Bài 77 trang 90 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu CG = $\frac{1}{2}$AE thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Xét $∆$ABD và $∆$ACD có:

AB = AC (do $∆$ABC cân tại A),

DB = DC (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó $∆$ABD = $∆$ACD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\frac{180°}{2}=90°$

Suy ra AD vuông góc với BC.

Mặt khác D là trung điểm của BC

Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra GB = GC (1)

Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó EB = EC (2)

Xét $∆$BGD và $∆$BED có:

$\widehat{BDG}=\widehat{BDE}\left(=90°\right)$,

BG là cạnh chung,

DG = DE (giả thiết)

Do đó ∆BGD = $∆$BED (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BG = BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

Vậy BG = GC = CE = BE.

b) Xét $∆$ABE và $∆$ACE có:

AB = AC (do $∆$ABC cân tại A),

BE = CE (chứng minh câu a),

AE là cạnh chung

Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

Vậy ∆ABE = ∆ACE.

c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên GD = $\frac{1}{2}$GE

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD = $\frac{1}{2}$AG.

Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên GE = $\frac{1}{2}$AE.

Mặt khác CG = $\frac{1}{2}$AE  

Suy ra GE = GC.

Theo câu a ta lại có GC = EC.

Khi đó GC = GE = EC.

+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều

Do đó $\widehat{CGE}=60°$ 

Suy ra:

• $\widehat{CGD}+\widehat{GCD}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)

Suy ra $\widehat{GCD}=90°-\widehat{CGD}=90°-60°=30°$

• $\widehat{CGE}+\widehat{AGC}=180°$ (hai góc kề bù)  

Nên $\widehat{AGC}={180}^o-\widehat{CGE}={180}^o-{60}^o={120}^o$

Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó $\widehat{GAC}=\widehat{GCA}$

Lại có $\widehat{GAC}+\widehat{GCA}+\widehat{AGC}=180°$ (tổng ba góc của tam giác AGC).

Do đó $\widehat{GAC}=\widehat{GCA}=\frac{180°-\widehat{AGC}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$ 

+) Ta có $\widehat{ACB}=\widehat{ACG}+\widehat{GCB}$ (hai góc kề nhau)

Hay $\widehat{ACB}=30°+30°=60°$

Tam giác cân ABC có $\widehat{ACB}=60°$ nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.