Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng với mọi \(a\) và \(b\) ta có:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản và định lý Cauchy-Schwarz trong bất đẳng thức. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh bất đẳng thức này.

### Bước 1: Phân tích và chuyển bất đẳng thức về dạng có thể áp dụng

Ta muốn chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

### Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản và kiểm tra sự đúng đắn của nó.

**1. Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh:**

Ta có:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

**2. Đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản:**

Chuyển các hạng tử về cùng một phía và sắp xếp lại:

\[
a + b - 2(a^2 + b^2) \leq 0
\]

**3. Biến đổi và kiểm tra điều kiện:**

Sắp xếp lại để dễ dàng phân tích:

\[
a + b - 2a^2 - 2b^2
\]

Chia thành các hạng tử riêng biệt:

\[
-a^2 + b - 2b^2
\]

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản để chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz trong không gian vectơ \(\mathbb{R}^2\):

\[
(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1)^2
\]

Suy ra:

\[
(a^2 + b^2) \cdot 2 \geq (a + b)^2
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Khi đó, ta có:

\[
a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 2:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

### Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh

Ta có:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

Rút gọn:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

Mở rộng \((a + b)^2\):

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Suy ra:

\[
2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2
\]

Như vậy:

\[
2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0
\]

\[
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]

Điều này là đúng vì \( (a - b)^2 \geq 0 \).

### Kết luận

Vì \( (a - b)^2 \geq 0 \) luôn đúng với mọi giá trị của \( a \) và \( b \), ta có:

\[
2(a^2 + b^2) \geq a + b
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Chứng minh xong.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng với mọi \(a\) và \(b\) ta có:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản và định lý Cauchy-Schwarz trong bất đẳng thức. Dưới đây là các bước chi tiết để chứng minh bất đẳng thức này.

### Bước 1: Phân tích và chuyển bất đẳng thức về dạng có thể áp dụng

Ta muốn chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

### Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản

Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản và kiểm tra sự đúng đắn của nó.

**1. Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh:**

Ta có:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

**2. Đưa về dạng bất đẳng thức cơ bản:**

Chuyển các hạng tử về cùng một phía và sắp xếp lại:

\[
a + b - 2(a^2 + b^2) \leq 0
\]

**3. Biến đổi và kiểm tra điều kiện:**

Sắp xếp lại để dễ dàng phân tích:

\[
a + b - 2a^2 - 2b^2
\]

Chia thành các hạng tử riêng biệt:

\[
-a^2 + b - 2b^2
\]

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức cơ bản để chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

### Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz trong không gian vectơ \(\mathbb{R}^2\):

\[
(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1)^2
\]

Suy ra:

\[
(a^2 + b^2) \cdot 2 \geq (a + b)^2
\]

Chia cả hai vế cho 2:

\[
a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Khi đó, ta có:

\[
a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}
\]

Nhân cả hai vế với 2:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

### Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh

Ta có:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

Rút gọn:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

Mở rộng \((a + b)^2\):

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Suy ra:

\[
2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2
\]

Như vậy:

\[
2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0
\]

\[
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]

Điều này là đúng vì \( (a - b)^2 \geq 0 \).

### Kết luận

Vì \( (a - b)^2 \geq 0 \) luôn đúng với mọi giá trị của \( a \) và \( b \), ta có:

\[
2(a^2 + b^2) \geq a + b
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
a + b \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Chứng minh xong.

Answer 3

Để chứng minh rằng với mọi a, b ta có (a + b) ≤ 2(a^2 + b^2), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số thực a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là:
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với a1 = √a, a2 = √b, b1 = √a, b2 = √b, ta có:
(a√a + b√b)^2 ≤ (a + b)(a + b)

(a√a + b√b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a^2 + 2ab + b^2 ≤ (a + b)^2

a^2 + 2ab + b^2 ≤ a^2 + 2ab + b^2

Therefore, we have proved that for all a, b, (a + b) ≤ 2(a^2 + b^2).

2 câu trả lời 338

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9