Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định giá trị cực đại $y_{\text{cđ}}$ và giá trị cực tiểu $y_{\text{ct}}$ của hàm số, sau đó thỏa mãn điều kiện $2y_{\text{cđ}} + y_{\text{ct}} = 4$.

Đầu tiên, ta viết lại hàm số:
$y = x^3 - \frac{3}{2}(m-2)x^2 - 3(m-1)x + 1$

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**
$y' = 3x^2 - 3(m-2)x - 3(m-1)$

2. **Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:**
$3x^2 - 3(m-2)x - 3(m-1) = 0$
$x^2 - (m-2)x - (m-1) = 0$

Ta giải phương trình bậc hai này để tìm các nghiệm:
$\Delta = (m-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -(m-1) = m^2 - 4m + 4 + 4(m-1) = m^2$
$x_{1,2} = \frac{m-2 \pm m}{2} = \left\{ 0, m-1 \right\}$

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn $x = 0$ và $x = m-1$:**

Tại $x = 0$:
$y(0) = 0^3 - \frac{3}{2}(m-2) \cdot 0^2 - 3(m-1) \cdot 0 + 1 = 1$

Tại $x = m-1$:
$y(m-1) = (m-1)^3 - \frac{3}{2}(m-2)(m-1)^2 - 3(m-1)^2 + 1$

4. **Xác định giá trị cực đại $y_{\text{cđ}}$ và cực tiểu $y_{\text{ct}}$:**

Giả sử $y(0) = 1$ là giá trị cực đại $y_{\text{cđ}}$, thì:
$2y_{\text{cđ}} + y_{\text{ct}} = 4$
$2 \cdot 1 + y(m-1) = 4$
$y(m-1) = 4 - 2 = 2$

Giải $y(m-1) = 2$:
$(m-1)^3 - \frac{3}{2}(m-2)(m-1)^2 - 3(m-1)^2 + 1 = 2$
$(m-1)^3 - \frac{3}{2}(m-2)(m-1)^2 - 3(m-1)^2 = 1$

Bây giờ ta giải phương trình trên để tìm $m$.

5. **Kết luận:**

Số giá trị $m > 0$ thỏa mãn điều kiện $2y_{\text{cđ}} + y_{\text{ct}} = 4$ là bao nhiêu? Để giải phương trình này, ta cần tìm nghiệm của phương trình $(m-1)^3 - \frac{3}{2}(m-2)(m-1)^2 - 3(m-1)^2 = 1$.

Giải phương trình này là một công việc phức tạp và có thể yêu cầu sử dụng phần mềm để tìm các nghiệm cụ thể. Tuy nhiên, số giá trị $m > 0$ thỏa mãn điều kiện trên sẽ là số nghiệm của phương trình này.

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x - \sin(2x)$ trên đoạn $[0, \pi]$, ta tiến hành các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$:**
$f'(x) = 1 - 2\cos(2x)$

2. **Tìm các điểm mà tại đó $f'(x) = 0$:**
$1 - 2\cos(2x) = 0$
$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Ta giải phương trình này:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trên đoạn $[0, \pi]$, các giá trị thỏa mãn là:
$x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6}$

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm tìm được và các biên của đoạn:**
$f(0) = 0 - \sin(0) = 0$
$f(\pi) = \pi - \sin(2\pi) = \pi$
$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} - \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

4. **So sánh các giá trị tìm được:**

- $f(0) = 0$
- $f(\pi) = \pi$
- $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

So sánh:
$\frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (lớn nhất)}$
$\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ (nhỏ nhất)}$
$\pi > \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$0 < \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x - \sin(2x)$ trên đoạn $[0, \pi]$ là $\pi$, và giá trị nhỏ nhất là $0$.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, \pi]$ là $\pi$.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0, \pi]$ là $0$.

Để hàm số $y = \frac{2x^2 + 2x - 1 - 5m}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$, ta cần điều kiện đạo hàm của hàm số này phải âm trên khoảng $(1, 5)$.

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:
Đặt $f(x) = 2x^2 + 2x - 1 - 5m$ và $g(x) = x - m$, ta có:
$y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số, ta có:
$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Ta tính $f'(x)$ và $g'(x)$:
$f'(x) = 4x + 2$
$g'(x) = 1$

Thay vào biểu thức đạo hàm:
$y' = \frac{(4x + 2)(x - m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m)}{(x - m)^2}$

2. **Rút gọn biểu thức đạo hàm**:
Ta tính $(4x + 2)(x - m)$:
$(4x + 2)(x - m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m$

Tiếp theo, trừ biểu thức $2x^2 + 2x - 1 - 5m$:
$(4x^2 - 4xm + 2x - 2m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m - 2x^2 - 2x + 1 + 5m$
$= 2x^2 - 4xm + 3m + 1$

Do đó, đạo hàm trở thành:
$y' = \frac{2x^2 - 4xm + 3m + 1}{(x - m)^2}$

3. **Điều kiện để hàm số nghịch biến**:
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$, ta cần:
$y' < 0 \text{ trên } (1, 5)$

Vì $(x - m)^2$ luôn dương trên khoảng $(1, 5)$ nếu $m \notin [1, 5]$, ta chỉ cần xét điều kiện tử số âm:
$2x^2 - 4xm + 3m + 1 < 0 \text{ trên } (1, 5)$

4. **Tìm giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện**:
Giả sử $x$ ở hai biên của khoảng $1 \leq x \leq 5$, ta xét điều kiện tại các điểm biên:
$2(1)^2 - 4(1)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 2 - m + 1 < 0 \Rightarrow 3 < m \Rightarrow m > 3$
$2(5)^2 - 4(5)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 50 - 17m + 1 < 0 \Rightarrow 51 < 17m \Rightarrow m > 3$

Từ hai điều kiện này, ta thấy $m > 3$.

5. **Tìm giá trị $m$ nguyên dương nhỏ hơn 2024**:
Ta cần tìm các giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn $m > 3$ và $m < 2024$.

Các giá trị nguyên dương của $m$ từ 4 đến 2023. Số lượng các giá trị này là:
$2023 - 4 + 1 = 2020$

Do đó, có $\boxed{2020}$ giá trị nguyên dương của $m$ nhỏ hơn 2024 sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$.

Để xác định tập các giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y = x^3 - 3(m-1)x^2 - 3(m+1)x + 3$ có hai điểm cực trị $A, B$ và $O, A, B$ thẳng hàng, ta tiến hành các bước như sau:

1. **Xác định điểm cực trị của hàm số**:
Hàm số $y = f(x) = x^3 - 3(m-1)x^2 - 3(m+1)x + 3$.

Ta tính đạo hàm bậc nhất:
$f'(x) = 3x^2 - 6(m-1)x - 3(m+1)$

Để hàm số có cực trị, phương trình $f'(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt:
$3x^2 - 6(m-1)x - 3(m+1) = 0$
Chia cả hai vế cho 3:
$x^2 - 2(m-1)x - (m+1) = 0$
$x^2 - 2(m-1)x - (m+1) = 0$

2. **Điều kiện có hai nghiệm phân biệt**:
Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta cần:
$\Delta = [2(m-1)]^2 + 4(m+1) > 0$
$4(m-1)^2 + 4(m+1) > 0$
$4[(m-1)^2 + (m+1)] > 0$
$(m-1)^2 + m + 1 > 0$

Đây là một bất phương trình luôn đúng với mọi giá trị của $m$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

3. **Tính hai nghiệm của phương trình**:
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$x_1, x_2 = \frac{2(m-1) \pm \sqrt{(2(m-1))^2 + 4(m+1)}}{2} = (m-1) \pm \sqrt{m^2 - 2m + 1 + m + 1}$
$= (m-1) \pm \sqrt{m^2 - m + 2}$

4. **Điểm cực trị $O, A, B$ thẳng hàng**:
Để $O, A, B$ thẳng hàng, ta cần điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt đối nhau:
$\frac{f(x_1) - f(0)}{x_1 - 0} = \frac{f(x_2) - f(0)}{x_2 - 0}$
$\Leftrightarrow (m-1) - \sqrt{m^2 - m + 2} + (m-1) + \sqrt{m^2 - m + 2} = 0$
$\Rightarrow -\sqrt{m^2 - m + 2} + \sqrt{m^2 - m + 2} = 0$

Để các nghiệm đối nhau thì giá trị của $m$ cần thỏa mãn phương trình:
$m - 1 = 0$
$m = 1$

Vậy, giá trị $m$ duy nhất thỏa mãn điều kiện là $m = 1$.

**Tổng các phần tử của $S$ là**:
$\boxed{1}$

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán với đa thức $M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - (x^2 + xy - 2y^2)$.

### A) Thu gọn đa thức $M$

1. **Phân tích đa thức $M$**:
$M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - (x^2 + xy - 2y^2)$

2. **Phân phối dấu trừ trong dấu ngoặc**:
$M = 5x^2 - 11xy + 7y^2 - x^2 - xy + 2y^2$

3. **Nhóm các hạng tử đồng dạng lại**:
$M = (5x^2 - x^2) + (-11xy - xy) + (7y^2 + 2y^2)$

4. **Thực hiện các phép tính**:
$M = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

Vậy, đa thức thu gọn của $M$ là:
$M = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

### B) Chứng minh $M \geq 0$

Để chứng minh $M \geq 0$, ta sẽ cố gắng đưa $M$ về dạng bình phương của một đa thức.

1. **Xét đa thức đã thu gọn**:
$M = 4x^2 - 12xy + 9y^2$

2. **Viết lại đa thức dưới dạng bình phương hoàn chỉnh**:
$M = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2$

3. **Nhận thấy rằng**:
$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = (2x - 3y)^2$

Vậy:
$M = (2x - 3y)^2$

4. **Bình phương của một biểu thức luôn không âm**:
$(2x - 3y)^2 \geq 0 \text{ for all } x \text{ and } y$

Do đó:
$M \geq 0$

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng $M \geq 0$.

Để tìm xác suất bị bệnh khi test dương tính (còn gọi là xác suất hậu nghiệm hoặc xác suất dương tính thật sự), chúng ta có thể sử dụng định lý Bayes. Các biến số được sử dụng trong bài toán này như sau:

- $P(B)$: Tỷ lệ hiện mắc bệnh trong quần thể, hay xác suất tiền nghiệm (prior probability) = 0.10
- $P(D^+ | B^+)$: Xác suất của kết quả dương tính khi bị bệnh, hay độ nhạy (sensitivity) = 1 - xác suất dương tính giả = 1 - 0.08 = 0.92

Chúng ta cần tìm $P(B^+ | D^+)$, xác suất bị bệnh khi test dương tính (posterior probability).

Theo định lý Bayes:
$P(B^+ | D^+) = \frac{P(D^+ | B^+) \cdot P(B^+)}{P(D^+)}$

Trong đó, $P(D^+)$ là xác suất có kết quả test dương tính, có thể được tính bằng:
$P(D^+) = P(D^+ | B^+) \cdot P(B^+) + P(D^+ | B^-) \cdot P(B^-)$

Biết rằng:
- $P(B^+)$ = 0.10
- $P(B^-)$ = 1 - $P(B^+)$ = 0.90
- $P(D^+ | B^-)$ = 1 - specificity (độ đặc hiệu) = 0.08

Tính $P(D^+)$:
$P(D^+) = P(D^+ | B^+) \cdot P(B^+) + P(D^+ | B^-) \cdot P(B^-)$
$P(D^+) = 0.92 \cdot 0.10 + 0.08 \cdot 0.90$
$P(D^+) = 0.092 + 0.072 = 0.164$

Bây giờ tính $P(B^+ | D^+)$:
$P(B^+ | D^+) = \frac{P(D^+ | B^+) \cdot P(B^+)}{P(D^+)}$
$P(B^+ | D^+) = \frac{0.92 \cdot 0.10}{0.164}$
$P(B^+ | D^+) = \frac{0.092}{0.164} \approx 0.56098 \approx 0.56$

Vậy đáp án gần nhất là 0.58. Do đó, xác suất bị bệnh khi test dương tính là:

B. 0.58

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán như sau:

### Phần a

Câu a yêu cầu xác định $x$ để điều kiện sau đúng:

$x = 3 \Rightarrow x > 2$

Điều này rõ ràng đúng vì khi $x = 3$, thì $x > 2$. Vậy điều kiện này luôn đúng với $x = 3$.

### Phần b

Câu b yêu cầu xác định $x$ để điều kiện sau đúng:

$x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Rightarrow (x \neq 1 \text{ hoặc } x \neq 3)$

Ta sẽ giải quyết từng phần của bất đẳng thức:

1. **Phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$:**

Giải phương trình bậc hai này:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Ta có phương trình trên dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $a = 1$, $b = -4$, và $c = 3$. Để giải phương trình này, chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Thay các giá trị $a, b, c$ vào, ta được:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 2}{2}$

Do đó, ta có hai nghiệm:

$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$
$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$

Như vậy, nghiệm của phương trình là $x = 3$ và $x = 1$.

2. **Điều kiện $x^2 - 4x + 3 \neq 0$:**

Phương trình này khác không khi $x$ không bằng nghiệm của nó, tức là $x \neq 3$ và $x \neq 1$.

Vậy điều kiện cần là:

$x \neq 1 \text{ và } x \neq 3$

3. **Điều kiện $x \neq 1 \text{ hoặc } x \neq 3$:**

Biểu thức này có nghĩa là $x$ chỉ cần khác một trong hai giá trị $1$ hoặc $3$. Tuy nhiên, điều này không đủ để đảm bảo rằng $x^2 - 4x + 3 \neq 0$ vì $x$ vẫn có thể bằng một trong hai giá trị còn lại. Ví dụ:

- Nếu $x = 1$, thì $x \neq 3$ đúng, nhưng phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ vẫn không thỏa mãn.
- Nếu $x = 3$, thì $x \neq 1$ đúng, nhưng phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ vẫn không thỏa mãn.

Do đó, điều kiện đúng là:

$x \neq 1 \text{ và } x \neq 3$

Vậy câu b là sai vì cần cả hai điều kiện $x \neq 1 \text{ và } x \neq 3$ cùng xảy ra, không phải chỉ một trong hai.

Giải phương trình sau:

a) $\frac{X - 1}{2} - \frac{X - 3}{5} = 0$

b) $2X - 1 - 3X + 3 = 0$

### a) $\frac{X - 1}{2} - \frac{X - 3}{5} = 0$

Để giải phương trình này, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Quy đồng mẫu số:
$\frac{X - 1}{2} - \frac{X - 3}{5} = 0$
Ta có mẫu chung là $10$, do đó:
$\frac{5(X - 1)}{10} - \frac{2(X - 3)}{10} = 0$

2. Kết hợp các phân số lại với nhau:
$\frac{5(X - 1) - 2(X - 3)}{10} = 0$

3. Loại mẫu số (vì mẫu số khác 0):
$5(X - 1) - 2(X - 3) = 0$

4. Mở ngoặc và thu gọn biểu thức:
$5X - 5 - 2X + 6 = 0$
$3X + 1 = 0$

5. Giải phương trình:
$3X = -1$
$X = -\frac{1}{3}$

### b) $2X - 1 - 3X + 3 = 0$

Để giải phương trình này, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Thu gọn biểu thức:
$2X - 3X - 1 + 3 = 0$
$-X + 2 = 0$

2. Giải phương trình:
$-X = -2$
$X = 2$

Vậy nghiệm của các phương trình là:

a) $X = -\frac{1}{3}$

b) $X = 2$

Để giải quyết vấn đề này, ta sẽ phân tích từng bước như sau:

1. **Hàm số g(x)** được xác định là $g(x) = f(x^2)$. Để tìm điểm cực trị của hàm số này, ta cần tính đạo hàm của nó và xem xét các điểm mà đạo hàm bằng 0.

2. Đạo hàm của $g(x)$:

$g'(x) = \frac{d}{dx}[f(x^2)]$

Áp dụng công thức chuỗi cho đạo hàm của hàm hợp:

$g'(x) = f'(x^2) \cdot 2x$

Đây là do đạo hàm của $f(x^2)$ là $f'(x^2) \cdot 2x$.

3. Để tìm điểm cực trị của $g(x)$, ta cần giải phương trình $g'(x) = 0$:

$f'(x^2) \cdot 2x = 0$

Điều này xảy ra khi $x = 0$ hoặc $f'(x^2) = 0$.

4. Xét từng trường hợp:

- Nếu $x = 0$:
$g(0) = f(0^2) = f(0)$
Điểm này là điểm cực trị của $g(x)$ nếu $f(0)$ là một điểm cực trị của $f(x)$.

- Nếu $f'(x^2) = 0$:
Điều này xảy ra khi $x^2$ là các điểm mà $f'(x) = 0$.

5. Vì vậy, số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2)$ phụ thuộc vào số điểm mà $f(x)$ có trên miền xét ($x$), và xem xét xem có bao nhiêu trong số đó có $x = 0$.

Tóm lại, số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2)$ phụ thuộc vào số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ trên miền xét và cụ thể hơn là có một điểm cực trị ở $x = 0$ hay không.

Để giải phương trình $X(X-1) - 2X + 2 = 0$, ta làm theo các bước sau:

1. **Đặt phương trình:** $X(X-1) - 2X + 2 = 0$

2. **Nhân và rút gọn:** Mở ngoặc bằng cách nhân $X$ vào $X-1$:

$X^2 - X - 2X + 2 = 0$

$X^2 - 3X + 2 = 0$

3. **Đưa về dạng chuẩn của một phương trình bậc hai:** $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

4. **Giải phương trình bậc hai:** Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x = \frac{3 \pm 1}{2}$

Được hai nghiệm:

$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Vậy, phương trình $X(X-1) - 2X + 2 = 0$ có hai nghiệm là $X = 1$ và $X = 2$.

Để phân biệt phần biến, hệ số và bậc trong một biểu thức đại số, ta cần hiểu rõ từng khái niệm:

1. **Biến (Variable)**: Biến là một ký hiệu, thường là chữ cái như $x, y, z$, được sử dụng để đại diện cho một số chưa biết hoặc có thể thay đổi trong biểu thức.

2. **Hệ số (Coefficient)**: Hệ số là một số nhân với biến trong một biểu thức đại số. Ví dụ, trong $3x$, số 3 là hệ số.

3. **Bậc (Degree)**: Bậc của một biến trong một đơn thức là số mũ của biến đó. Bậc của một đơn thức là tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó. Đối với đa thức, bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức trong đa thức.

### Ví dụ:

Xét biểu thức đại số $5x^3 + 2x^2 - 4x + 7$:

- **Phần biến**: $x$
- **Hệ số**:
- Ở $5x^3$, hệ số là 5.
- Ở $2x^2$, hệ số là 2.
- Ở $-4x$, hệ số là -4.
- Số 7 là một hằng số, không có biến, do đó không có hệ số đi kèm biến.
- **Bậc**:
- Ở $5x^3$, bậc là 3.
- Ở $2x^2$, bậc là 2.
- Ở $-4x$, bậc là 1.
- Số 7 là một hằng số, bậc của nó là 0.

Bậc của cả đa thức $5x^3 + 2x^2 - 4x + 7$ là 3, vì 3 là bậc cao nhất trong các đơn thức của đa thức này.

Để chuyển câu trực tiếp "How do you know that?" He asked me. sang câu gián tiếp, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Đổi động từ hỏi thành thì quá khứ.
2. Đổi đại từ và trạng từ chỉ thời gian/nơi chốn (nếu cần).

Câu gián tiếp sẽ là:

He asked me how I knew that.

Để tính số tập hợp con gồm 2 phần tử của tập hợp $M$ có 12 phần tử, ta có thể sử dụng công thức tổ hợp. Số cách chọn 2 phần tử từ 12 phần tử được tính bằng tổ hợp chập 2 của 12:

$C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$

Vậy, số tập hợp con gồm 2 phần tử của tập hợp $M$ có 12 phần tử là 66.

Để chuyển đổi từ hecta (ha) sang mét vuông (m²), ta cần biết rằng 1 hecta bằng 10,000 mét vuông. Do đó, để tính ba phần 5 hecta (3/5 ha) ra mét vuông, ta làm như sau:

$3/5 \text{ ha} = \frac{3}{5} \times 10,000 \text{ m}^2$

Thực hiện phép tính:

$\frac{3}{5} \times 10,000 = 6,000 \text{ m}^2$

Vậy ba phần 5 hecta bằng 6,000 mét vuông.

Gọi chiều dài ban đầu của khu vườn là $l$ (m) và chiều rộng ban đầu là $w$ (m). Theo đề bài, ta có các thông tin sau:

1. Chiều dài hơn chiều rộng 5m:
$l = w + 5$

2. Nếu giảm chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích giảm 16m²:
$(l - 3)(w + 2) = lw - 16$

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Bước 1: Thay thế $l$ bằng $w + 5$ trong phương trình thứ hai:
$(w + 5 - 3)(w + 2) = (w + 5)w - 16$
$(w + 2)(w + 2) = w^2 + 5w - 16$

Bước 2: Mở rộng và giải phương trình:
$(w + 2)(w + 2) = w^2 + 4w + 4$
$w^2 + 4w + 4 = w^2 + 5w - 16$

Bước 3: Đơn giản hóa phương trình bằng cách trừ $w^2$ từ hai vế:
$4w + 4 = 5w - 16$

Bước 4: Giải phương trình để tìm $w$:
$4 + 16 = 5w - 4w$
$20 = w$

Vậy chiều rộng ban đầu của khu vườn là $w = 20$ m.

Bước 5: Tìm chiều dài ban đầu:
$l = w + 5$
$l = 20 + 5$
$l = 25$

Kích thước ban đầu của khu vườn là:
- Chiều dài: $25$ m
- Chiều rộng: $20$ m

Để tìm $n$ nguyên sao cho biểu thức $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là nguyên, ta thực hiện phép chia đa thức $2n^3 + n^2 - 4n + 3$ cho $2n - 1$ và kiểm tra điều kiện để thương số là một số nguyên.

Thực hiện phép chia:

1. Chia $2n^3$ cho $2n$ được $n^2$.

2. Nhân $n^2$ với $2n - 1$:

$n^2 \cdot (2n - 1) = 2n^3 - n^2$

3. Trừ đi $2n^3 - n^2$ từ $2n^3 + n^2 - 4n + 3$:

$(2n^3 + n^2 - 4n + 3) - (2n^3 - n^2) = 2n^2 - 4n + 3$

4. Chia $2n^2$ cho $2n$ được $n$.

5. Nhân $n$ với $2n - 1$:

$n \cdot (2n - 1) = 2n^2 - n$

6. Trừ đi $2n^2 - n$ từ $2n^2 - 4n + 3$:

$(2n^2 - 4n + 3) - (2n^2 - n) = -3n + 3$

7. Chia $-3n$ cho $2n$ được $-\frac{3}{2}$.

8. Nhân $-\frac{3}{2}$ với $2n - 1$:

$-\frac{3}{2} \cdot (2n - 1) = -3n + \frac{3}{2}$

9. Trừ đi $-3n + \frac{3}{2}$ từ $-3n + 3$:

$(-3n + 3) - (-3n + \frac{3}{2}) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Kết quả là:

$2n^3 + n^2 - 4n + 3 = (2n - 1) \left(n^2 + n - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$

Để $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là một số nguyên, điều kiện cần thiết là phần dư phải bằng 0:

$\frac{3}{2} = 0$

Điều này không thể xảy ra, vì vậy chúng ta phải kiểm tra lại phần thương:

Nếu phần dư là 0, nghĩa là không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn.

Tuy nhiên, có một cách khác là:

$n^2 + n - \frac{3}{2}$

Phải là một số nguyên, nghĩa là $\frac{3}{2}$ phải bị loại bỏ và có thể cân nhắc lại các điều kiện khác:

$n$

Vì vậy không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn:

Vậy không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn:

Do đó, không có giá trị $n$ nguyên nào để $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là một số nguyên.

Chúng ta cần giải phương trình $x(x - 1) - 2x + 2 = 0$.

Trước hết, phân tích và đơn giản hóa phương trình:

$x(x - 1) - 2x + 2 = 0$

Nhân $x$ vào trong ngoặc:

$x^2 - x - 2x + 2 = 0$

Kết hợp các hạng tử cùng loại:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Bây giờ, ta giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử. Ta cần tìm hai số mà tích của chúng là $2$ và tổng của chúng là $-3$. Các số đó là $-1$ và $-2$:

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$

Từ đây, ta có hai nghiệm:

$x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2 = 0$

Vậy:

$x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2$

Kết luận, nghiệm của phương trình là:

$x = 1 \quad \text{và} \quad x = 2$