Bài 90 trang 95 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A có $\widehat{BAC}=120°$. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.

Lời giải

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = $\frac{1}{2}$AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQI và ∆API có:

$\widehat{AQI}=\widehat{API}\left(=90°\right)$,

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

$\widehat{BQ\text{D}}=\widehat{CPE}\left(=90°\right)$,

$\widehat{B}=\widehat{C}$ (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI = ∆API (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{QAI}=\widehat{PAI}$ (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có $\widehat{BAI}=60°$ nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét $∆$BAC và $∆$BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{IBC},\widehat{BAC}=\widehat{BIC}\widehat{,ACB}=\widehat{ICB}$ (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác).

Mà $\widehat{BAC}=120°$ (giả thiết) và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do ∆ABC cân tại A).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$.

Do đó $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30°,\widehat{BIC}=120°$

Vậy $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30°,\widehat{BIC}=120°$.