Để chứng minh rằng x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 là hai số chính phương, chúng ta cần viết lại điều kiện chính phương và tiến hành giải.

Một số là chính phương nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng n2n^2n2 với nnn là một số nguyên. Do đó, chúng ta cần tìm xxx sao cho cả hai biểu thức x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 đều là số chính phương.

Bước 1: Đặt phương trình cần giải
Giả sử:
x+4=a2(1)x + 4 = a^2 \quad (1)x+4=a2(1)
x+7=b2(2)x + 7 = b^2 \quad (2)x+7=b2(2)
với aaa và bbb là các số nguyên.

Bước 2: Từ phương trình (1) và (2) tìm mối quan hệ
Từ (1) và (2), chúng ta có:
b2−a2=(x+7)−(x+4)=3b^2 - a^2 = (x + 7) - (x + 4) = 3b2−a2=(x+7)−(x+4)=3
Sử dụng quy tắc hiệu của hai số bình phương, ta có:
(b−a)(b+a)=3(b - a)(b + a) = 3(b−a)(b+a)=3

Bước 3: Giải phương trình (b−a)(b+a)=3(b - a)(b + a) = 3(b−a)(b+a)=3
Ta tìm các cách phân tích số 3 thành tích của hai số nguyên:

b−a=1b - a = 1b−a=1 và b+a=3b + a = 3b+a=3
b−a=3b - a = 3b−a=3 và b+a=1b + a = 1b+a=1
b−a=−1b - a = -1b−a=−1 và b+a=−3b + a = -3b+a=−3
b−a=−3b - a = -3b−a=−3 và b+a=−1b + a = -1b+a=−1
Bước 4: Tìm aaa và bbb từ các trường hợp
Từ b−a=1b - a = 1b−a=1 và b+a=3b + a = 3b+a=3:
2b=4  ⟹  b=22b = 4 \implies b = 22b=4⟹b=2
2a=2  ⟹  a=12a = 2 \implies a = 12a=2⟹a=1
Suy ra:
x+4=12=1  ⟹  x=−3x + 4 = 1^2 = 1 \implies x = -3x+4=12=1⟹x=−3
x+7=22=4x + 7 = 2^2 = 4x+7=22=4
Các trường hợp còn lại:

b−a=3b - a = 3b−a=3 và b+a=1b + a = 1b+a=1 => Vô lý (b quá lớn so với a)
b−a=−1b - a = -1b−a=−1 và b+a=−3b + a = -3b+a=−3 => Vô lý (a, b không hợp lệ)
b−a=−3b - a = -3b−a=−3 và b+a=−1b + a = -1b+a=−1 => Vô lý (a, b không hợp lệ)
Kết luận
Chỉ có trường hợp x=−3x = -3x=−3 là hợp lệ. Khi đó:
x+4=1(1 chıˊnh phương)x + 4 = 1 \quad \text{(1 chính phương)}x+4=1(1 chıˊnh phương)
x+7=4(4 cu˜ng laˋ chıˊnh phương)x + 7 = 4 \quad \text{(4 cũng là chính phương)}x+7=4(4 cu˜ng laˋ chıˊnh phương)

Vì vậy, khi x=−3x = -3x=−3, cả x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 đều là số chính phương. Do đó, điều kiện đã chứng minh thành công.
 

Để chứng minh rằng x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 là hai số chính phương, chúng ta cần viết lại điều kiện chính phương và tiến hành giải.

Một số là chính phương nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng n2n^2n2 với nnn là một số nguyên. Do đó, chúng ta cần tìm xxx sao cho cả hai biểu thức x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 đều là số chính phương.

Bước 1: Đặt phương trình cần giải
Giả sử:
x+4=a2(1)x + 4 = a^2 \quad (1)x+4=a2(1)
x+7=b2(2)x + 7 = b^2 \quad (2)x+7=b2(2)
với aaa và bbb là các số nguyên.

Bước 2: Từ phương trình (1) và (2) tìm mối quan hệ
Từ (1) và (2), chúng ta có:
b2−a2=(x+7)−(x+4)=3b^2 - a^2 = (x + 7) - (x + 4) = 3b2−a2=(x+7)−(x+4)=3
Sử dụng quy tắc hiệu của hai số bình phương, ta có:
(b−a)(b+a)=3(b - a)(b + a) = 3(b−a)(b+a)=3

Bước 3: Giải phương trình (b−a)(b+a)=3(b - a)(b + a) = 3(b−a)(b+a)=3
Ta tìm các cách phân tích số 3 thành tích của hai số nguyên:

b−a=1b - a = 1b−a=1 và b+a=3b + a = 3b+a=3
b−a=3b - a = 3b−a=3 và b+a=1b + a = 1b+a=1
b−a=−1b - a = -1b−a=−1 và b+a=−3b + a = -3b+a=−3
b−a=−3b - a = -3b−a=−3 và b+a=−1b + a = -1b+a=−1
Bước 4: Tìm aaa và bbb từ các trường hợp
Từ b−a=1b - a = 1b−a=1 và b+a=3b + a = 3b+a=3:
2b=4  ⟹  b=22b = 4 \implies b = 22b=4⟹b=2
2a=2  ⟹  a=12a = 2 \implies a = 12a=2⟹a=1
Suy ra:
x+4=12=1  ⟹  x=−3x + 4 = 1^2 = 1 \implies x = -3x+4=12=1⟹x=−3
x+7=22=4x + 7 = 2^2 = 4x+7=22=4
Các trường hợp còn lại:

b−a=3b - a = 3b−a=3 và b+a=1b + a = 1b+a=1 => Vô lý (b quá lớn so với a)
b−a=−1b - a = -1b−a=−1 và b+a=−3b + a = -3b+a=−3 => Vô lý (a, b không hợp lệ)
b−a=−3b - a = -3b−a=−3 và b+a=−1b + a = -1b+a=−1 => Vô lý (a, b không hợp lệ)
Kết luận
Chỉ có trường hợp x=−3x = -3x=−3 là hợp lệ. Khi đó:
x+4=1(1 chıˊnh phương)x + 4 = 1 \quad \text{(1 chính phương)}x+4=1(1 chıˊnh phương)
x+7=4(4 cu˜ng laˋ chıˊnh phương)x + 7 = 4 \quad \text{(4 cũng là chính phương)}x+7=4(4 cu˜ng laˋ chıˊnh phương)

Vì vậy, khi x=−3x = -3x=−3, cả x+4x + 4x+4 và x+7x + 7x+7 đều là số chính phương. Do đó, điều kiện đã chứng minh thành công.