Bài 78 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.

a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân.

b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông.

d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Lời giải

a) Xét $∆$DME và $∆$FMN có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\widehat{DME}=\widehat{FMN}$ (hai góc đối đỉnh),

ME = MN (giả thiết)

Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)

Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).

Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.

Do đó DE = DF = FN.

Tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.

Vậy tam giác DFN cân tại F.

b) Ta có MD = MF = $\frac{1}{2}$DF và FA = FD nên MF = $\frac{1}{2}$FA

Mà AF + FM = AM nên AF + $\frac{1}{2}$AF = AM

Suy ra $\frac{3}{2}$AF = AM hay AF = $\frac{2}{3}$AM.

Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và AF = $\frac{2}{3}$AM nên F là trọng tâm của tam giác NEA.

Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.

Suy ra tam giác FNA cân tại F.

Do đó $\widehat{F\text{A}N}=\widehat{FNA}$ (hai góc ở đáy)

• Vì tam giác DFN cân tại F nên $\widehat{FDN}=\widehat{FND}$ (hai góc ở đáy)

• Xét $∆$DNA có $\widehat{A\text{D}N}+\widehat{DNA}+\widehat{NAD}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{FND}+\widehat{DNA}+\widehat{FNA}=180°$ 

Hay $\left(\widehat{FND}+\widehat{FNA}\right)+\widehat{DNA}=\widehat{DNA}+\widehat{DNA}=180°$

Suy ra $2\widehat{DNA}=180°$

Do đó $\widehat{DNA}=\frac{180°}{2}=90°$

Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.

d) Xét $∆$DMN và $∆$FME có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\widehat{DMN}=\widehat{FME}$ (hai góc đối đỉnh),

EM = MN (giả thiết)

Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)

Suy ra $\widehat{MDN}=\widehat{MFE}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên EF // DN

Lại có $\widehat{DNA}=90°$ (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.

Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).

Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)

Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.