Gọi $O$ là giao điểm của $AB$ và $BD$

$\Rightarrow A'O\perp (ABCD) \, (gt)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow OM\perp AD$

Ta có: $A'O$ chung; $OD = OA$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow A'A = A'B$

$\Rightarrow ΔA'AB$ cân tại $A'$

$\Rightarrow A'M \perp AD$

Xét hai mặt phẳng $(ADD'A')$ và $(ABCD)$ có:

$\begin{cases}(ADD'A') \cap (ABCD) = AD\\A'M \subset (ADD'A')\\A'M \perp AD \, (cmt)\\OM \subset (ABCD)\\OM \perp AD\end{cases}$

$\\\Rightarrow \widehat{((ADD'A');(ABCD))} = \widehat{A'MO} = 60^o$

$\Rightarrow A'O = OM\sqrt{3}$

mà $OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$ (tính chất đường trung bình)

nên $A'O = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $B'D'//BD$

$\Rightarrow B'D'//(A'BD)$

$\Rightarrow d(B';(A'BD)) = d(B'D';(A'BD)) = d(O';(A'BD))$ $(1)$

Với $O'$ là giao điểm của $A'C'$ và $B'D'$

Mặt khác: $O'C//A'O$

$\Rightarrow O'C//(A'BD)$

$\Rightarrow d(O';(A'BD)) = d(C;(A'BD))$

Từ $C$ kẻ $CH\perp BD$

Ta có: $A'O\perp (ABCD)$

$\Rightarrow A'O\perp CH$

mà $CH\perp BD$ (cách dựng)

nên $CH\perp (A'BD)$

$\Rightarrow CH = d(C;(A'BD))$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow d(B';(A'BD)) = CH$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow BD = 2a$

Ta có: $CD.BC = CH.BD = 2S_{BCD}$

$\Rightarrow CH = \dfrac{BC.CD}{BD} = \dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $d(B';(A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Đề bài cho:

- Lăng trụ \( ABC.A'B'C' \) có đáy là hình chữ nhật \( ABCD \) với:
- \( AB = a \)
- \( AD = a\sqrt{3} \)
- Hình chiếu của điểm \( A' \) lên mặt phẳng đáy \( (ABCD) \) trùng với giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Góc giữa hai mặt phẳng \( (ADD'A') \) và \( (ABC) \) là \( 60^\circ \).
- Yêu cầu: Tính thể tích \( V \) của lăng trụ.

---

### Bước 1: Xác định các điểm và hình học cơ bản

- Đáy là hình chữ nhật \( ABCD \) với:
- \( AB = a \)
- \( AD = a\sqrt{3} \)
- Giao điểm \( O \) của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) là trung điểm của cả hai đường chéo.
- Hình chiếu của \( A' \) lên mặt phẳng đáy là \( O \), tức là \( A' \) nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại \( O \).

---

### Bước 2: Xác định tọa độ các điểm

Để dễ tính toán, ta đặt hệ tọa độ như sau:

- \( A = (0,0,0) \)
- \( B = (a,0,0) \)
- \( D = (0, a\sqrt{3}, 0) \)
- \( C = (a, a\sqrt{3}, 0) \)

Giao điểm \( O \) của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) là trung điểm của \( AC \):

\[
O = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)
\]

---

### Bước 3: Xác định tọa độ điểm \( A' \)

- \( A' \) có hình chiếu lên mặt phẳng đáy là \( O \), nên:

\[
A' = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h\right)
\]

với \( h \) là chiều cao của lăng trụ cần tìm.

---

### Bước 4: Xác định mặt phẳng \( (ADD'A') \) và \( (ABC) \)

- Mặt phẳng \( (ABC) \) nằm trên mặt phẳng đáy, có vector pháp tuyến:

\[
\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)
\]

- Mặt phẳng \( (ADD'A') \) đi qua các điểm \( A, D, D', A' \).

- \( D' \) là điểm đối ứng của \( D \) trên mặt phẳng trên cao, tức là:

\[
D' = D + \vec{A'A} = (0, a\sqrt{3}, 0) + (A'_x - A_x, A'_y - A_y, A'_z - A_z)
\]

Nhưng \( A = (0,0,0) \), nên:

\[
\vec{A'A} = A' - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h\right)
\]

Tuy nhiên, \( D' \) là điểm trên đường thẳng song song với \( AA' \) đi qua \( D \), nên:

\[
D' = D + \vec{A'A} = \left(0 + \frac{a}{2}, a\sqrt{3} + \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 + h\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{3a\sqrt{3}}{2}, h\right)
\]

---

### Bước 5: Tính vector pháp tuyến mặt phẳng \( (ADD'A') \)

Mặt phẳng \( (ADD'A') \) chứa các điểm \( A, D, A', D' \).

Chọn hai vector trong mặt phẳng:

\[
\vec{AD} = D - A = (0, a\sqrt{3}, 0)
\]

\[
\vec{AA'} = A' - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h\right)
\]

Vector pháp tuyến mặt phẳng \( (ADD'A') \) là tích có hướng:

\[
\vec{n}_{ADD'A'} = \vec{AD} \times \vec{AA'}
\]

Tính tích vector:

\[
\vec{AD} = (0, a\sqrt{3}, 0)
\]

\[
\vec{AA'} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, h\right)
\]

\[
\vec{n}_{ADD'A'} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & a\sqrt{3} & 0 \\
\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & h
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \cdot \left(a\sqrt{3} \cdot h - 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) - \mathbf{j} \cdot \left(0 \cdot h - 0 \cdot \frac{a}{2}\right) + \mathbf{k} \cdot \left(0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} - a\sqrt{3} \cdot \frac{a}{2}\right)
\]

\[
= \mathbf{i} (a\sqrt{3} h) - \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} \left(0 - \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right) = (a\sqrt{3} h, 0, -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2})
\]

---

### Bước 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vector pháp tuyến.

- Vector pháp tuyến mặt phẳng \( (ABC) \):

\[
\vec{n}_{ABC} = (0,0,1)
\]

- Vector pháp tuyến mặt phẳng \( (ADD'A') \):

\[
\vec{n}_{ADD'A'} = \left(a\sqrt{3} h, 0, -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right)
\]

Góc giữa hai mặt phẳng là \( 60^\circ \), nên:

\[
\cos 60^\circ = \frac{|\vec{n}_{ADD'A'} \cdot \vec{n}_{ABC}|}{|\vec{n}_{ADD'A'}| \cdot |\vec{n}_{ABC}|}
\]

Tính tích vô hướng:

\[
\vec{n}_{ADD'A'} \cdot \vec{n}_{ABC} = a\sqrt{3} h \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \left(-\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right) \cdot 1 = -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}
\]

Độ lớn các vector:

\[
|\vec{n}_{ADD'A'}| = \sqrt{(a\sqrt{3} h)^2 + 0 + \left(-\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3 a^2 h^2 + \frac{3 a^4}{4}} = a \sqrt{3 h^2 + \frac{3 a^2}{4}}
\]

\[
|\vec{n}_{ABC}| = 1
\]

Thay vào công thức:

\[
\cos 60^\circ = \frac{\left| -\frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \right|}{a \sqrt{3 h^2 + \frac{3 a^2}{4}}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{3 h^2 + \frac{3 a^2}{4}}} = \frac{a \sqrt{3}/2}{\sqrt{3 h^2 + \frac{3 a^2}{4}}}
\]

Rút gọn:

\[
\cos 60^\circ = \frac{a \sqrt{3}/2}{\sqrt{3 h^2 + \frac{3 a^2}{4}}}
\]

\[
\cos 60^\circ = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt