Cho pt x² – 2mx + 2m – 3=0a) CM pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi mb) Tìm m

Slo Ks Hỏi từ APP VIETJACK

· 13:09 10/05/2024

Cho pt x² – 2mx + 2m – 3=0
a) CM pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 236

Phạm Thị Huyền

1 năm trước

a) Để chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $ m $, ta sử dụng Định lí giá trị trung bình cho hàm số:

Nếu $ f(x) $ liên tục trên đoạn $ [a, b] $ và $ f(a) $ và $ f(b) $ trái dấu, thì tồn tại $ c $ thuộc $ (a, b) $ sao cho $ f(c) = 0 $.

Ứng dụng định lí này vào phương trình $ x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 $, ta thấy rằng khi $ m $ thay đổi, đồng thời $ 2m - 3 $ cũng thay đổi, và hai giá trị này có thể cùng dấu hoặc trái dấu. Tùy thuộc vào dấu của $ 2m - 3 $, ta có thể kỳ vọng sẽ có hai nghiệm phân biệt hoặc không.

b) Để tìm $ m $ sao cho $ x_1^2 + x_2^2 $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:

$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $

Theo định lí Viete, nếu $ x_1 $ và $ x_2 $ là nghiệm của phương trình $ x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 $, thì $ x_1 + x_2 = 2m $ và $ x_1x_2 = 2m - 3 $.

Do đó, $ x_1^2 + x_2^2 = (2m)^2 - 2(2m - 3) = 4m^2 - 4m + 6 $.

Để $ x_1^2 + x_2^2 $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ 4m^2 - 4m + 6 $.

Ta có $ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 16 - 96 = -80 $, vì $ \Delta < 0 $, nên hàm số không có điểm cực trị.

Vậy không có giá trị nhỏ nhất cho $ x_1^2 + x_2^2 $.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

ĄŖʏĄ İŞ ɱʏ WĄîfu

1 năm trước

a) Để chứng minh rằng phương trình $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta sẽ sử dụng định lý về delta của phương trình bậc 2.

Phương trình $x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 1$, $b = -2m$, $c = 2m - 3$.

Delta của phương trình bậc 2 được tính bằng công thức: $\Delta = b^2 - 4ac$.

Đặt $\Delta = (-2m)^2 - 4*1*(2m - 3) = 4m^2 - 8m + 12$.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$.

Ta có: $\Delta = 4m^2 - 8m + 12 = 4(m^2 - 2m + 3) = 4((m-1)^2 + 2) > 0$ với mọi m.

Vậy, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Để tìm m sao cho $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng quy tắc Vi-ét.

Theo quy tắc Vi-ét, ta có:
- $x_1 + x_2 = 2m$
- $x_1x_2 = 2m - 3$

Ta cần tìm m sao cho $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2m)^2 - 2(2m - 3) = 4m^2 - 8m + 12$.

Để $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $4m^2 - 8m + 12$.

Đạo hàm của $4m^2 - 8m + 12$ theo m là $8m - 8$.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta giải phương trình $8m - 8 = 0$ => $m = 1$.