a. Chứng minh: $\Delta ABC$ đồng dạng  $\Delta HBA$ và   $A{B}^2=BC.BH$

Vì AH là đường cao (gt) nên   

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

  $\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90°$

 $\hat{B}$ chung

 $\Rightarrow \Delta ABC~\Delta HBA(g.g)$ 

$\Rightarrow \frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$  (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 $\iff A{B}^2=BC.BH$

b. Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính DC và AD.

Xét  $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có:

 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ (định lí Pitago)

Mà AB = 9cm, BC = 15cm nên ta được:

$A{C}^2={15}^2-9^2=225-81=144$  

$\Rightarrow AC=12cm$  

Gọi độ dài AD là x (cm). Mà   $AD + DC = 12\left(cm\right)$

Ta được: DC = 12 – x (cm)

Vì BD là tia phân giác của góc  $\hat{B}$ (gt) nên ta có:

  $\iff \frac{x}{9}=\frac{12-x}{15}$

  $\iff 15x=108-9x$

  $\iff 24x=108$

  $\iff x=4,5$

Vậy độ dài đoạn AD = 4,5 cm, DC = 12-4,5 = 7,5 cm.

c. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh :  $\widehat{BIH}=\widehat{ACB}$

Chứng minh :   $\Delta BEH~\Delta AEI(g.g)$

Chứng minh:   $\Delta AEB~\Delta IEH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{EIH}$

Mà  $\widehat{BAE}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC~\Delta HBA(g.g)$ )

  $\Rightarrow \widehat{BIH}=\widehat{ACB}$

Chứng minh: ΔABCΔABC đồng dạng  ΔHBAΔHBA và   AB2=BC.BHAB2=BC.BH

Vì AH là đường cao (gt) nên   

Xét ΔABCΔABC và ΔHBAΔHBA có:

  ˆBAC=ˆBHA=90°BAC^=BHA^=90°

 ˆBB^ chung

 ⇒ΔABC~ΔHBA(g.g)⇒ΔABC~ΔHBA(g.g) 

⇒ABHB=BCBA⇒ABHB=BCBA  (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 ⇔AB2=BC.BH⇔AB2=BC.BH

b. Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính DC và AD.

Xét  ΔABCΔABC vuông tại A, ta có:

 AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2 (định lí Pitago)

Mà AB = 9cm, BC = 15cm nên ta được:

AC2=152−92=225−81=144AC2=152-92=225-81=144  

⇒AC=12cm⇒AC=12cm  

Gọi độ dài AD là x (cm). Mà   AD + DC = 12(cm)AD + DC = 12(cm)

Ta được: DC = 12 – x (cm)

Vì BD là tia phân giác của góc  ˆBB^ (gt) nên ta có:

  ⇔x9=12−x15⇔x9=12-x15

  ⇔15x=108−9x⇔15x=108-9x

  ⇔24x=108⇔24x=108

  ⇔x=4,5⇔x=4,5

Vậy độ dài đoạn AD = 4,5 cm, DC = 12-4,5 = 7,5 cm.

c. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh :  ˆBIH=ˆACBBIH^=ACB^

Chứng minh :   ΔBEH~ΔAEI(g.g)ΔBEH~ΔAEI(g.g)

Chứng minh:   ΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒ˆBAE=ˆEIHΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒BAE^=EIH^

Mà  ˆBAE=ˆACBBAE^=ACB^ (vì ΔABC~ΔHBA(g.g)ΔABC~ΔHBA(g.g) )

  ⇒ˆBIH=ˆACB

Chứng minh: ΔABCΔABC đồng dạng  ΔHBAΔHBA và   AB2=BC.BHAB2=BC.BH

Vì AH là đường cao (gt) nên   

Xét ΔABCΔABC và ΔHBAΔHBA có:

  ˆBAC=ˆBHA=90°BAC^=BHA^=90°

 ˆBB^ chung

 ⇒ΔABC~ΔHBA(g.g)⇒ΔABC~ΔHBA(g.g) 

⇒ABHB=BCBA⇒ABHB=BCBA  (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 ⇔AB2=BC.BH⇔AB2=BC.BH

b. Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính DC và AD.

Xét  ΔABCΔABC vuông tại A, ta có:

 AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2 (định lí Pitago)

Mà AB = 9cm, BC = 15cm nên ta được:

AC2=152−92=225−81=144AC2=152-92=225-81=144  

⇒AC=12cm⇒AC=12cm  

Gọi độ dài AD là x (cm). Mà   AD + DC = 12(cm)AD + DC = 12(cm)

Ta được: DC = 12 – x (cm)

Vì BD là tia phân giác của góc  ˆBB^ (gt) nên ta có:

  ⇔x9=12−x15⇔x9=12-x15

  ⇔15x=108−9x⇔15x=108-9x

  ⇔24x=108⇔24x=108

  ⇔x=4,5⇔x=4,5

Vậy độ dài đoạn AD = 4,5 cm, DC = 12-4,5 = 7,5 cm.

c. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh :  ˆBIH=ˆACBBIH^=ACB^

Chứng minh :   ΔBEH~ΔAEI(g.g)ΔBEH~ΔAEI(g.g)

Chứng minh:   ΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒ˆBAE=ˆEIHΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒BAE^=EIH^

Mà  ˆBAE=ˆACBBAE^=ACB^ (vì ΔABC~ΔHBA(g.g)ΔABC~ΔHBA(g.g) )

  ⇒ˆBIH=ˆACB

Chứng minh: ΔABCΔABC đồng dạng  ΔHBAΔHBA và   AB2=BC.BHAB2=BC.BH

Vì AH là đường cao (gt) nên   

Xét ΔABCΔABC và ΔHBAΔHBA có:

  ˆBAC=ˆBHA=90°BAC^=BHA^=90°

 ˆBB^ chung

 ⇒ΔABC~ΔHBA(g.g)⇒ΔABC~ΔHBA(g.g) 

⇒ABHB=BCBA⇒ABHB=BCBA  (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

 ⇔AB2=BC.BH⇔AB2=BC.BH

b. Biết AB = 9cm, BC = 15cm. Tính DC và AD.

Xét  ΔABCΔABC vuông tại A, ta có:

 AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2 (định lí Pitago)

Mà AB = 9cm, BC = 15cm nên ta được:

AC2=152−92=225−81=144AC2=152-92=225-81=144  

⇒AC=12cm⇒AC=12cm  

Gọi độ dài AD là x (cm). Mà   AD + DC = 12(cm)AD + DC = 12(cm)

Ta được: DC = 12 – x (cm)

Vì BD là tia phân giác của góc  ˆBB^ (gt) nên ta có:

  ⇔x9=12−x15⇔x9=12-x15

  ⇔15x=108−9x⇔15x=108-9x

  ⇔24x=108⇔24x=108

  ⇔x=4,5⇔x=4,5

Vậy độ dài đoạn AD = 4,5 cm, DC = 12-4,5 = 7,5 cm.

c. Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh :  ˆBIH=ˆACBBIH^=ACB^

Chứng minh :   ΔBEH~ΔAEI(g.g)ΔBEH~ΔAEI(g.g)

Chứng minh:   ΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒ˆBAE=ˆEIHΔAEB~ΔIEH(c.g.c)⇒BAE^=EIH^

Mà  ˆBAE=ˆACBBAE^=ACB^ (vì ΔABC~ΔHBA(g.g)ΔABC~ΔHBA(g.g) )

  ⇒ˆBIH=ˆACB