Chứng mình rằng với mọi a,b ta có :(a + b) ≤ 2(a2 + b2)

Trâm Bùi Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 20:16 21/07/2024

Chứng mình rằng với mọi a,b ta có :
(a + b) $\leq$ 2(a²+ b²)

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 133

Nọc

8 tháng trước

Để chứng minh rằng với mọi $a$ và $b$ ta có:

$a + b \leq 2(a^2 + b^2)$

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản và định lý Cauchy-Schwarz trong bất đẳng thức. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh bất đẳng thức này.

### Bước 1: Phân tích và chuyển bất đẳng thức về dạng có thể áp dụng

Ta muốn chứng minh rằng:

$a + b \leq 2(a^2 + b^2)$

### Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản và kiểm tra sự đúng đắn của nó.

**1. Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh:**

Ta có:

$a + b \leq 2(a^2 + b^2)$

**2. Đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản:**

Chuyển các hạng tử về cùng một phía và sắp xếp lại:

$a + b - 2(a^2 + b^2) \leq 0$

**3. Biến đổi và kiểm tra điều kiện:**

Sắp xếp lại để dễ dàng phân tích:

$a + b - 2a^2 - 2b^2$

Chia thành các hạng tử riêng biệt:

$-a^2 + b - 2b^2$

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản để chứng minh rằng:

$a + b \leq 2(a^2 + b^2)$

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz trong không gian vectơ $\mathbb{R}^2$ :

$(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1)^2$

Suy ra:

$(a^2 + b^2) \cdot 2 \geq (a + b)^2$

Chia cả hai vế cho 2:

$a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}$

Khi đó, ta có:

$a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}$

Nhân cả hai vế với 2:

$2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2$

### Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh

Ta có:

$2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2$

Rút gọn:

$2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2$

Mở rộng $(a + b)^2$ :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Suy ra:

$2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2$

Như vậy:

$2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2$

Chuyển các hạng tử về một phía:

$2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Điều này là đúng vì $(a - b)^2 \geq 0$ .

### Kết luận

Vì $(a - b)^2 \geq 0$ luôn đúng với mọi giá trị của $a$ và $b$ , ta có:

$2(a^2 + b^2) \geq a + b$

Vậy ta đã chứng minh rằng:

$a + b \leq 2(a^2 + b^2)$

Chứng minh xong.

...Xem thêm

1 bình luận

Trâm Bùi · 8 tháng trước

Ko hiểu

Đăng nhập để hỏi chi tiết

ĄŖʏĄ İŞ ɱʏ WĄîfu

8 tháng trước

Để chứng minh rằng với mọi a, b ta có (a + b) ≤ 2(a^2 + b^2), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số thực a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là:
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với a1 = √a, a2 = √b, b1 = √a, b2 = √b, ta có:
(a√a + b√b)^2 ≤ (a + b)(a + b)

(a√a + b√b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a^2 + 2ab + b^2 ≤ (a + b)^2

a^2 + 2ab + b^2 ≤ a^2 + 2ab + b^2

Therefore, we have proved that for all a, b, (a + b) ≤ 2(a^2 + b^2).

(+1) 0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Thành viên hăng hái nhất

Xếp hạng tuần này

Xếp hạng tháng này

Xếp hạng tuần này
Xếp hạng tháng này

Ngọc355 điểm
$\color{blue}\text{Duy Anh$ 260 điểm
Angel Tanysha130 điểm
Bertha🐼115 điểm
Kiều phương anh Đặng105 điểm
Lily (타오린)100 điểm
Hiếu Lưu Minh35 điểm
Hoai Thuong30 điểm
hà vy nguyễn30 điểm
Ftt30 điểm
$\boxed{\text{VuNguyen}}\checkmark\bigstar$ 20 điểm
Tuấn Tú Trần Đình20 điểm
Đức Việt Vũ20 điểm
Khang Nguyễn20 điểm
Nguyễn Đại20 điểm

Xem thêm

Bài viết mới nhất Lớp 9

Xem thêm »

Gửi báo cáo thành công!