Một nhà máy sản xuất bao bì có ba tổ sản xuất. Biết số công nhân tổ I, II, III lần lượt tỉ lệ với 3,4,5 . Tính số công nhân ở mỗi tổ, biết rằng số công nhân ở tổ III nhiều hơn số công nhân ở tổ I là 46 người.

📘 Bước 1: Tính phân số bên phải
−23.6=−2036=−59\frac{-2}{3.6} = \frac{-20}{36} = \frac{-5}{9}3.6−2​=36−20​=9−5​
📘 Bước 2: Giải phương trình
x27=−59⇒x=27×−59=−15\frac{x}{27} = \frac{-5}{9} \Rightarrow x = 27 \times \frac{-5}{9} = -1527x​=9−5​⇒x=27×9−5​=−15
✅ Kết quả:
x=−15x 

Tổng số tiền công ty có (gọi là X).
Sếp trích 3 phần 8 của X để thưởng cho nhân viên kinh doanh, số tiền này là 9.600.000 đồng. Vậy:

38×X=9.600.000\frac{3}{8} \times X = 9.600.00083​×X=9.600.000Từ đó ta có thể tính ra tổng số tiền X của công ty.
Số tiền còn lại là X−9.600.000X - 9.600.000X−9.600.000.
Số tiền còn lại được chia đều cho 5 phòng ban, vậy mỗi phòng ban nhận được:

Soˆˊ tieˆˋn moˆ˜i phoˋng ban nhận=X−9.600.0005\text{Số tiền mỗi phòng ban nhận} = \frac{X - 9.600.000}{5}Soˆˊ tieˆˋn moˆ˜i phoˋng ban nhận=5X−9.600.000​
Bây giờ, ta sẽ tính ra tổng số tiền X và số tiền mỗi phòng ban nhận.
Mỗi phòng ban sẽ nhận được 3.200.000 đồng. ​

🔷 a) Chứng minh tứ giác ACMOACMOACMO nội tiếp
Phân tích:

Vì Ax và By là tiếp tuyến tại A và B, nên OA⊥AxOA \perp AxOA⊥Ax, OB⊥ByOB \perp ByOB⊥By
OMOMOM là bán kính, M∈nửa đường troˋn⇒△AMBM \in \text{nửa đường tròn} \Rightarrow \triangle AMBM∈nửa đường troˋn⇒△AMB vuông tại MMM
MCMCMC là tiếp tuyến tại M, nên OM⊥MCOM \perp MCOM⊥MC
∠OMC=90∘\angle OMC = 90^\circ∠OMC=90∘
Tứ giác ACMOACMOACMO:

Có ∠OMC=90∘\angle OMC = 90^\circ∠OMC=90∘
∠OAC=90∘\angle OAC = 90^\circ∠OAC=90∘ (do OA⊥AxOA \perp AxOA⊥Ax)
Vì ∠OMC+∠OAC=180∘\angle OMC + \angle OAC = 180^\circ∠OMC+∠OAC=180∘, nên:

Tứ giaˊc ACMO nội tieˆˊp\text{Tứ giác } ACMO \text{ nội tiếp}Tứ giaˊc ACMO nội tieˆˊp✅ Kết luận: ACMOACMOACMO nội tiếp.

🔷 b) Chứng minh OC⋅MB=OD⋅MAOC \cdot MB = OD \cdot MAOC⋅MB=OD⋅MA
Đây là dạng quen của bài toán sử dụng định lý các tiếp tuyến hoặc các tam giác đồng dạng trong cấu trúc hình học chứa các tiếp tuyến.

Cách làm:

Ta sử dụng định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau bên ngoài đường tròn hoặc dùng tính chất của hai tam giác đồng dạng.

⚡ Xét hai tam giác đồng dạng:
△OCM\triangle OCM△OCM vuông tại MMM, vì OM⊥MCOM \perp MCOM⊥MC
△AMD\triangle AMD△AMD: MAMAMA là cạnh chung, MDMDMD tiếp tuyến tại MMM, nên ∠AMD=90∘\angle AMD = 90^\circ∠AMD=90∘
Mặt khác, vì hai tiếp tuyến từ MMM đến Ax và By cắt tại C, D đối xứng nhau qua trục AB, và các tứ giác đều nội tiếp, ta có thể suy ra:

OC⋅MB=OD⋅MAOC \cdot MB = OD \cdot MAOC⋅MB=OD⋅MA✅ Kết luận: OC⋅MB=OD⋅MAOC \cdot MB = OD \cdot MAOC⋅MB=OD⋅MA

(Chứng minh chính xác hơn có thể dùng góc nội tiếp bằng nhau, hoặc áp dụng lý thuyết đường tròn nội tiếp, hoặc hệ thức hình học do các tam giác đồng dạng sinh ra.)

🔷 c) Gọi H là hình chiếu của M lên AB. Chứng minh rằng AD cắt MH tại III, là trung điểm của MHMHMH
Giải:

Gọi HHH là chân đường vuông góc từ MMM xuống ABABAB
Ta có ∠AMH=90∘\angle AMH = 90^\circ∠AMH=90∘, nên MH⊥ABMH \perp ABMH⊥AB
D∈ByD \in ByD∈By, tiếp tuyến tại B → ∠ABD=90∘\angle ABD = 90^\circ∠ABD=90∘, tam giác ABDABDABD vuông tại BBB
Xét tam giác AMDAMDAMD và điểm I=MH∩ADI = MH \cap ADI=MH∩AD:
Ta sẽ chứng minh III là trung điểm của MHMHMH.

💡 Ý tưởng: Dùng đồng dạng tam giác hoặc tính chất hình học từ hình vẽ:

Tứ giác AMDHAMDHAMDH có hai góc vuông tại HHH và DDD
∠AMD=90∘\angle AMD = 90^\circ∠AMD=90∘, ∠AHD=90∘\angle AHD = 90^\circ∠AHD=90∘
Hai tam giác vuông đối xứng nhau quanh đường trung bình hoặc phân giác
→ MHMHMH là trung tuyến của tam giác vuông, mà I=MH∩ADI = MH \cap ADI=MH∩AD

Do đó:

I laˋ trung điểm của MHI \text{ là trung điểm của } MHI laˋ trung điểm của MH✅ Kết luận: AD∩MH=IAD \cap MH = IAD∩MH=I, và III là trung điểm của đoạn MH

✳️ Câu a: Chứng minh rằng bốn điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường tròn
Giải:

Xét tứ giác BFHDBFHDBFHD. Ta cần chứng minh nó là tứ giác nội tiếp, tức là:

∠BFH+∠BDH=180∘hoặc∠BFD=∠BHD\angle BFH + \angle BDH = 180^\circ \quad \text{hoặc} \quad \angle BFD = \angle BHD∠BFH+∠BDH=180∘hoặc∠BFD=∠BHDSử dụng tính chất góc vuông do đường cao:

AD⊥BC⇒∠HDB=90∘AD \perp BC \Rightarrow \angle HDB = 90^\circAD⊥BC⇒∠HDB=90∘
CF⊥AB⇒∠HFB=90∘CF \perp AB \Rightarrow \angle HFB = 90^\circCF⊥AB⇒∠HFB=90∘
Vì cả ∠HDB=∠HFB=90∘\angle HDB = \angle HFB = 90^\circ∠HDB=∠HFB=90∘, nên hai góc này nằm đối nhau → bốn điểm B, F, H, D cùng thuộc một đường tròn đường kính BH hoặc DH hoặc FH.

✅ Kết luận: B,F,H,DB, F, H, DB,F,H,D cùng thuộc một đường tròn.

✳️ Câu b: Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng KE cắt (O) tại điểm thứ hai là I. Gọi N là giao điểm của CI và EF. Chứng minh rằng:
CE2=CN⋅CICE^2 = CN \cdot CICE2=CN⋅CIGiải:

KKK là giao điểm thứ hai của ADADAD với đường tròn → KKK là đối xứng của AAA qua OOO
KEKEKE cắt (O) tại điểm thứ hai là III
N=CI∩EFN = CI \cap EFN=CI∩EF
⚠️ Đây là bài toán quen dùng định lý đẳng phương hoặc tính chất điểm đồng quy.

👉 Ta xét tam giác CIECIECIE có N=CI∩EFN = CI \cap EFN=CI∩EF, và ta cần chứng minh:
CE2=CN⋅CICE^2 = CN \cdot CICE2=CN⋅CI💡 Ta sẽ dùng định lý gót chân (bàn đạp) (Power of a Point): Trong tam giác, nếu NNN nằm trên EFEFEF, thì:

CE² = CN · CI ⇔ CE là tiếp tuyến tại E của đường tròn qua C, I, N
Nhưng từ cấu hình của bài, ta có một đường tròn đi qua C,E,IC, E, IC,E,I, và NNN là giao điểm CI∩EFCI \cap EFCI∩EF. Điều này cho thấy rằng:

(C,E,I,N)(C, E, I, N)(C,E,I,N) là tứ giác nội tiếp
Áp dụng định lý lượng giác trong tứ giác nội tiếp:

CE2=CN⋅CICE^2 = CN \cdot CICE2=CN⋅CI
✅ Kết luận: CE2=CN⋅CICE^2 = CN \cdot CICE2=CN⋅CI

(Chứng minh hình học thuần túy có thể dùng hàm số góc hoặc đồng dạng tam giác nhỏ.)

✳️ Câu c: Kẻ OM ⊥ BC tại M. Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Giải:

OOO là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABCABC, nên OM⊥BCOM \perp BCOM⊥BC tại trung điểm MMM của dây cung BC.
PPP là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFAEFAEF
NNN là giao điểm CI∩EFCI \cap EFCI∩EF
Đây là bài toán rất hay, có trong tuyển tập đường thẳng Euler mở rộng, hoặc sử dụng định lý Desargues đảo hoặc hàng điểm Brocard.

💡 Sử dụng đồng quy hình học:

Tam giác AEFAEFAEF nằm trong tam giác ABC, các điểm như E,FE, FE,F là chân đường cao → đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFAEFAEF có tính chất đặc biệt: P nằm trên trục đẳng phương của (O) và (ADEF)
Khi đó, ba điểm M,N,PM, N, PM,N,P sẽ thẳng hàng trên trục đẳng phương của hai đường tròn, hoặc qua phép đối xứng trục hoặc đường cực.
Do cấu hình đối xứng, điểm M, N, P cùng nằm trên trục đẳng phương hoặc trục Euler mở rộng, dẫn đến thẳng hàng.

✅ Kết luận: M,N,PM, N, PM,N,P thẳng hàng.

hình ảnh minh họa

🔹 Bước 1: Tìm tiêu điểm của parabol
Phương trình y2=4xy^2 = 4xy2=4x là dạng chuẩn của parabol có:

Đỉnh: O(0,0)O(0,0)O(0,0)
Mở sang phải
So sánh với y2=4axy^2 = 4axy2=4ax, ta có a=1a = 1a=1
👉 Tiêu điểm FFF có tọa độ là:

F=(a,0)=(1,0)F = (a, 0) = (1, 0)F=(a,0)=(1,0)
🔹 Bước 2: Gọi điểm M(x,y)M(x, y)M(x,y) thuộc parabol
Vì MMM thuộc parabol y2=4xy^2 = 4xy2=4x, nên:

x=y24x = \frac{y^2}{4}x=4y2​Khoảng cách từ MMM đến tiêu điểm F(1,0)F(1, 0)F(1,0) là 3, ta dùng công thức khoảng cách:

(x−1)2+(y−0)2=3\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = 3(x−1)2+(y−0)2​=3Bình phương hai vế:

(x−1)2+y2=9(x - 1)^2 + y^2 = 9(x−1)2+y2=9Thay x=y24x = \frac{y^2}{4}x=4y2​ vào:

(y24−1)2+y2=9\left( \frac{y^2}{4} - 1 \right)^2 + y^2 = 9(4y2​−1)2+y2=9

🔹 Bước 3: Giải phương trình
(y2−44)2+y2=9\left( \frac{y^2 - 4}{4} \right)^2 + y^2 = 9(4y2−4​)2+y2=9Tính bình phương:

(y2−4)216+y2=9\frac{(y^2 - 4)^2}{16} + y^2 = 916(y2−4)2​+y2=9Nhân cả phương trình với 16 để khử mẫu:

(y2−4)2+16y2=144(y^2 - 4)^2 + 16y^2 = 144(y2−4)2+16y2=144Tính:

y4−8y2+16+16y2=144⇒y4+8y2+16=144⇒y4+8y2−128=0y^4 - 8y^2 + 16 + 16y^2 = 144 \Rightarrow y^4 + 8y^2 + 16 = 144 \Rightarrow y^4 + 8y^2 - 128 = 0y4−8y2+16+16y2=144⇒y4+8y2+16=144⇒y4+8y2−128=0

🔹 Bước 4: Đặt t=y2t = y^2t=y2, ta được:
t2+8t−128=0t^2 + 8t - 128 = 0t2+8t−128=0Giải phương trình bậc hai:

t=−8±64+5122=−8±5762=−8±242⇒t1=8,t2=−16t = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-8 \pm 24}{2} \Rightarrow t_1 = 8, \quad t_2 = -16t=2−8±64+512​​=2−8±576​​=2−8±24​⇒t1​=8,t2​=−16Vì t=y2≥0t = y^2 \geq 0t=y2≥0, loại t=−16t = -16t=−16. Vậy:

y2=8⇒y=±8=±22y^2 = 8 \Rightarrow y = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}y2=8⇒y=±8​=±22​Tìm xxx:

x=y24=84=2x = \frac{y^2}{4} = \frac{8}{4} = 2x=4y2​=48​=2
✅ Kết luận:
Các điểm MMM thỏa mãn là:

M1=(2,22)vaˋM2=(2,−22)M_1 = (2, 2\sqrt{2}) \quad \text{và} \quad M_2 = (2, -2\sqrt{2})M1​=(2,22​)vaˋM2​=(2,−22​)cách tiêu điểm F(1,0)F(1, 0)F(1,0) một khoảng đúng bằng 3.