của \(Q\)

- \(t > 0\) và \(t \neq 1\).

---

### Bước 2: Tính đạo hàm của \(Q\) theo \(t\)

\[
Q(t) = \frac{t + 1}{t(t - 1)} - 9t + 2021
\]

Viết lại phần phân số:
\[
\frac{t + 1}{t(t - 1)} = \frac{t + 1}{t^2 - t}
\]

Đặt:
\[
f(t) = \frac{t + 1}{t^2 - t}
\]

Tính đạo hàm \(f'(t)\) theo quy tắc thương:
\[
f'(t) = \frac{(1)(t^2 - t) - (t + 1)(2t - 1)}{(t^2 - t)^2}
\]

Tính tử số:
\[
(t^2 - t) - (t + 1)(2t - 1) = t^2 - t - [2t^2 - t + 2t - 1] = t^2 - t - 2t^2 + t - 2t + 1 = -t^2 - 2t + 1
\]

Vậy:
\[
f'(t) = \frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 - t)^2}
\]

Đạo hàm của \(Q\):
\[
Q'(t) = f'(t) - 9 = \frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 - t)^2} - 9
\]

---

### Bước 3: Tìm điểm cực trị bằng cách giải \(Q'(t) = 0\)

\[
\frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 - t)^2} - 9 = 0 \implies \frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 - t)^2} = 9
\]

Nhân hai vế với \((t^2 - t)^2\):
\[
-t^2 - 2t + 1 = 9 (t^2 - t)^2
\]

Viết lại:
\[
9 (t^2 - t)^2 + t^2 + 2t - 1 = 0
\]

Phát triển \((t^2 - t)^2\):
\[
(t^2 - t)^2 = t^4 - 2t^3 + t^2
\]

Thay vào:
\[
9(t^4 - 2t^3 + t^2) + t^2 + 2t - 1 = 0
\]
\[
9t^4 - 18t^3 + 9t^2 + t^2 + 2t - 1 = 0
\]
\[
9t^4 - 18t^3 + 10t^2 + 2t - 1 = 0
\]

---

### Bước 4: Giải phương trình bậc 4

Phương trình:
\[
9t^4 - 18t^3 + 10t^2 + 2t - 1 = 0
\]

Ta thử nghiệm nghiệm hữu tỉ bằng cách thử các giá trị dạng \(\pm \frac{p}{q}\) với \(p | 1\), \(q | 9\):

- Thử \(t=1\):
\[
9 - 18 + 10 + 2 - 1 = 2 \neq 0
\]

- Thử \(t = \frac{1}{3}\):
\[
9 \left(\frac{1}{3}\right)^4 - 18 \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 10 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2 \left(\frac{1}{3}\right) - 1
\]
\[
= 9 \cdot \frac{1}{81} - 18 \cdot \frac{1}{27} + 10 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} - 1
\]
\[
= \frac{9}{81} - \frac{18}{27} + \frac{10}{9} + \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + \frac{10}{9} + \frac{2}{3} - 1
\]
\[
= \left(\frac{1}{9} + \frac{10}{9}\right) + \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{11}{9} + 0 - 1 = \frac{11}{9} - 1 = \frac{2}{9} \neq 0
\]

- Thử \(t = \frac{1}{2}\):
\[
9 \left(\frac{1}{2}\right)^4 - 18 \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 10 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1
\]
\[
= 9 \cdot \frac{1}{16} - 18 \cdot \frac{1}{8} + 10 \cdot \frac{1}{4} + 1 - 1
\]
\[
= \frac{9}{16} - \frac{18}{8} + \frac{10}{4} + 0 = \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + \frac{5}{2}
\]
\[
= \frac{9}{16} - \frac{36}{16} + \frac{40}{16} = \frac{9 - 36 + 40}{16} = \frac{13}{16} \neq 0
\]

Không có nghiệm hữu tỉ đơn giản, ta xét đạo hàm và giá trị hàm để tìm nghiệm gần đúng.

---

### Bước 5: Xét dấu đạo hàm và giá trị hàm

- Khi \(t \to 0^+\), \(Q(t) \to +\infty\) (do phân số \(\frac{t+1}{t(t-1)}\) có mẫu rất nhỏ).
- Khi \(t \to 1^-\), mẫu \(t(t-1) \to 0^-\), phân số \(\to -\infty\), nên \(Q(t) \to -\infty\).
- Khi \(t \to 1^+\), phân số \(\to +\infty\), nên \(Q(t) \to +\infty\).
- Khi \(t \to +\infty\), \(\frac{t+1}{t(t-1)} \approx \frac{t}{t^2} = \frac{1}{t} \to 0\), nên \(Q(t) \approx -9t + 2021 \to -\infty\).

Do đó, \(Q(t)\) có thể có cực đại ở khoảng \(0 < t < 1\) hoặc \(t >